射电窗口与全局图像 ch1
射电天文覆盖约 10 MHz–1 THz（米波到亚毫米）。大气低频端受电离层截止，高频端受 O₂、H₂O 吸收。
\( c=\lambda\nu \), 角分辨率（单天线）\(\;\theta\approx\lambda/D\)
干涉仪 \(\;\theta\approx\lambda/B_{\max}\)（B 为最长基线）
为何要射电：看冷气体、尘埃遮蔽区、相对论电子与磁场、非热过程、快速/周期时变源、以及红移至射电的早期宇宙。
HII 区SNRAGN 喷流脉冲星CMB21cm
长波 → 单天线分辨率差 → 干涉/孔径合成是射电的核心技术。
射电天文简史 ch1 / 综合
1932Jansky（贝尔实验室）偶然发现银河系射电噪声
~1937Reber 后院 ~10m 抛物面，绘首张射电图
1965Penzias & Wilson 发现 CMB（2.7 K）
1967Bell & Hewish 发现脉冲星
射电波段贡献了多项诺奖级发现（CMB、脉冲星、双脉冲星引力波间接证据等）。早期天文学家“知道得太多”——以为恒星是光学黑体、射电太弱——而错过先机。
亮度 · 流量密度 · 亮温 ch2.1
比强度（守恒量）$$I_\nu\equiv\frac{dP}{\cos\theta\,d\sigma\,d\nu\,d\Omega}$$
\(I_\nu\) 沿空旷光线不随距离变（单位 \(\mathrm{W\,m^{-2}Hz^{-1}sr^{-1}}\)）；流量随距离按反平方减小，仅因立体角变小。
流量密度$$S_\nu=\int_{\rm src} I_\nu\cos\theta\,d\Omega\approx\int I_\nu\,d\Omega$$
亮温（任意谱，R–J 定义）$$T_b\equiv\frac{I_\nu c^2}{2k\nu^2}=\frac{I_\nu\lambda^2}{2k}$$
谱光度 / 反平方$$L_\nu=4\pi d^2 S_\nu$$
单位：\(1\,\mathrm{Jy}=10^{-26}\,\mathrm{W\,m^{-2}Hz^{-1}}\)。谱指数 \(\alpha:\; S_\nu\propto\nu^{\alpha}\)。
薄自由自由 \(\alpha\!\approx\!-0.1\)；薄同步 \(\alpha\!\approx\!-0.5\sim-1\)；高 \(T_b\) ⇒ 非热/相干。
辐射传输：母方程 ch2.2
$$\frac{dI_\nu}{ds}=-\kappa_\nu I_\nu+j_\nu$$
光学深度 / 源函数$$\tau\equiv\int\!\kappa\,ds,\qquad S_\nu\equiv\frac{j_\nu}{\kappa_\nu}$$
形式解$$I_\nu=I_\nu(0)e^{-\tau}+S_\nu(1-e^{-\tau})$$
LTE：基尔霍夫定律 \(S_\nu=B_\nu(T)\)（\(j_\nu/\kappa=B_\nu\)）。
光学薄 τ≪1\(I_\nu\!\approx\!j_\nu L\)，看体发射，正比路径长。
光学厚 τ≫1\(I_\nu\!\to\!S_\nu(=B_\nu)\)，看表面，亮温饱和。
不透明体（LTE）：发射率 \(e_\nu=a_\nu=1-r_\nu\)。遇吸收/自吸收/增益先写传输方程。
偏振 · Stokes 参数 ch2.3
用 I, Q, U, V 完整描述偏振 —— 磁场与介质的探针。
I总强度
Q, U线偏振（方向）
V圆偏振
$$p_L=\frac{\sqrt{Q^2+U^2}}{I},\quad \chi=\tfrac12\arctan(U/Q)$$
同步辐射常有强线偏振；磁化等离子体 → 法拉第旋转 \(\chi\propto RM\,\lambda^2\)。
黑体 · 瑞利金斯 · 维恩 ch2.4
普朗克$$B_\nu=\frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1}$$
瑞利–金斯 (hν≪kT)$$B_\nu\approx\frac{2kT\nu^2}{c^2}=\frac{2kT}{\lambda^2}$$
总强度 / 能量密度$$B(T)=\frac{\sigma T^4}{\pi},\quad u=aT^4$$
峰值频率\(\nu_{\max}/\mathrm{GHz}\approx 59\,(T/\mathrm K)\)
维恩位移\(\lambda_{\max}/\mathrm{cm}\approx0.29\,(T/\mathrm K)^{-1}\)
光子数密度\(n_\gamma/\mathrm{cm^{-3}}\approx20.3\,(T/\mathrm K)^3\)
平均光子能\(\langle E_\gamma\rangle\approx2.70\,kT\)
射电几乎总在 R–J 极限 → 用温度表示强度最方便（\(T_b\)、\(T_A\)、\(T_{\rm sys}\)）。
暖电阻热噪声 · 奈奎斯特 ch2.5
hν≪kT （精确式 \(P_\nu=h\nu/(e^{h\nu/kT}-1)\)）$$P_\nu=kT,\qquad P=kT\Delta\nu$$
把电子学噪声与黑体温度统一（1D 传输线 Nyquist ↔ 3D R–J 黑体）——辐射计方程的根基。
CMB · 红移 · 宇宙学 ch2.6
CMB 是近乎完美黑体，\(T_0=2.725\,\mathrm K\)；射电观测背景噪声下限。
红移$$1+z=\frac{\nu_e}{\nu_o}=\frac{\lambda_o}{\lambda_e}=a^{-1}$$
CMB 温度演化$$T(z)=T_0(1+z)$$
临界密度$$\rho_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}\approx8.6\times10^{-30}\,\mathrm{g\,cm^{-3}}$$
偶极各向异性 ∝ 本动速度；内禀各向异性 \(\Delta T/T\sim10^{-5}\)。\(H_0\approx67.8\,\mathrm{km\,s^{-1}Mpc^{-1}}\)。
加速电荷辐射 · 尘埃 ch2.7–8
辐射电场 (横向)$$E_\perp=\frac{q\dot v\sin\theta}{rc^2}$$
坡印廷通量$$|\vec S|=\frac{c}{4\pi}E^2$$
拉莫尔公式 (v≪c)$$P=\frac{2}{3}\frac{q^2\dot v^2}{c^3}$$
功率 ∝ 加速度²，辐射图样 ∝ \(\sin^2\theta\)（垂直加速度方向最强）。所有经典辐射（偶极、自由自由、同步）皆由此推得。
尘埃热辐射：调制黑体 \(S_\nu\propto\nu^{2+\beta}\)（\(\beta\!\approx\!1\!-\!2\)），主导毫米/亚毫米连续谱。
天线基础：增益 · 面积 · 波束 ch3.1
$$\Omega_A=\frac{4\pi}{G_{\max}},\quad A_e=\frac{\lambda^2 G}{4\pi},\quad \langle A_e\rangle=\frac{\lambda^2}{4\pi}$$
主波束效率$$\eta_B=\Omega_{MB}/\Omega_A,\quad \eta_A=A_e^{\max}/A_{\rm geom}$$
高斯波束$$\Omega_A\approx1.133\,\theta_{\rm HPBW}^2,\;\; \theta_{\rm HPBW}\approx1.2\lambda/D$$
Ruze 面精度：\(\eta_s=\exp[-(4\pi\sigma/\lambda)^2]\)，rms 误差 \(\sigma\) 限制最高可用频率。
天线温度 · 灵敏度换算 ch3.1
天线温度$$T_A\equiv\frac{P_\nu}{k},\qquad T_A=\frac{A_e S}{2k}$$
点源灵敏度 \(A_e\approx2761\,\mathrm{m^2}\Rightarrow1\,\mathrm{K\,Jy^{-1}}\)（即 DPFU）。
紧致展源（填充因子）$$\frac{T_A}{T_b}=\frac{\Omega_s}{\Omega_A}$$
源比波束小时被波束稀释：测得 \(T_A\ll T_b\)。卷积效应 → 测亮温需源解析。
互易定理：发射增益图 = 接收有效面积图，\(G(\theta,\phi)\propto A_e(\theta,\phi)\)。
辐射计方程 · T_sys ch3.6
系统温度（各贡献和）$$T_s=T_{\rm cmb}+T_{\rm rsb}+[1\!-\!e^{-\tau_A}]T_{\rm atm}+T_{\rm spill}+T_r+\cdots$$
理想总功率$$\sigma_T\approx\frac{T_s}{\sqrt{\Delta\nu\,\tau}}$$
含增益起伏$$\sigma_T\approx T_s\Big[\frac{1}{\Delta\nu\tau}+\big(\tfrac{\Delta G}{G}\big)^2\Big]^{1/2}$$
Dicke 开关$$\sigma_T\approx 2T_s/\sqrt{\Delta\nu\tau}$$
增大带宽 \(\Delta\nu\)、延长积分 \(\tau\) 降随机噪声；增益漂移用 Dicke/位置切换抵消。Y 因子定标：\(T_r=(T_h-YT_c)/(Y-1)\)。
达不到灵敏度先查：\(T_{\rm sys}\)、带宽、积分时间、RFI、旁瓣溢出。
混淆极限 · 接收机链 ch3.6
rms 混淆噪声 (θ>0.17′)$$\frac{\sigma_c}{\mathrm{mJy/beam}}\approx0.2\Big(\tfrac{\nu}{\rm GHz}\Big)^{-0.7}\!\Big(\tfrac{\theta}{\rm arcmin}\Big)^{2}$$
弱于混淆极限 ≈ 5σ_c 的单源不可靠 → 大单天线需更高分辨率或干涉。
超外差链路
天线 → LNA → 与本振 LO 混频 → 中频 IF → 滤波 → ADC → 相关器/光谱仪。
速度分辨率$$\Delta v/c\approx\Delta\nu/\nu$$
数字光谱仪用 FFT 把时域分成频道，频道宽决定 \(\Delta v\)。
干涉测量 · 可见度 ch3.7
复可见度 = 亮度的傅里叶变换$$\mathcal V_\nu=\int I_\nu(\hat s)\,e^{-i2\pi\vec b\cdot\hat s/\lambda}\,d\Omega$$
2D 成像（vdW–Z 定理）$$I_\nu(l,m)\;\Leftrightarrow\;\mathcal V_\nu(u,v)$$
N 天线 → \(N(N\!-\!1)/2\) 基线；地球自转合成填充 uv 面。缺短基线 → 大尺度（“负碗”）丢失；长基线 → 高分辨率。
干涉灵敏度 · 模糊 ch3.7
点源灵敏度$$\sigma_S=\frac{2kT_s}{A_e\,[N(N\!-\!1)\Delta\nu\,\tau]^{1/2}}$$
亮度灵敏度 (K)$$\sigma_T=\Big(\frac{\sigma_S}{\Omega_A}\Big)\frac{\lambda^2}{2k}$$
带宽模糊\(\Delta\theta\,\Delta\nu\ll\theta_s\,\nu\)
时间模糊\(\Delta\theta\,\Delta t\ll\theta_s\!\cdot\!1.37\times10^4\,\mathrm s\)
长基线提分辨率但亮度灵敏度可能变差；视场内远离相位中心源受带宽/时间平均涂抹（用窄通道、短积分）。
地球自转孔径合成 ch3.7
地球自转使投影基线扫过 uv 面 → 12 小时画出一个 (u,v) 椭圆，多基线叠加 → 充分采样。
(u,v) 椭圆：南北轴被压缩$$v_{\max}=u_{\max}\sin\delta$$
合成波束（东西 × 南北）$$\theta_{\rm syn}\approx u^{-1}\times u^{-1}\csc\delta$$
近天极 \(\delta\!\to\!90^\circ\) 波束近圆；近赤道 \(\delta\!\to\!0\) 南北向严重拉长。E–W 阵基线共面 ⇒ 图像 = 可见度的二维傅里叶反演。
实测“脏图” = 真图 ∗ 脏波束 → 需反卷积/CLEAN 与自校准恢复。缺短基线丢大尺度（见干涉卡）。
自由自由辐射 · HII 区 ch4
电子在离子库仑场中偏转（轫致辐射）→ 电离气体的热连续谱。
谱形（光厚→光薄拐折）$$S_\nu\propto\nu^{2}\;(\tau\!\gg\!1)\;\longrightarrow\;S_\nu\propto\nu^{-0.1}\;(\tau\!\ll\!1)$$
发射量$$\frac{EM}{\mathrm{pc\,cm^{-6}}}\equiv\int\!\Big(\tfrac{n_e}{\mathrm{cm^{-3}}}\Big)^2 d\Big(\tfrac{s}{\rm pc}\Big)$$
光学深度$$\tau\approx3.28\times10^{-7}\Big(\tfrac{T}{10^4{\rm K}}\Big)^{-1.35}\!\Big(\tfrac{\nu}{\rm GHz}\Big)^{-2.1}\tfrac{EM}{\rm pc\,cm^{-6}}$$
电离光子率 ↔ 恒星形成$$Q_H\approx6.3\times10^{52}\Big(\tfrac{T}{10^4}\Big)^{-0.45}\!\Big(\tfrac{\nu}{\rm GHz}\Big)^{0.1}\tfrac{L_\nu}{10^{20}}\;\mathrm{s^{-1}}$$
| 特征 | 判读 |
|---|
| 平坦谱 (α≈−0.1) | 光薄热自由自由 |
| 低偏振 | 区别于同步 |
| 低频转折 ν² | 自吸收变光厚 (T~10⁴K) |
| 复合线 | 测 T_e、速度 |
回旋 → 同步 三区 ch5.1
回旋频率（与能量无关）$$\nu_G=\frac{qB}{2\pi mc},\;\; \nu_G/\mathrm{MHz}=2.8\,(B/\mathrm G)$$
回旋 (γ≈1)单频 \(\nu_G\)，非相对论
磁轫致 (γ~几)谐波 \(\nu_G,2\nu_G,\dots\)
同步 (γ≫1)连续谱，峰在 \(\nu_c\!\sim\!\gamma^2\nu_G\)
能量越高，束流锥越窄(~1/γ)、辐射频率越高、谱越展宽 —— 回旋与同步是同一物理的非相对论/极端相对论两端。
同步辐射：功率与谱 ch5.1–3
单电子功率 (∝γ²B²)$$\langle P\rangle=\tfrac{4}{3}\sigma_T\beta^2\gamma^2 c\,U_B,\;\; U_B=\tfrac{B^2}{8\pi}$$
临界频率（谱峰）$$\nu_c\approx\gamma^2\nu_G\propto E^2 B_\perp$$
幂律电子谱 → 幂律辐射$$n(E)\propto E^{-\delta}\Rightarrow j_\nu\propto B^{(\delta+1)/2}\nu^{(1-\delta)/2}$$
谱指数（正约定 \(S_\nu\propto\nu^\alpha\)）$$\alpha=-\frac{\delta-1}{2}=\frac{1-\delta}{2}$$
“陡谱 + 偏振 + 喷流/壳结构 + 高 T_b” ⇒ 同步辐射（SNR、AGN）。
同步自吸收 (SSA) ch5.3
低频光厚段$$S_\nu\propto\nu^{5/2}$$
辐射电子有效温度$$\frac{T_e}{\rm K}\approx1.18\times10^{6}\Big(\tfrac{\nu}{\rm Hz}\Big)^{1/2}\!\Big(\tfrac{B}{\rm G}\Big)^{-1/2}$$
由自吸收转折估磁场$$\frac{B}{\rm G}\approx1.4\times10^{12}\Big(\tfrac{\nu}{\rm Hz}\Big)\Big(\tfrac{T_b}{\rm K}\Big)^{-2}$$
自吸收使谱在低频变厚（\(\nu^{5/2}\)）；峰值频率随源致密度上移。紧致 AGN 核心呈“扁平/反转”谱即多 SSA 组分叠加。
最小能量 · 能量均分 ch5.4
总能$$U=(1+\eta)U_e+U_B,\quad U_e\propto B^{-3/2}$$
最小能时 粒子/场 ≈ 4/3$$\frac{(1+\eta)U_e}{U_B}=\frac{4}{3}$$
最小能量磁场 / 总能$$B_{\min}\propto[(1\!+\!\eta)L/R^{3}]^{2/7},\;\;E_{\min}\propto[(1\!+\!\eta)L]^{4/7}R^{9/7}$$
同步寿命$$\tau\approx c_{12}B_\perp^{-3/2}\;(\nu_{\min}\!\sim\!10^7,\nu_{\max}\!\sim\!10^{11}\,\rm Hz)$$
无法独立测 \(B\) 与 \(U_e\) → 用能量均分假设由射电光度估 \(B_{\min}\)、内能。爱丁顿光度 \(L_E/L_\odot\approx3.3\times10^4\,M/M_\odot\)。
逆康普顿 · SSC · T_max ch5.5
IC 功率（与同步对偶）$$P_{IC}=\tfrac{4}{3}\sigma_T c\beta^2\gamma^2 U_{\rm rad}$$
IC/同步比 = 光子能/磁能$$\frac{P_{IC}}{P_{\rm syn}}=\frac{U_{\rm rad}}{U_B}$$
单次散射升频$$\frac{\langle\nu\rangle}{\nu_0}=\tfrac{4}{3}\gamma^2$$
逆康普顿灾变上限$$T_{\max}\sim10^{12}\,\mathrm K$$
当 \(T_b\!\gtrsim\!10^{12}\)K，IC 散射暴涨抽干电子能量 → 非相干同步源亮温自然封顶。SSC：同步光子被同一批电子上散射（X/γ 射线）。
相对论集束 · 视超光速 ch5.6
多普勒因子$$\delta=[\gamma(1-\beta\cos\theta)]^{-1}$$
视横向速度$$\beta_{\perp,\rm app}=\frac{\beta\sin\theta}{1-\beta\cos\theta}$$
峰值条件 / 最大视速$$\cos\theta_m=\beta,\;\;\sin\theta_m=\gamma^{-1},\;\;\beta_{\perp}^{\max}=\beta\gamma$$
通量增强$$\delta^{2+\alpha}\lt S/S_0\lt\delta^{3+\alpha}$$
朝向视线的喷流被极大增亮（喷流/反喷流不对称）；\(v_{\rm app}>c\) 是投影+延迟假象。统一模型：取向决定 FRI/FRII、类星体/电波星系/耀变体。
狭义相对论速查 附录 C
洛伦兹因子$$\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2},\quad \beta=v/c$$
时间膨胀 / 长度收缩$$\Delta t=\gamma\,\Delta t',\qquad \Delta x=\Delta x'/\gamma$$
速度叠加（非线性）$$u_x=\frac{u_x'+v}{1+vu_x'/c^2},\;\; u_y=\frac{u_y'}{\gamma(1+vu_x'/c^2)}$$
质量 · 能量$$m=\gamma m_0,\qquad E=\gamma m_0 c^2$$
同步辐射、相对论喷流、视超光速的数学基础；运动钟变慢、动尺变短，功率 \(P=P'\)（不变）。
星系射电 · 射电–红外关系 ch5.6
热 (自由自由)$$L_T\propto\nu^{-0.1}\,\mathrm{SFR}$$
非热 (同步)$$L_{NT}\propto\nu^{-0.8}\,\mathrm{SFR}$$
恒星形成星系射电光度 ∝ SFR（大质量星 → SNR → 宇宙射线 → 同步；HII → 自由自由）。这支撑了著名的射电–远红外相关，使射电成为不受尘埃消光影响的 SFR 示踪。AGN 则远超此关系。
源计数与宇宙学演化 ch5.6
静态欧氏宇宙（基准）$$N(\!\gt\!S)\propto S^{-3/2},\quad n(S)\propto S^{-5/2}$$
归一化计数 \(n(S)\,S^{5/2}\) 在静态欧氏下应为水平线；实测在 \(S\!\sim\!500\,\mathrm{mJy}\) 处隆起 ⇒ 射电源随宇宙时间强演化（过去更活跃）——稳态模型反证（早于 CMB）。
中值红移通量受限样本 \(\langle z\rangle\sim0.8\)
谁主导\(S\!\gtrsim\!0.1\,\)mJy：AGN；μJy：恒星形成星系
各向同性⇒ 绝大多数是河外源（NVSS：~2×10⁶ 源）
脉冲星：自转与磁场 ch6.1
最小密度（自转不解体）⇒ 中子星$$\rho>\frac{3\pi}{GP^2}$$
自转能损光度（\(E_{\rm rot}=2\pi^2 I/P^2\)）$$-\dot E=\frac{4\pi^2 I\dot P}{P^3}$$
表面磁场$$\frac{B}{\rm G}>3.2\times10^{19}\sqrt{P\dot P}$$
特征年龄 / 制动指数$$\tau_c\equiv\frac{P}{2\dot P},\quad n=2-\frac{P\ddot P}{\dot P^2}$$
纯磁偶极 \(n=3\)；实测 \(n\!<\!3\) 揭示风/多极/进动等机制。P–Ṗ 图区分常规星与毫秒（再加速）星。
脉冲星族群与发射机制 ch6.1
P–Ṗ 图：生于超新星（左上）→ 沿常数 B 线右下漂移 → 右下角“死亡线”停发。
常规星P~0.1–1s，B~10¹²G，τ_c<10⁵yr 多在 SNR 内
毫秒星(MSP)P<0.1s，B~10⁸G，双星吸积再加速（LMXB）
RRAT偶发单脉冲；黑寡妇/红背：食双星
发射：磁层单极发电机 → 极冠开放磁力线（光柱面外）加速电子 → 曲率辐射 → e⁺e⁻ 级联 → 相干射电束。
极高 T_b 靠相干辐射：N 个电子按 (Ne)² 同相辐射 → 比非相干亮 N 倍。谱很陡 α~−1.7。
色散 · 等离子体 · 法拉第 ch6.2 / D
等离子体频率$$\nu_p\approx8.97\,\mathrm{kHz}\,(n_e/\mathrm{cm^{-3}})^{1/2}$$
群速度$$v_g\approx c\,[1-\nu_p^2/(2\nu^2)]$$
色散延迟 / 色散量$$\frac{t}{\rm s}\approx4.149\times10^{3}\frac{DM}{\rm pc\,cm^{-3}}\Big(\tfrac{\nu}{\rm MHz}\Big)^{-2}$$
$$DM\equiv\int_0^d n_e\,dl,\qquad \chi(\lambda)=\chi_0+RM\,\lambda^2$$
DM → 电子柱密度/距离RM → ∫nₑB∥dl
脉冲星计时 ch6.3
高精度记录脉冲到达时间 (TOA)：探测中子星内部、检验广义相对论、毫秒星阵搜寻低频引力波。
到达时间模型$$\Delta t=\Delta_{DM}+\Delta_{\rm Roemer}+\Delta_{\rm Einstein}+\Delta_{\rm Shapiro}$$
Roemer地球/双星轨道几何光程差
Einstein引力红移 + 时间膨胀
Shapiro信号穿弯曲时空的延迟 → 测伴星质量
毫秒脉冲星 = 极稳“宇宙时钟”；双中子星计时验证轨道因引力波辐射衰减。
谱线总论 · 爱因斯坦系数 ch7.1–4
谱线给出化学、温度、密度、速度——追踪冷气体主力。
多普勒测速$$\frac{\Delta v}{c}\approx-\frac{\Delta\nu}{\nu}$$
详细平衡（联系 A,B 系数）$$g_L B_{LU}=g_U B_{UL},\;\; \frac{A_{UL}}{B_{UL}}=\frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3}$$
激发温度（定义布居比）$$\frac{n_U}{n_L}=\frac{g_U}{g_L}e^{-h\nu_0/kT_x}$$
高斯线型 FWHM$$\Delta\nu=\Big(\tfrac{8\ln2\,k}{c^2}\Big)^{1/2}\!\big(\tfrac{T}{M}\big)^{1/2}\!\nu_0$$
\(T_x\!=\!T_k\)：LTE；\(T_x\!>\!T_k\) 或反转 → 受激发射/脉泽（\(\tau<0\)，极高 T_b、窄、变）。
复合线 (RRL) ch7.2,6
线频（类氢，n≫1）$$\nu=R_M c\Big[\tfrac{1}{n^2}-\tfrac{1}{(n+\Delta n)^2}\Big],\;\; \tfrac{\Delta\nu}{\nu}\approx\tfrac{3}{n}$$
玻尔半径（巨原子）$$a_n\approx0.53\times10^{-8}\,n^2\,\mathrm{cm}$$
线/连续比 → 电子温度$$\frac{T_L}{T_C}\approx7.0\times10^{3}\Big(\tfrac{\Delta v}{\rm km/s}\Big)^{-1}\!\Big(\tfrac{\nu}{\rm GHz}\Big)^{1.1}\!T_e^{-1.15}$$
高 \(n\)（如 H109α）跃迁落在射电；\(\Delta n=1,2,3\) 为 α,β,γ 线。穿透尘埃测 HII 区 \(T_e\)、\(n_e\)、速度。
分子转动谱 · CO 示踪 ch7.7
刚性转子能级$$E_{\rm rot}=\frac{J(J+1)\hbar^2}{2I},\quad \Delta J=\pm1$$
线频 / 临界密度$$\nu=\frac{hJ}{4\pi^2 m r_e^2},\quad n^*\approx\frac{A_{UL}}{\sigma v}$$
\(A_{UL}\propto\nu^3|\mu|^2\)。\(\mathrm H_2\) 无永久偶极、冷区不发光 → 用 CO 示踪分子气体（\(\mathrm H_2\)）。
CO→H₂ 转换因子$$X_{CO}=(2\pm0.6)\times10^{20}\,\mathrm{cm^{-2}\,(K\,km/s)^{-1}}$$
高 \(n^*\) 线（HCN, NH₃）只在致密核激发 → 恒星形成密度探针。激发上限温度 \(T_{\min}\approx\nu h(J+1)/2k\)。
天体脉泽 (Maser) ch7.5
布居反转 ⇒ 负激发温度 ⇒ 负不透明度$$\frac{n_U}{n_L}\gt\frac{g_U}{g_L}\Rightarrow T_x\lt0\Rightarrow\kappa\lt0$$
背景被指数放大（τ = 脉泽增益）$$I_\nu\propto e^{|\tau|},\quad \tau=\int\kappa\,ds\lt0$$
需泵浦（辐射/碰撞）维持反转，分饱和/非饱和。亮温可达 \(T_b\sim10^{15}\,\mathrm K\)、极窄、强变。
应用：精测三角视差/距离、银河系结构；AGN 巨脉泽盘（如 NGC 4258 22GHz H₂O）→ 直接定 SMBH 质量与几何距离 \(D\!\approx\!7.2\,\mathrm{Mpc}\)。
HI 21 cm · 中性氢质量 ch7.8
超精细（自旋翻转）线$$\nu_{10}\approx1420.405751\,\mathrm{MHz}\;(\lambda=21\,\mathrm{cm})$$
\(A_{10}\approx2.85\times10^{-15}\,\mathrm{s^{-1}}\)（极禁戒，寿命~10⁷ yr）。自旋温度 \(T_s\)，\(g_1/g_0=3\)。
柱密度（光薄 τ≪1）$$\frac{N_H}{\rm cm^{-2}}\approx1.82\times10^{18}\!\int\!\frac{T_b(v)}{\rm K}\,d\Big(\tfrac{v}{\rm km/s}\Big)$$
HI 质量$$\frac{M_H}{M_\odot}\approx2.36\times10^{5}\Big(\tfrac{D}{\rm Mpc}\Big)^{2}\!\int\!\frac{S(v)}{\rm Jy}\,d\Big(\tfrac{v}{\rm km/s}\Big)$$
动力学总质量（含暗物质）$$\frac{M}{M_\odot}\approx2.33\times10^{5}\Big(\tfrac{v_{\rm rot}}{\rm km/s}\Big)^{2}\frac{r}{\rm kpc}$$
21cm：旋转曲线 → 暗物质；红移 21cm → 黑暗时代/再电离 (EOR)。
重要射电谱线速查 ch7
| 谱线 | 频率/波长 | 示踪 |
|---|
| HI 超精细 | 1420.4 MHz · 21cm | 原子氢、旋转曲线 |
| OH 18cm | 1612/1665/1667/1720 MHz | 脉泽、激波、外流 |
| CH₃OH 甲醇 | 6.7 / 12.2 GHz | 大质量恒星形成脉泽 |
| H₂O 水 | 22.235 GHz · 1.35cm | 脉泽、AGN 盘 |
| NH₃ (1,1) | 23.7 GHz | 致密核“温度计” |
| HCN (1–0) | 88.6 GHz | 高密度气体 |
| CO (1–0)/(2–1) | 115.27 / 230.54 GHz | 分子气体 H₂ |
| Hnα 复合线 | H109α≈5.0 GHz | HII 区 T_e, n_e |
傅里叶 · 采样 · 卷积 附录 A
卷积定理$$h=f*g\;\Leftrightarrow\;H=F\cdot G$$
采样 / 奈奎斯特$$\nu_N=\frac{1}{2\Delta t}$$
相似\(f(ax)\Leftrightarrow|a|^{-1}F(s/a)\)（宽↔窄）
平移\(f(x\!-\!a)\Leftrightarrow e^{-i2\pi as}F(s)\)
互相关相关器测不同天线电压序列的相关性
干涉成像与数字光谱仪的数学基础：阵列测空间频率（可见度），傅里叶反演得图像。
常数 · 量级速记 附录 E/F
| 量 | CGS 值 |
|---|
| \(k\) | \(1.381\times10^{-16}\,\mathrm{erg/K}\) |
| \(h\) | \(6.626\times10^{-27}\,\mathrm{erg\,s}\) |
| \(c\) | \(2.998\times10^{10}\,\mathrm{cm/s}\) |
| \(e\) | \(4.803\times10^{-10}\,\mathrm{esu}\) |
| \(\sigma_T\) | \(6.652\times10^{-25}\,\mathrm{cm^2}\) |
| \(1\,\mathrm{pc}\) | \(3.086\times10^{18}\,\mathrm{cm}\) |
| \(M_\odot\) | \(1.989\times10^{33}\,\mathrm g\) |
| \(1\,\mathrm{Jy}\) | \(10^{-23}\,\mathrm{erg\,s^{-1}cm^{-2}Hz^{-1}}\) |
常用：R–J、\(\lambda/D\)、辐射计方程、\(T_A=A_eS/2k\)、\(2761\,\mathrm{m^2}\!=\!1\,\mathrm{K/Jy}\)。射电频段 L,S,C,X,Ku,K,Ka,Q,W。
射电/雷达频段 附录 F.5
| 波段 | ν (GHz) | 波段 | ν (GHz) |
|---|
| P | 0.25–0.5 | K | 18–26.5 |
| L | 1–2 | Ka | 26.5–40 |
| S | 2–4 | Q | 33–50 |
| C | 4–8 | V | 50–75 |
| X | 8–12 | W | 75–110 |
| Ku | 12–18 | V 段被 O₂ 强吸收 |
单位 · 角度换算 附录 F.4
1 Jy\(10^{-26}\,\mathrm{W\,m^{-2}Hz^{-1}}=10^{-23}\,\mathrm{erg\,s^{-1}cm^{-2}Hz^{-1}}\)
1 rad\(\approx 206265''\approx 57.3^\circ\)
角度\(1^\circ=\pi/180\,\mathrm{rad},\;1'=60'',\;1^\circ=60'\)
AB 星等\(m_{AB}=-2.5\log_{10}[S/3631\,\mathrm{Jy}]\)
分贝\(\mathrm{dB}=10\log_{10}(P_1/P_2)\)
1 pc\(3.086\times10^{18}\,\mathrm{cm}=3.26\,\mathrm{ly}\)
源类快速识别 综合
| 观测特征 | 对象 / 机制 |
|---|
| 平坦谱、低偏振、复合线 | HII 区 / 热自由自由 |
| 陡谱、偏振、壳状 | SNR / 同步 |
| 核–喷流–瓣、扁平核 | AGN / 电波星系 |
| 单边喷流、视超光速 | 集束 / 耀变体 |
| 周期脉冲 + 色散 | 脉冲星 |
| 窄线、速度结构 | 冷原子/分子气体 |
| 极高 T_b、超窄、变 | 脉泽 / 相干 |
观测量 → 物理量字典 综合
| 测到 | 反推 |
|---|
| \(S_\nu,\ \alpha\) | 光度、发射机制（热/非热） |
| \(T_b\) | 机制、自吸收、相干、IC 上限 |
| \(Q,U,V,\ RM\) | 磁场结构与强度、视线 \(n_eB_\parallel\) |
| 线心 \(\nu\)、线宽 | 视向速度、旋转、温度/湍动 |
| 线/连续比、线强比 | \(T_e\)、激发温度、丰度 |
| \(DM\)、闪烁 | 电子柱密度、距离、ISM |
| \(P,\ \dot P\) | 磁场、年龄、自转能损 |
| \(\mathcal V(u,v)\) | 精细图像结构 |
亮温诊断阶梯 综合
| T_b 量级 | 机制 / 对象 |
|---|
| 2.725 K | CMB（完美黑体） |
| ~10⁴ K | 热自由自由 / HII 区（光厚封顶） |
| 10⁴–10¹¹ K | 同步辐射（非热：SNR、喷流） |
| ~10¹² K | 同步上限（IC 灾变 T_max） |
| >10¹² K | 相干：脉泽 ~10¹⁵、脉冲星 |
看到 T_b 超 10¹² K，立即排除非相干同步，转向相干/脉泽或多普勒增强。
解题套路 · 常见坑 方法
- 判对象：连续谱 / 谱线 / 脉冲。
- 判机制：热 vs 非热；光薄 vs 光厚。
- 仪器题：想到 \(\lambda/D,\ A_e,\ T_{\rm sys},\ \sigma_T\)。
- 谱线题：第一反应 \(\Delta v/c\!\approx\!-\Delta\nu/\nu\)，看 LTE/激发。
- 脉冲星：多频时延必 DM；偏振角 ∝ λ² 必 RM；\(P,\dot P\) 求 \(B,\tau_c\)。
易错：把流量密度当亮度；忘 \(h\nu\!\ll\!kT\) 前提；干涉忘短基线缺失；不写传输方程；CGS/MKS 混用。
学习口诀 记忆
连续谱看 α 与偏振；谱线看位置、宽度与线/连续比；脉冲看 DM/RM 与 P–Ṗ 计时。
热 vs 非热α≈−0.1 / 低偏振 ⇒ 热；陡谱 / 偏振 / 高 T_b ⇒ 非热
薄 vs 厚看体发射(∝L) vs 看表面(→B_ν)；先写传输方程
定标基准R–J、λ/D、辐射计方程、2761 m²=1 K/Jy
《基础射电天文学》Essential Radio Astronomy · Condon & Ransom — 公式取自附录 E（基本方程）。