量纲分析
公式中的符号并非量的本身，而是数，是用任意单位测量该量所得的数。
速度是用时间除长度，实际上是用一个数（测某段时间得到的数）除另一个数（测某段长度得到的数）。
速度的CGS单位记作cm/s。这只是习惯写法，不能把cm/s看作cm与s的商。这种商毫无意义：你可以用数除数。
量纲
两个单位制同族：（1）基本量类相同，（2）导出单位定义方程相同。如：国际制（力学部分）与CGS制同族；与工程制不同族。
量类\(\tilde A\)在同族单位制\(Z\)和\(Z'\)的单位\(\hat A\)和\(\hat A'\)的比值称为\(\tilde A\)的量纲，即：
\(\tilde A\)在某单位制族的量纲。
量纲分析的逻辑体系
数的等式在同族单位制中形式相同。
任一单位制的任一导出单位\(\hat C\)的终极定义方程都是幂单项式：
\[C=k_{终}\prod_iJ_i^{\sigma_i} \]量纲式都是幂单项式。
- \[C=A^\alpha B^\beta\Rightarrow \dim C=(\dim A)^\alpha(\dim B)^\beta \]
量纲的齐次性定理
\[C=A+B\Rightarrow \dim C=\dim A=\dim B \]
一般结论：超越函数符号\(\sin,\lg,\ln,\exp\)等的作用对象必须是无量纲量。\(f(x)\)的\(x\)必须是数。
\(\Pi\)定理及应用
设一个物理问题涉及\(n\)个量，在单位制\(Z\)的数\(Q_1,\cdots,Q_n\)，满足\(f(Q_1,\cdots,Q_n)=0\)。借\(Z\)把涉及量分两组，甲组有\(m(\le n)\)个量，记作\(A_1,\cdots,A_m\)，其余\(n-m\)个属于乙组，记作\(B_1,\cdots,B_{n-m}\)。
分组条件：\(\tilde B_j\)可用\(\tilde A_1,\cdots,\tilde A_m\)量纲表出。\(\tilde A_1,\cdots,\tilde A_m\)彼此量纲独立。
\(\Pi\)定理：可以构造\(n-m\)个独立的无量纲量\(\Pi_1,\cdots,\Pi_{n-m}\)，\(f(Q_1,\cdots,Q_n)=0\)可改为无量纲形式\(F(\Pi_1,\cdots,\Pi_{n-m})=0\)。
证明勾股定理：
涉及量 - 斜边长\(c\)，锐角\(\alpha\)，面积\(S\)，故\(n=3\)。