量纲分析

公式中的符号并非量的本身，而是数，是用任意单位测量该量所得的数。

速度是用时间除长度，实际上是用一个数（测某段时间得到的数）除另一个数（测某段长度得到的数）。

速度的CGS单位记作cm/s。这只是习惯写法，不能把cm/s看作cm与s的商。这种商毫无意义：你可以用数除数。

量纲

$$\dim f=LM{T}^{-2}$$

两个单位制同族：（1）基本量类相同，（2）导出单位定义方程相同。如：国际制（力学部分）与CGS制同族；与工程制不同族。

量类$\tilde{A}$在同族单位制$Z$和$Z^{\prime }$的单位$\hat{A}$和${\hat{A}}^{\prime }$的比值称为$\tilde{A}$的量纲，即：

$$\dim \tilde{A}=\frac{\hat{A}}{{\hat{A}}^{\prime }}$$

$\tilde{A}$在某单位制族的量纲。

量纲分析的逻辑体系

数的等式在同族单位制中形式相同。

• 任一单位制的任一导出单位$\hat{C}$的终极定义方程都是幂单项式：

  $$C=k_{\mathrm{终}}\prod _i{J}_i^{{\sigma }_i}$$

• 量纲式都是幂单项式。

• $$C=A^{\alpha }{B}^{\beta }\Rightarrow \dim C=(\dim A{)}^{\alpha }(\dim B{)}^{\beta }$$

• 量纲的齐次性定理

  $$C=A+B\Rightarrow \dim C=\dim A=\dim B$$

一般结论：超越函数符号$\sin ,\lg ,\ln ,\exp$等的作用对象必须是无量纲量。$f(x)$的$x$必须是数。

$\mathrm{\Pi }$定理及应用

设一个物理问题涉及$n$个量，在单位制$Z$的数$Q_1,\cdots ,Q_n$，满足$f(Q_1,\cdots ,Q_n)=0$。借$Z$把涉及量分两组，甲组有$m(\le n)$个量，记作$A_1,\cdots ,A_m$，其余$n-m$个属于乙组，记作$B_1,\cdots ,B_{n-m}$。

分组条件：${\tilde{B}}_j$可用${\tilde{A}}_1,\cdots ,{\tilde{A}}_m$量纲表出。${\tilde{A}}_1,\cdots ,{\tilde{A}}_m$彼此量纲独立。

$\mathrm{\Pi }$定理：可以构造$n-m$个独立的无量纲量${\mathrm{\Pi }}_1,\cdots ,{\mathrm{\Pi }}_{n-m}$，$f(Q_1,\cdots ,Q_n)=0$可改为无量纲形式$F({\mathrm{\Pi }}_1,\cdots ,{\mathrm{\Pi }}_{n-m})=0$。

$${\mathrm{\Pi }}_j=B_j\prod _i{A}_i^{-x_{ij}}$$

证明勾股定理：

涉及量 - 斜边长$c$，锐角$\alpha$，面积$S$，故$n=3$。

$$\dim c=L\dim S=L^2\dim \alpha =1$$$$\dim S=(\dim c{)}^2\dim \alpha =(\dim c{)}^{0}choose{A}_1=c,B_1=S,B_2=\alpha$$$${\mathrm{\Pi }}_1=S{c}^{-2},{\mathrm{\Pi }}_2=\alpha \Rightarrow {\mathrm{\Pi }}_1=\varphi ({\mathrm{\Pi }}_2)\Rightarrow S=c^2\varphi (\alpha )$$$$S_1=a^2\varphi (\alpha )S_2=b^2\varphi (\alpha )\Rightarrow S_1+S_2=S\Rightarrow a^2+b^2=c^2$$