第2章 辐射基础

2.1 亮度和流量密度

天文学家通过测量天体源在天空中各个方向（通过绘图或成像）和频率（光谱学）上的辐射强度，以及稍后将考虑的其他量（时间、极化），来研究天体源。为了描述辐射强度及其随方向、频率和天体源与观察者之间距离的变化，需要清晰且定量的定义。亮度和流量密度的概念看似简单，但经常让有经验的天文学家也感到困惑。明确理解它们非常重要，因为它们是如此基础。

考虑辐射从源头通过空旷空间传播的最简单情况，所以在通向观察者的路径上没有吸收（光子被破坏）、散射（光子方向改变）或发射（产生新的光子）。在光线光学近似下，辐射能量沿直线传播。只有当系统远大于辐射的波长$\lambda$时，这一近似才有效，而天文源很容易满足这一条件。你可能会发现将电磁辐射想象成一股光粒子（光子）的流非常有帮助，本质上它们像以光速沿直线飞行的子弹。为了引出以下数学定义，想象你正在观察太阳。太阳的“亮度”在太阳大部分表面上看起来大致相同，太阳看起来像一个几乎均匀的圆盘，尽管它实际上是一个球体。这意味着太阳的照片在整个太阳圆盘上曝光是均匀的。事实证明，如果从不同距离太阳的地方拍摄照片，例如从火星附近、地球和金星，曝光也不会改变（图 2.1）。

图2.1:使用同一台相机从远（左）、中（中）、近（右）距离拍摄的三张照片中，太阳的亮度保持不变，但角尺寸增大。图片来源：SOHO/EIT Consortium（ESA & NASA）。

太阳的角大小取决于太阳与相机之间的距离，但落在探测器上的每单位面积每单位时间每单位立体角的光子数量则不依赖于此。从金星附近拍摄的照片不会过曝，而从火星附近拍摄的照片也不会欠曝。从所有方向到达相机的太阳光子总数每单位面积每单位时间（或每单位面积每单位时间吸收的总能量）确实会随着距离增大而减少，但仅仅因为太阳所占的立体角减小。因此，我们区分太阳辐射的亮度或强度（不依赖于距离）和表观通量（依赖于距离）。一些作者[16, 20]倾向于使用亮度来表示在光源处每单位面积每单位立体角发射的功率，而使用比强度来表示沿路径到探测器每单位面积每单位立体角的功率；其他人[107, 116]则不区分这两者。如果光源和探测器之间没有吸收或发射，这两者是相同的，我们将交替使用这些术语。

还要注意，如果探测器的法线与入射射线方向成 $\theta$ 角，则单位面积上击中探测器的光子数与 $\cos \theta$ 成正比（图 2.2）。这正是倾斜雨量计收集到的水量减少 $\cos \theta$ 的投影效应。同样地，在光源处，例如球形的太阳，与视线垂直的投影面积与 $\cos \theta$ 成正比，其中 $\theta$ 是视线与太阳表面法线之间的夹角。

总亮度由所有频率的光子贡献。单位频率的亮度称为比强度（也称为光谱强度或光谱亮度）。比强度的符号为 $I_{\nu }$，其中下标 $\nu$ 用于表示“每单位频率”。在光线光学近似中，比强度可以定量定义如下：

• $d\sigma$ = 一个无限小的表面面积（例如，探测器的表面）；

• $\theta$ = 辐射“光线”与表面法线之间的角度；

• $d\mathrm{\Omega }$ = 从观察者位置测量的微小立体角。

图2.2:由探测器测量的比强度，其法线与视线的夹角为 $\theta$。

包含 $d\sigma$ 的表面可以是任何表面，真实的或假想的；也就是说，它可以是探测器的物理表面、光源的表面，或者沿光线的任何位置的假象表面。如果来自固体角 $d\mathrm{\Omega }$ 内的能量 $dE$ 在时间 $dt$ 内，通过投影面积 $\cos \theta d\sigma$，并且在频宽为 $d\nu$ 的狭窄频带内流动，那么

$$\begin{array}{}\text{(2.1)}& dE=I_{\nu }\cos \theta d\sigma d\mathrm{\Omega }dtd\nu .\end{array}$$

功率被定义为单位时间内的能量流，因此对应的功率 $dP$ 是

$$dP=\frac{dE}{dt}$$$$=I_{\nu }(\cos \theta d\sigma d\mathrm{\Omega }d\nu ).$$$$(watts)$$$$(m^{2}srHz)$$

因此，比强度或光谱亮度的定量定义为

$$\begin{array}{}\text{(2.2)}& \boxed{{\displaystyle I_{\nu }\equiv \frac{dP}{(\cos \theta d\sigma )d\nu d\mathrm{\Omega }}}}\end{array}$$

$I_{\nu }$ 的 MKS 单位是 $W{m}^{-2}{Hz}^{-1}{sr}^{-1}$。

射电天文学家几乎总是测量频率，但其他波段的观测者通常测量波长而不是频率，因此每单位波长的亮度

$$\begin{array}{}\text{(2.3)}& \boxed{{\displaystyle I_{\lambda }\equiv \frac{dP}{(\cos \theta d\sigma )d\lambda d\mathrm{\Omega }}}}\end{array}$$

也被广泛使用。$I_{\lambda }$ 的 MKS 单位是 $W{m}^{-3}{sr}^{-1}$。每单位频率 的强度 $I_{\nu }$ 与 每单位波长 的强度 $I_{\lambda }$ 之间的关系可以从以下要求推导：频率区间 $\nu$ 到 $\nu +d\nu$ 内的功率 $dP$ 必须等于对应波长区间 $\lambda$ 到 $\lambda +d\lambda$ 内的功率：

$$\begin{array}{}\text{(2.4)}& |I_{\nu }d\nu |=|I_{\lambda }d\lambda |.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(2.5)}& \boxed{{\displaystyle \frac{I_{\lambda }}{I_{\nu }}=\left|\frac{d\nu }{d\lambda }\right|=\frac{c}{{\lambda }^2}=\frac{{\nu }^2}{c}.}}\end{array}$$

在无限小的频率范围 $d\nu$ 或波长范围 $d\lambda$ 中指定亮度的原因是：(1) 光源的详细光谱包含天体物理学上重要的信息，(2) 光源特性（例如，不透明性）可能随频率变化，以及 (3) 关于辐射的大多数一般定理对所有窄频率范围都成立（例如，在空旷空间中沿光线传播的比强度是守恒的），因此它们对任意更宽的频率范围也成立。因此，比强度的守恒（式 2.7）意味着定义为

$$\begin{array}{}\text{(2.6)}& I\equiv {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{I}_{\nu }(\nu )d\nu ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{I}_{\lambda }(\lambda )d\lambda \end{array}$$

的总强度也同样守恒。

定理。比强度沿空旷空间中的任意光线守恒（保持不变）。

这直接源于几何学。设 $d{\sigma }_1$ 和 $d{\sigma }_2$ 是沿长度为 $r$ 的射线的两个无穷小面，如图 2.3 所示。

图2.3:特定强度沿长度为 $r$ 的射线保持不变。

设从面 $d{\sigma }_1$ 的中心看去，$d{\sigma }_2$ 所形成的立体角为 $d{\mathrm{\Omega }}_1\ll 1$ 弧度；从面 $d{\sigma }_2$ 的中心看去，$d{\sigma }_1$ 所形成的立体角为 $d{\mathrm{\Omega }}_2\ll 1$ 弧度。那么

$$d{\mathrm{\Omega }}_1$$$$=\frac{\cos {\theta }_{2}d{\sigma }_2}{r^2},$$$$d{\mathrm{\Omega }}_2$$$$=\frac{\cos {\theta }_{1}d{\sigma }_1}{r^2}.$$

在频率范围 $\nu$ 到 $\nu +d\nu$ 内，通过面积 $d{\sigma }_1$ 且立体角为 $d{\mathrm{\Omega }}_1$ 的功率为 $d{P}_1$

$$d{P}_1=\frac{d{E}_1}{dt}$$$$={(I_{\nu })}_1\cos {\theta }_{1}d{\mathrm{\Omega }}_{1}d{\sigma }_{1}d\nu$$$$={(I_{\nu })}_1\cos {\theta }_1\left(\frac{\cos {\theta }_{2}d{\sigma }_2}{r^2}\right)d{\sigma }_{1}d\nu$$$$={(I_{\nu })}_1\left(\frac{\cos {\theta }_1\cos {\theta }_{2}d{\sigma }_{1}d{\sigma }_2}{r^2}\right)d\nu .$$

同样地

$$d{P}_2=\frac{d{E}_2}{dt}$$$$={(I_{\nu })}_2\cos {\theta }_2\left(\frac{\cos {\theta }_{1}d{\sigma }_1}{r^2}\right)d{\sigma }_{2}d\nu$$$$={(I_{\nu })}_2\left(\frac{\cos {\theta }_1\cos {\theta }_{2}d{\sigma }_{1}d{\sigma }_2}{r^2}\right)d\nu .$$

在自由空间中（没有吸收或发射），辐射能量是守恒的，因此 $d{E}_1=d{E}_2$ 和

$$\begin{array}{}\text{(2.7)}& {(I_{\nu })}_1={(I_{\nu })}_2.QED\end{array}$$

特定强度守恒有两个重要后果：

1.**亮度与距离无关。**因此，为了获得太阳的良好曝光，照相机设置将是相同的，无论照片是在靠近太阳的地方（例如在金星附近）还是远离太阳的地方（例如在火星附近）拍摄，只要太阳在照片中被分辨出来。

2.**亮度在光源和探测器处是相同的。**因此，你可以将亮度理解为从光源流出的能量，也可以理解为流入探测器的能量（图 2.4）。

图2.4:看亮度的两种方式。

亮度守恒适用于任何无损的光学系统（例如一个由透镜和镜子组成的系统），这种系统可以改变光线的方向。没有任何被动光学系统可以增加辐射的比强度或总强度。如果你通过大型望远镜观察月球，月球看起来会更大（角大小增大），但不会更亮。许多人在通过望远镜看到一个大型星系时会感到失望，因为它看起来非常暗；他们原本期望看到像图 2.5 中仙女座照片那样明亮辉煌的恒星盘。差异不在于望远镜，而在于探测器——照片之所以显得更亮，是因为照片在长时间曝光中积累了更多的光。

图2.5:没有任何被动光学系统（例如望远镜）可以增加一个扩展源的比强度。仙女座星系（M31）在这张照片中显得比用肉眼看到的要亮得多，无论是否使用望远镜，这只是因为长时间的摄影曝光积累了更多的光。图片来源：Robert Gendler。

如果一个光源是离散的，也就是说它占据一个明确定义的立体角，那么被单位投影面积的探测器接收到的光谱功率（图 2.6）称为该光源的通量密度$S_{\nu }$。方程 (2.2) 意味着

$$\begin{array}{}\text{(2.8)}& \frac{dP}{d\sigma d\nu }=I_{\nu }\cos \theta d\mathrm{\Omega },\end{array}$$

因此，对光源所占立体角进行积分可得

$$\begin{array}{}\text{(2.9)}& \boxed{{\displaystyle S_{\nu }\equiv {\int }_{source}{I}_{\nu }(\theta ,\varphi )\cos \theta d\mathrm{\Omega }.}}\end{array}$$

如果光源的角尺寸为 $\ll 1rad$、$\cos \theta \approx 1$，则通量密度的表达式会简单得多：

$$\begin{array}{}\text{(2.10)}& \boxed{{\displaystyle S_{\nu }\approx {\int }_{source}{I}_{\nu }(\theta ,\varphi )d\mathrm{\Omega }.}}\end{array}$$

这种情况通常适用于天文源，而且天文学家很少使用流量密度来描述如此扩展的源，以至于必须保留$\cos \theta$因子（例如，我们银河系的弥散辐射）。

在实践中，什么时候应该使用光谱亮度，什么时候应该使用流量密度来描述一个天体？如果一个天体是未解析的，也就是说，它的角大小远小于观测它的眼睛或望远镜的点源响应，那么可以测量它的流量密度，但无法测量其光谱亮度。用肉眼看，未解析的红巨星参宿四看起来是天空中最亮的恒星之一。然而，把它称作“亮星”是具有误导性的，因为这颗相对较冷的恒星的总强度低于每一颗更热但更遥远且几乎肉眼不可见的恒星。参宿四之所以看起来比大多数其他恒星“更亮”，只是因为它占据了更大的立体角，从而其流量更高。如果一个源远大于点源响应，其在源上任何位置的光谱亮度可以直接测量，但其通量密度必须通过对观测到的光谱亮度在源的立体角上进行积分来计算。因此，通量密度通常仅用于描述相对紧凑的源。

图2.6:通量密度定义的示意图。

通量密度的 MKS 单位 $W{m}^{-2}{Hz}^{-1}$ 对于实际天文学应用来说太大了，因此天文学家使用更小的单位：

$$\begin{array}{}\text{(2.11)}& 1jansky=1Jy\equiv {10}^{-26}W{m}^{-2}{Hz}^{-1},\end{array}$$

1 毫詹斯基 = 1 mJy $\equiv {10}^{-3}$ Jy，1 微詹斯基 = 1 $\mu$ Jy $\equiv {10}^{-6}$ Jy。光学天文学家常用 Jy 定义的AB 星等来表示通量密度

$$\begin{array}{}\text{(2.12)}& ABmagnitude\equiv -2.5{\log }_{10}\left(\frac{S_{\nu }}{3631Jy}\right).\end{array}$$

与亮度不同，通量密度取决于光源距离 $d$。因为 ${\int }_{source}d\mathrm{\Omega }\propto 1/d^2$ 并且亮度是守恒的，式 2.10 表明了平方反比定律：

$$\begin{array}{}\text{(2.13)}& S_{\nu }\propto d^{-2}.\end{array}$$

具体强度或亮度是光源的内在属性，而光源的通量密度还取决于光源与观察者之间的距离。

来自光源的总通量或通量$S$ 是通量密度在频率上的积分：

$$\begin{array}{}\text{(2.14)}& S\equiv {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{S}_{\nu }d\nu .\end{array}$$

它的量纲是功率除以面积，因此它的 MKS 单位是 W m${}^{-2}$。总通量在观测射电天文学中很少使用，因此射电天文学家经常从 $S_{\nu }$ 中删除下标，并使用符号 $S$ 来表示通量密度。这很方便，但可能会引起混淆。同样，“通量”这个词有时在文献中被用作“通量密度”的简写，即使从形式上讲这是不正确的。

一个源的光谱亮度$L_{\nu }$定义为源在频率 $\nu$ 下每单位带宽辐射的总功率；它的 MKS 单位是 $W{Hz}^{-1}$。半径为 $d$ 的球体的面积是 $4\pi d^2$，因此在自由空间辐射的各向同性源，其光谱亮度与通量密度之间的关系是

$$\begin{array}{}\text{(2.15)}& \boxed{{\displaystyle L_{\nu }=4\pi d^2{S}_{\nu },}}\end{array}$$

当源与观察者之间的距离 $d$ 远大于源自身的尺寸时，请注意某些射电源是各向异性辐射的，例如相对论集中光束的类星体（第 5.6.1 节）。不幸的是，式 2.15 不能用来根据仅从一个方向进行的通量密度测量来计算光束类星体的总（积分于 $4\pi sr$）光谱光度。光谱光度是源的内在属性，因为它不依赖于源与观察者之间的距离 $d$——式 2.15 中的 $d^2$ 抵消了 $S_{\nu }$ 对 $d^{-2}$ 的依赖。光度或总光度$L$ 被定义为谱光度在所有频率上的积分：

$$\begin{array}{}\text{(2.16)}& L\equiv {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{L}_{\nu }d\nu .\end{array}$$

天文学家有时称 $L$ 为全波段光度，因为全波段测量仪是一个宽带探测器，可以测量所有频率的辐射加热功率。

2.2 辐射传输

在自由空间中，辐射的比强度 $I_{\nu }$ 沿射线保持不变：

$$\begin{array}{}\text{(2.17)}& \frac{d{I}_{\nu }}{ds}=0,\end{array}$$

其中 $s$ 是源与探测器之间沿射线的坐标。如果在 $s_{in}$ 与 $s_{out}$ 之间存在介质（图 2.7），会发生什么？

图2.7:源与探测器之间的吸收。沿光线的坐标从吸收体输入端的 $s_{in}$ 增加到吸收体输出端的 $s_{out}$。光学深度 $\tau$ 的测量方向相反，从 $\tau =0$ 的 $s_{out}$ 开始，并随着 $s$ 的减小而增加。

2.2.1 吸收

可以将光线看作光子或光粒子的束，其中一些可能被介质吸收并消失。在厚度为 $ds$ 的薄块中，光子被吸收（例如，通过碰到吸收粒子）的微小概率 $dP$ 与 $ds$ 成正比：$dP=\kappa ds$，其中比例常数为

$$\begin{array}{}\text{(2.18)}& \boxed{{\displaystyle \kappa \equiv \frac{dP}{ds}}}\end{array}$$

被称为线吸收系数，其量纲为长度的倒数。数值 $\kappa =1m^{-1}$ 表示在沿射线的某一小距离 $\mathrm{\Delta }s\ll {\kappa }^{-1}$（例如 $\mathrm{\Delta }s={10}^{-3}$ 米）内，会有小概率 $\kappa \mathrm{\Delta }s=1m^{-1}\times {10}^{-3}m={10}^{-3}$ 的光子被吸收。为什么要考虑这样薄的层而不是一次性考虑整个吸收体呢？只有当层足够薄，使得 $dP$ 可视为无穷小时，层内的吸收概率才会随厚度 $ds$ 线性增加，从而 $\kappa$ 成为与 $ds$ 无关的常数。 在足够厚以吸收大量光子的层中，由于到那端存活下来的光子较少，远端的光子被吸收的数量也会减少，因此吸收概率随厚度的增加呈非线性变化。

这个简单的宏观模型不依赖于光子被吸收的微观物理过程。它类似于理想气体模型，该模型将气体的宏观性质（温度、压力和密度）联系起来，而不考虑单个气体分子如何行为的微观细节。

沿光线在无限小距离 $ds$ 中吸收导致的特定强度损失的分数为

$$\begin{array}{}\text{(2.19)}& \frac{d{I}_{\nu }}{I_{\nu }}=-\kappa ds\text{(absorption only).}\end{array}$$

沿吸收路径对式 2.19 两边积分，可得到输出特定强度占输入特定强度的比例：

$$\begin{array}{}\text{(2.20)}& {\int }_{s_{in}}^{s_{out}}\frac{d{I}_{\nu }}{I_{\nu }}=-{\int }_{s_{in}}^{s_{out}}\kappa (s^{\prime })d{s}^{\prime }={\ln I_{\nu }|}_{s_{in}}^{s_{out}},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.21)}& \ln [I_{\nu }(s_{out})]-\ln [I_{\nu }(s_{in})]=-{\int }_{s_{in}}^{s_{out}}\kappa (s^{\prime })d{s}^{\prime },\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.22)}& \frac{I_{\nu }(s_{out})}{I_{\nu }(s_{in})}=\exp [-{\int }_{s_{in}}^{s_{out}}\kappa (s^{\prime })d{s}^{\prime }].\end{array}$$

无量纲量

$$\begin{array}{}\text{(2.23)}& \boxed{{\displaystyle \tau \equiv -{\int }_{s_{out}}^{s_{in}}\kappa (s^{\prime })d{s}^{\prime }}}\end{array}$$

被称为吸收体的光学深度或不透明度。注意 $d\tau =-\kappa ds$。沿视线的路径积分在式 2.23 中选择了“反向”方向，以使 $\tau >0$ 并且随着深入吸收体而增加。因此

$$\begin{array}{}\text{(2.24)}& \frac{I_{\nu }(s_{out})}{I_{\nu }(s_{in})}=\exp (-\tau )\text{(absorption only).}\end{array}$$

如果 $\tau \ll 1$，则吸收体被称为光学稀薄；如果 $\tau \gg 1$，则为光学厚。

2.2.2 发射

介质也可能发射光子，同样通过某种未指定的微观过程。在任意微小体积 ($dsd\sigma$) 中，厚度为 $ds$、截面为 $d\sigma$，各向同性源向立体角 $d\mathrm{\Omega }$ 发射光子的单位时间概率与体积和立体角成正比：

$$\begin{array}{}\text{(2.25)}& {\dot{P}}_{em}\propto dsd\sigma d\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

发射系数$j_{\nu }$ 的定义为

$$\begin{array}{}\text{(2.26)}& \boxed{{\displaystyle j_{\nu }\equiv \frac{d{I}_{\nu }}{ds}}}\end{array}$$

如果没有吸收的话。$j_{\nu }$ 的量纲由其定义得出；它们是单位体积、单位频率、单位立体角的功率，对应的 MKS 单位是 $W{m}^{-3}{Hz}^{-1}{sr}^{-1}$。结合吸收效应（式 2.19）和发射效应（式 2.26），得到辐射传输方程

$$\begin{array}{}\text{(2.27)}& \boxed{{\displaystyle \frac{d{I}_{\nu }}{ds}=-\kappa I_{\nu }+j_{\nu }.}}\end{array}$$

因为吸收和发射过程尚未被指定，$\kappa$ 和 $j_{\nu }$ 似乎是独立的。然而，在完全的热力学平衡（TE）中，它们并非独立。在 TE 中，物质和辐射在相同温度下达到平衡 $T$。由被不透明墙壁围成且穿有小孔的容器发出的空腔辐射（图 2.8）是平衡辐射。从小孔中发出的辐射的强度和光谱与墙壁材料（例如，绿色油漆的木材、闪亮的铜、灰色混凝土等）以及空腔内可能存在的任何吸收材料（例如气体、灰尘、雾等）无关。

图2.8:空腔的热辐射仅取决于其温度，与用于制作空腔墙壁的材料及空腔内的物质均无关。

图2.9:基尔霍夫的思想实验设想了两个处于热力学平衡的腔体，通过一个允许在窄频率范围$\nu$到$\nu +d\nu$内辐射通过的滤器相连。腔体可以由不同材料制成，并包含不同的发射/吸收粒子。

基尔霍夫利用图 2.9 中的思想实验，推导了 TE 中 $\kappa$ 与 $j_{\nu }$ 之间的关系。两个由不同材料制成并含有不同吸收体的腔体通过一个被动（意味着不需要能量即可工作）的滤光器连接，该滤光器仅在狭窄的频率范围 $\nu$ 到 $\nu +d\nu$ 内透明。在任意温度 $T$ 下的平衡状态中，辐射不能从一个腔体向另一个腔体传递净功率，否则一个腔体会冷却，而另一个会升温。这将违反热力学第二定律，因为两个不同温度的腔体可能被用来驱动热机。

在温度 $T$ 下的（完全）热力学平衡（TE）中，

$$\begin{array}{}\text{(2.28)}& \frac{d{I}_{\nu }}{ds}=0and{I}_{\nu }=B_{\nu }(T),\end{array}$$

其中 $B_{\nu }(T)$ 是温度为 $T$ 的平衡辐射光谱。使用符号 $B_{\nu }(T)$ 是因为平衡腔体辐射与温度为 $T$ 的理想吸收体的黑体辐射相同，即使它不在腔体中。重新排列辐射传输方程（式 2.27）

$$\begin{array}{}\text{(2.29)}& \frac{d{I}_{\nu }}{ds}=0=-\kappa B_{\nu }(T)+j_{\nu }\end{array}$$

得到热平衡系统的基尔霍夫定律：

$$\begin{array}{}\text{(2.30)}& \boxed{{\displaystyle \frac{j_{\nu }(T)}{\kappa (T)}=B_{\nu }(T),}}\end{array}$$

该定律在任何频率 $\nu$ 下都适用。式 2.30 非常重要，因为它将任何类型物质的性质 $j_{\nu }(T)$ 和 $\kappa (T)$ 与平衡辐射的单一通用光谱 $B_{\nu }(T)$ 联系起来。另请注意，基尔霍夫的论证与腔体的形状无关，因此腔体辐射必须是各向同性的。

虽然基尔霍夫定律是为热力学平衡系统推导的，但它的适用性并不限于与其物质环境完全热力学平衡的辐射。每当辐射/吸收物质处于热平衡时，无论在任何辐射场中，基尔霍夫定律都适用。如果发射/吸收物质在具有明确温度 $T$ 的情况下处于热平衡，即使它与辐射场不平衡，它也被认为处于局部热力学平衡（LTE）。例如，地球下层大气中的气体分子具有麦克斯韦速度分布（式 4.34），因此气体处于 LTE 状态。该气体具有一个定义良好的动能温度$T\sim 300$ K，可用普通温度计测量，但它处于明显的非平衡辐射场中（各向异性的 $T\sim 5800$ K 日间阳光、夜晚寒冷的黑暗天空，以及来自地面的各向异性发射）。

基尔霍夫定律同样适用于局部热平衡（LTE）和热平衡（TE）。为了证明这一点，回想一下 $B_{\nu }(T)$ 与辐射/吸收材料的性质无关。相比之下，$j_{\nu }(T)$ 和 $\kappa (T)$ 都仅依赖于腔体中的材料（例如，墙壁是铜还是混凝土）及该材料的温度；它们不依赖于环境辐射场或其光谱。

这种广义的基尔霍夫定律是一个非常有价值的工具，可用于根据吸收系数计算发射系数，反之亦然。例如，在第 4.3 节中，基尔霍夫定律在对 LTE 条件下 Hii 区（电离氢云）的自由-自由发射进行 $j_{\nu }(\nu )$ 计算后，立即给出了 $\kappa (\nu )$。

黑体光谱 $B_{\nu }(T)$（式 2.86）在峰值以上的频率呈指数下降，但在较低频率下仅呈幂律下降（图 2.20 中的实线曲线）。根据经验，基尔霍夫定律并不直观明显，因为我们环境中的室温（$T\sim 300$ K）物体太冷（$h\nu /kT\gg 1$），无法发出可检测到的可见光。一杯水可能吸收通过它的阳光的 10%，但我们看不到任何发射的光，因为室温物体发射的黑体辐射的 10%（甚至 100%）几乎为零。基尔霍夫定律的一个熟悉例子是带有火焰和发光煤块的木炭火。在 LTE（局部热平衡）条件下，几乎只微微发光的黑色煤炭发出的红外（热）辐射比温度更高但几乎透明的可见火焰发出的辐射强得多，你可以通过使用遮蔽物分别覆盖煤炭或火焰来验证这一点。相比之下，由基尔霍夫定律推导出的射电发射总是显著的，因为 $h\nu /kT\ll 1$ 当 $T\sim 300K$ 时，并且峰值以下的黑体谱仅以 ${\nu }^{-2}$ 的速度下降。这一点通过地球大气层中的射电波发射和吸收得到了说明（见第 2.2.3 节）。

2.2.3 地球大气层中的射电波发射与吸收

在高于 $\nu \sim 1$ GHz 的射频下，地球大气的吸收可能足够大以影响通量密度测量的精度，并且大气发射可能增加噪声误差。射电天文学家可以通过测量天顶角（即与垂直的角度）函数下的大气发射量来确定大气吸收量，并使用基尔霍夫定律根据频率 $\nu$ 下大气的动能（温度计）温度 $T_{atm}\sim 300K$ 和射电亮度计算（大致等温的）大气的天顶不透明度。大气以上的天体天空在高频下要冷得多（$T\sim 3K$），因此大气以上的“背景”发射通常可以忽略。

图2.10:大气的绝大部分发射和吸收发生在高度为$h$的层中，这一高度仅为几公里，远小于地球半径$r_{\oplus }$，因此这里所示的针对球形地球的平行平面近似是准确的。

这是通过倾斜射电望远镜并测量 $I_{\nu }$ 作为天顶角 $z$ 的函数，如图 2.10 所示。存在两个实际问题：（1）大气信号是无法与其他噪声源区分的噪声，尤其是接收机本身产生的噪声。接收机的输出电压与这些输入噪声功率的总和成正比。接收机噪声功率的数值可能不太清楚，因此只能测量 $I_{\nu }$ 随天顶角 $z$ 的变化，而不能测量任何天顶角下 $I_{\nu }$ 的绝对值。（2）接收机系统的功率增益难以从基本原理计算，因此大多数测量是相对于某些校准源进行的。例如，可以通过让接收器的馈源交替观察两个具有不同已知温度的吸收板来进行校准。

因为在雷利-金斯低频近似下，$B_{\nu }$ 与 $T$ 成正比

$$\begin{array}{}\text{(2.31)}& B_{\nu }\approx \frac{2kT{\nu }^2}{c^2},\end{array}$$

射电天文学家常常发现，即使 $I_{\nu }\ne B_{\nu }$，也方便以等效雷利-金斯亮温度$T_b$ 来指定光谱亮度 $I_{\nu }$，定义 方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.32)}& I_{\nu }=\frac{2k{T}_b{\nu }^2}{c^2}.\end{array}$$

因此，对于任何 $I_{\nu }$,

$$\begin{array}{}\text{(2.33)}& \boxed{{\displaystyle T_b(\nu )\equiv \frac{I_{\nu }{c}^2}{2k{\nu }^2}.}}\end{array}$$

式 2.33 明确表明 $T_b$ 可以随频率变化。亮温度只是用来根据瑞利-金斯近似以每单位立体角每单位带宽的功率来表示的另一种方式。这很方便，因为射电望远镜通常通过已知温度的吸收器或“负载”校准，而且射电源的温度往往是一个具有物理意义的量。请注意，亮温度 不是 实际温度。非热源具有频率依赖的亮温度，但它们没有明确的物理温度。如果热源是半透明的（例如大气）或部分反射的（例如月球），其亮温度会低于物理温度。即使是真正的黑体辐射体，也只在低频极限情况下才具有 $T_b=T$ $h\nu \ll kT$。

从射电望远镜观察到的输出可能会随 $z$ 变化，如图 2.11 所示。

图2.11:倾斜扫描的接收机输出显示了随天顶角增加的天空亮度，但天空亮温度的零点未被很好地确定。

要理解和解释这些观察结果，请从辐射传输方程 (2.27) 开始，

$$\begin{array}{}\text{(2.34)}& \frac{d{I}_{\nu }}{ds}=-\kappa I_{\nu }+j_{\nu }.\end{array}$$

基尔霍夫定律（式 2.30）可以消去未知数 $j_{\nu }$，因为大气处于局部热平衡（LTE）状态：

$$\begin{array}{}\text{(2.35)}& j_{\nu }=\kappa B_{\nu }(T_{atm}),\end{array}$$

其中 $T_{atm}$ 是由普通温度计测量的大气动能温度。两边同时除以 ${\kappa }_{\nu }$ 得到

$$\begin{array}{}\text{(2.36)}& \frac{1}{\kappa }\frac{d{I}_{\nu }}{ds}=\frac{-d{I}_{\nu }}{d\tau }=-I_{\nu }+B_{\nu }(T_{atm}).\end{array}$$

将这个微分方程的两边乘以 $\exp (-\tau )$ 并沿望远镜光束的光线从大气顶层积分到地面。设 ${\tau }_A(z)$ 为在天顶角 $z$ 下沿光线的大气总光学厚度。那麽

$$\begin{array}{}\text{(2.37)}& {\int }_0^{{\tau }_A}{e}^{-\tau }\frac{d{I}_{\nu }}{d\tau }d\tau ={\int }_0^{{\tau }_A}[I_{\nu }-B_{\nu }(T_{atm})]e^{-\tau }d\tau .\end{array}$$

图2.12:不同天顶不透明度 ${\tau }_z$ 下的大气亮温 $T_b$ 与大气动能温度 $T_{atm}$ 的比值随天顶角 $z$ 的变化。

接下来将左侧通过分部积分，并将 $B_{\nu }(T_{atm})$ 提到积分符号外（即，近似大气在海拔 $h$ 以下几乎是等温的）：

$$\begin{array}{}\text{(2.38)}& {e^{-\tau }{I}_{\nu }|}_0^{{\tau }_A}-{\int }_0^{{\tau }_A}-e^{-\tau }{I}_{\nu }d\tau ={\int }_0^{{\tau }_A}{I}_{\nu }{e}^{-\tau }d\tau -B_{\nu }(T_{atm}){\int }_0^{{\tau }_A}{e}^{-\tau }d\tau ,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.39)}& I_{\nu }(\tau ={\tau }_A)e^{-{\tau }_A}-I_{\nu }(\tau =0)=B_{\nu }(T_{atm})(e^{-{\tau }_A}-1).\end{array}$$

可以忽略 $I_{\nu }(\tau ={\tau }_A)\approx 0$ 项，因为大气上方的发射亮度很小，并且在高射频下不依赖天顶角，因此

$$\begin{array}{}\text{(2.40)}& I_{\nu }(\tau =0)=(1-e^{-{\tau }_A})B_{\nu }(T_{atm}).\end{array}$$

通过平行大气的路径长度与 $\sec z$ 成正比，因此在任意天顶角下 $z$，

$$\begin{array}{}\text{(2.41)}& {\tau }_A\approx {\tau }_Z\sec z,\end{array}$$

其中 ${\tau }_Z\equiv {\tau }_A(z=0)$ 是射电望远镜上方大气的天顶不透明度。将瑞利-金斯近似代入 $B_{\nu }(T_{atm})$ 得到

$$\begin{array}{}\text{(2.42)}& I_{\nu }=[1-\exp (-{\tau }_Z\sec z)]\frac{2k{T}_{atm}{\nu }^2}{c^2}.\end{array}$$

因此，大气发射的亮温作为天顶角的函数为

$$\begin{array}{}\text{(2.43)}& T_b=\frac{I_{\nu }{c}^2}{2k{\nu }^2}=T_{atm}\left[1-\exp (-{\tau }_Z\sec z)\right].\end{array}$$

如图 2.12 所示，不同天顶不透明度下 $T_b$ 随天顶角的变化。通过将观测数据拟合到这些曲线，射电天文学家可以估计天顶不透明度，并校正天体源测得的流量密度，以补偿大气吸收。

如果 (1) 天顶不透明度较低 (${\tau }_z\ll 1$)，(2) 频率足够高 ($\nu >1GHz$)，以至于射电源背景较弱，以及 (3) 来自地面的“溢出”辐射拾取很少，那么观测系统噪声温度 $T_s$ (式 3.150) 的一个良好近似为

$$\begin{array}{}\text{(2.44)}& T_s\approx [T_r+T_{cmb}]+T_{atm}{\tau }_z\sec (z),\end{array}$$

其中 $T_r$ 是接收器自身的噪声温度，$T_{cmb}\approx 2.7K$ 是宇宙微波背景的亮温。方括号内的量与 $z$ 无关，$T_{atm}$ 接近地表空气温度，可以用温度计轻松测量。式 2.44 表明天顶不透明度

$$\begin{array}{}\text{(2.45)}& {\tau }_z\approx \frac{\mathrm{\Delta }{T}_s/T_{atm}}{\mathrm{\Delta }\sec (z)}\end{array}$$

可以直接从 $T_s/T_{atm}$ 对 $\sec (z)$ 的线性倾斜曲线图的斜率中读出。图 2.13 中的实线显示了一个 ${\tau }_z\approx 0.04$ 的示例。将数据外推到（在几何上不可能的）$\sec (z)=0$ 会得到 $[T_r+T_{cmb}]/T_{atm}$。如果 $T_{atm}=280K$，示例 $[T_r+T_{cmb}]/T_{atm}=0.14$ 暗示 $[T_r+T_{cmb}]\approx 39.2K$，从而 $T_r\approx 36.5K$。或者，如果 $T_r$ 在实验室中测量，倾斜曲线可以用来确定 $T_{cmb}$，即经过大气辐射修正的宇宙微波背景温度。这本质上就是 Penzias 和 Wilson [81] 使用低溢出 Bell Labs 喇叭天线（图 3.19）在 $\nu \approx 4GHz$ 时发现 $T_{cmb}\approx 3K$ 宇宙微波背景的方式。

图2.13:如果天顶不透明度低，则观察到的比值 ($T_s/T_{atm}$) 对 $\sec (z)$ 的图几乎是线性的（实线），其斜率等于天顶不透明度；此时为 ${\tau }_z\approx 0.04$。将实线外推到 $\sec (z)=0$（虚线）可得比值 $[T_r+T_{cmb}]/T_{atm}\approx 0.14$。

2.2.4 不透明物体的发射、吸收与反射

如果一个物体的不透明度非常高，以至于光子无法穿过它，则该物体是不透明的。不透明体的吸收系数$a(\nu )$ 是入射光子频率为 $\nu$ 时被吸收的概率，反射系数$r(\nu )$ 是其被反射的概率。因此，黑体的 $a=1$ 和完美反射体的 $r=1$。每个光子都被任一不透明体吸收或反射，所以

$$\begin{array}{}\text{(2.46)}& a(\nu )+r(\nu )=1.\end{array}$$

不透明体的发射系数$e(\nu )$定义为其在频率$\nu$处每单位面积发射的光谱功率与同温黑体的光谱功率之比。

在局部热力学平衡下，任意不透明体的$a(\nu )$和$e(\nu )$的数值并不独立。设想一个不透明体被一个允许$\nu$到$\nu +d\nu$范围频率通过的滤光片包围，置于温度为$T$的腔体（图 2.14）中处于热力学平衡。在平衡状态下，不透明体吸收的光谱功率必须等于其发射的光谱功率，所以

$$\begin{array}{}\text{(2.47)}& \boxed{{\displaystyle e(\nu )=a(\nu )=1-r(\nu ).}}\end{array}$$

这就是不透明体的基尔霍夫定律。它意味着，处于局部热力学平衡状态下、物理温度为$T$的不透明体的亮温度$T_b$由下式给出

$$\begin{array}{}\text{(2.48)}& T_b(\nu )=a(\nu )T=[1-r(\nu )]T.\end{array}$$

因为 $a\le 1$，然后是 $T_b\le T$。一个完美反射器 ($r=1$) 总是具有 $T_b=0$；也就是说，它不发射。

图2.14:涉及一个被过滤器包围的不透明物体的思想实验，该过滤器允许频率 $\nu$ 到 $\nu +d\nu$ 通过，位于热力学平衡的腔体内。

示例。由于太阳加热差异引起的GBT反射面温度差异（图 8.1）可能会使表面变形并降低其性能。一种在可见光波段是白色、中红外波段是黑色、射电波段透明的特殊涂料可以保持表面凉爽，并且不会因为吸收入射的射电波或发射射电噪声而损害射电波段的性能。这种特殊涂料利用基尔霍夫定律同时执行三个独立的功能：在可见光谱部分它是不透明且白色的，以反射阳光（$T\approx 5800$ K）；在中红外波段它是黑色的，使GBT（$T\approx 300$ K）能够通过重辐射高效地冷却自身。在射电波波长下它是透明的，因此既不吸收入射的射电波，也不在射电波波长下发射热噪声。

2.3 偏振

图2.15:任何沿 $\hat{z}$ 方向传播并从页面上方指向上的单色波的电场矢量描绘的椭圆可以写成 $\overrightarrow{E}=[\hat{x}{E}_x\exp (i{\varphi }_x)+\hat{y}{E}_y\exp (i{\varphi }_y)]\exp [i(\overrightarrow{k}\cdot \hat{z}-\omega t)]$ 形式。所示的椭圆具有 $\delta =+\pi /4$ 和 $E_x/E_y=1.4$。如果 $\delta \equiv {\varphi }_x-{\varphi }_y=0$，椭圆将变为一条直线，而 $\delta =\pm \pi /2,E_x=E_y$ 会使其成为一个圆。当 $\delta >0$ 时，从页面下方的光源观看，矢量的尖端顺时针旋转，而从页面上方的观察者看，则逆时针旋转，如 $\omega t=0,\pi /4,\pi /2,\dots .$ 的时间采样所示。

单色电磁波在 $\hat{z}$ 方向传播时的瞬时横向电场 $\overrightarrow{E}$ 可以投影到互相垂直的 $\hat{x}$ 和 $\hat{y}$（例如，水平和垂直）方向上：

$$\begin{array}{}\text{(2.49)}& \overrightarrow{E}=[\hat{x}{E}_x\exp (i{\varphi }_x)+\hat{y}{E}_y\exp (i{\varphi }_y)]\exp [i(\overrightarrow{k}\cdot \hat{z}-\omega t)],\end{array}$$

其中 $k\equiv 2\pi /\lambda$ 是指向波传播方向的波矢$\overrightarrow{k}$ 的大小，

$$\begin{array}{}\text{(2.50)}& \omega \equiv 2\pi \nu \end{array}$$

是角频率，

$$\begin{array}{}\text{(2.51)}& \delta \equiv {\varphi }_x-{\varphi }_y\end{array}$$

是正交场 $E_x$ 和 $E_y$ 之间的相位差，并且

$$\begin{array}{}\text{(2.52)}& E^2={|\overrightarrow{E}|}^2=E_x^2+E_y^2.\end{array}$$

任何时间不变的相位和振幅组合都会产生一个椭圆偏振的波（图 2.15），其电场矢量在$(x,y)$平面上描绘出一个椭圆。如果相位差$\delta$为零，电场矢量不会旋转，波为线偏振。如果$E_x=E_y$和$|\delta |=\pi /2$，电场矢量以角频率$\omega$旋转，并描绘出一个圆；这种辐射称为圆偏振。电气与电子工程师协会（IEEE）和国际天文学联合会（IAU）使用的圆偏振符号约定是，根据从光源朝观察者方向观看时的旋转方向将偏振称为右旋或左旋，顺时针旋转为右旋（$\delta >0$），逆时针旋转为左旋（$\delta <0$）。观察者朝光源方向看时，右旋偏振的电场矢量会逆时针旋转，如图 2.15 中不同时间采样（$\omega t=0,\pi /4,\pi /2,\dots$）所示。注意，一些光学教材使用相反的符号约定。

来自天文源的辐射是宽带噪声，其电场矢量在幅度和方向上变化迅速且随机。如果在单位频率范围内的辐射在时间尺度$\tau \gg {(\mathrm{\Delta }\omega )}^{-1}$上取平均，其平均偏振可以用四个斯托克斯参数来表征，

$$I$$$$=⟨E_x^2+E_y^2⟩/R_0,$$$$Q$$$$=⟨E_x^2-E_y^2⟩/R_0,$$

$$\begin{array}{}\text{(2.53)}& U\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.54)}& =⟨2E_x{E}_y\cos \delta ⟩/R_0,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.55)}& V\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.56)}& =⟨2E_x{E}_y\sin \delta ⟩/R_0,\end{array}$$

其中括号表示时间平均值，$R_0$是自由空间的辐射阻抗（式 3.29），$I$是总通量密度，与偏振无关。偏振通量密度为

$$\begin{array}{}\text{(2.57)}& I_p={(Q^2+U^2+V^2)}^{1/2}\end{array}$$

而偏振度定义为

$$\begin{array}{}\text{(2.58)}& p\equiv \frac{I_p}{I}.\end{array}$$

如果 $⟨E_x⟩$ 和 $⟨E_y⟩$ 的振幅相等且它们的相位完全不相关，那么 $Q=U=V=0$、$I_p=0$、$p=0$ 和波就被称为非偏振的。例如，黑体辐射是非偏振的。一个只对某一偏振敏感的天线（例如，一个定向使其只对线偏振的 $\hat{x}$ 分量敏感的偶极天线，或者只对圆偏振左旋分量敏感的螺旋天线）将只能检测到非偏振源辐射功率的一半。需要两根正交偏振的天线（例如，沿 $\hat{x}$ 和 $\hat{y}$ 方向排列的偶极天线，或左右旋螺旋天线）来收集所有非偏振功率。

许多天文源是部分极化的，$0<p<1$。量 ${(Q^2+U^2)}^{1/2}$ 测量光通量的线性极化分量，而比值 $Q/U$ 取决于线性极化的方位角。圆偏振光通量由 $|V|$ 给出，$V>0$ 表示右旋，而 $V<0$ 表示左旋圆极化。

2.4 黑体辐射

一个完美的吸收体在所有频率下都有 $a(\nu )=1$，并被称为黑体。基尔霍夫定律（式 2.47）要求每个黑体在所有频率下也具有发射系数 $e(\nu )=1$，因此任何黑体在温度 $T$ 下的辐射谱 $B_{\nu }(T)$ 与温度为 $T$ 的腔体内部的热力学平衡辐射谱相同，即使腔体的内壁不是黑体。因此，黑体辐射的强度和谱仅取决于黑体或腔体的温度。黑体辐射最基本的特征是它是平衡辐射；讨论腔体辐射的唯一原因是腔体能够捕获辐射足够长的时间，使其达到平衡。从腔体小孔逸出的辐射也是黑体辐射，因为从外部进入孔中的辐射几乎没有机会逃逸。一个非常冷的腔体侧面的一个小孔看起来是黑的。平衡辐射的能量密度和亮度谱将在第2.4.1 节和第2.4.2 节中推导，尽管它将被称为黑体辐射。

对于由温暖的电阻器产生的电噪声也是如此，电阻器是一种完全吸收电能的器件，并且在射电天文学中起着重要作用。雷利—金斯和普朗克辐射方程的标准推导值得重复，因为黑体辐射是如此基本，而且它们的一维对应物可以得出在温度 $T$ 下处于平衡状态的电阻器产生的电噪声的频谱。

2.4.1 雷利—金斯近似

考虑一个大的立方体腔体（边长为 $a\gg \lambda$，其中 $\lambda$ 是所关心的最长波长），腔体内充满热力学平衡的辐射。腔体的目的是产生辐射并将辐射限制足够长的时间以达到平衡。辐射必须由腔体墙壁中带电粒子的热运动加速产生，并具有 $T>0$。墙壁必须具有非零导电性，因为导电性为零的墙壁是透明的——它们不会对入射辐射的电场产生电流，辐射将直接逸出。平衡辐射在其他方面与墙壁材料无关。对于具有非零电导率的墙壁，墙壁处的横向电场强度在平衡状态下为 $E=0$，因为带有 $E\ne 0$ 的电场会在墙壁中感应电流并损失能量。只有在墙壁处具有 $E=0$ 的驻波才能在一段时间后持续 $t\gg a/c$。

腔体中所有可能的驻波模式（模式是以固定频率和相位正弦振荡的场分布）都可以枚举。例如，考虑所有波矢指向 $x$ 方向的驻波（图 2.16）。在 $x=0$ 和 $x=a$ 的边界条件 $E=0$ 意味着只有那些具有离散波长的波才能具有非零振幅。

$$\begin{array}{}\text{(2.59)}& \frac{{\lambda }_x}{2}=a,\frac{2{\lambda }_x}{2}=a,\frac{3{\lambda }_x}{2}=a,\dots \end{array}$$

它们都满足

$$\begin{array}{}\text{(2.60)}& \frac{n_x{\lambda }_x}{2}=a,\end{array}$$

其中 $n=1$、2、3、$\dots .$。同样,

$$\begin{array}{}\text{(2.61)}& \frac{n_y{\lambda }_y}{2}=\frac{n_z{\lambda }_z}{2}=a\end{array}$$

对于分别沿$y$-和$z$方向指向的波矢。

图2.16:对应$n{\lambda }_x/2=a$的驻波，用于$n=1,2,3$。横坐标：腔体的$x$轴，由$x=0$和$x=a$两堵墙界限。纵坐标：满足墙面边界条件$E=0$的三条最长驻波的电场强度。

对于指向任意方向的波矢又如何呢？设$\alpha ,\beta ,\gamma$为波矢与$x$、$y$、$z$轴之间的角度。从图 2.18可以清楚地看出

$$\begin{array}{}\text{(2.62)}& \lambda ={\lambda }_x\cos \alpha ,\end{array}$$

其中$\lambda$是在波矢方向上测得的波长，${\lambda }_x\ge \lambda$是$\lambda$投影到$x$轴上的分量。因此

$$\begin{array}{}\text{(2.63)}& {\lambda }_x=\frac{\lambda }{\cos \alpha }.\end{array}$$

注意 ${\lambda }_x>\lambda$；它是 $\lambda$ 除以 $\cos \alpha$，而不是乘以 $\cos \alpha$。同时，驻波还必须满足

$$\begin{array}{}\text{(2.64)}& {\lambda }_y=\frac{\lambda }{\cos \beta }\text{ and }{\lambda }_z=\frac{\lambda }{\cos \gamma }.\end{array}$$

式 2.60 至 2.64 表明所有方向的驻波必须满足

$$\begin{array}{}\text{(2.65)}& n_x=\frac{2a}{{\lambda }_x},n_y=\frac{2a}{{\lambda }_y},n_z=\frac{2a}{{\lambda }_z},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.66)}& n_x=\frac{2a\cos \alpha }{\lambda },n_y=\frac{2a\cos \beta }{\lambda },n_z=\frac{2a\cos \gamma }{\lambda }.\end{array}$$

将式 2.66 的三部分平方并相加得到

$$\begin{array}{}\text{(2.67)}& n_x^2+n_y^2+n_z^2={\left(\frac{2a}{\lambda }\right)}^2({\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma ).\end{array}$$

勾股定理意味着 $({\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma )=1$，因此所有驻波必须满足

$$\begin{array}{}\text{(2.68)}& n_x^2+n_y^2+n_z^2={\left(\frac{2a}{\lambda }\right)}^2.\end{array}$$

驻波的允许频率 $\nu =c/\lambda$ 为

$$\begin{array}{}\text{(2.69)}& \nu =\frac{c}{2a}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}\end{array}$$

对于所有正整数 $n_x$、$n_y$ 和 $n_z$。

图2.17:这个二维图示说明了在腔体中传播的驻波，其波矢分别与 $x$- 轴和 $y$- 轴成 $\alpha$ 和 $\beta$ 角度。对于情况 $n_x=3$, $n_y=2$，波节点的示例（位于 $|E|=0$）用虚线标出。

允许的驻波可以表示为位于空间正八分位的晶格，其坐标轴为 $n_x>0$、$n_y>0$ 和 $n_z>0$（图 2.18）。晶格中的每个点表示一个可能的腔体辐射平衡模式。该晶格中点的空间密度为一，因此任何体积内的点的平均数量等于该体积。

设 $\rho$ 为 $(n_x,n_y,n_z)$ 空间中的径向坐标。则

$$\begin{array}{}\text{(2.70)}& {\rho }^2=n_x^2+n_y^2+n_z^2\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(2.71)}& \nu =\frac{c}{\lambda }=\left(\frac{c}{2a}\right)\rho .\end{array}$$

在频率范围 $\nu$ 到 $\nu +d\nu$ 内的独立模式数 $N_{\nu }(\nu )d\nu$ 等于球面八分体壳体在 $\rho$ 与 $\rho +d\rho$ 之间的体积，再乘以 2 以考虑电磁波的两个独立正交极化（第 2.3 节）：

$$\begin{array}{}\text{(2.72)}& N_{\nu }(\nu )d\nu =\frac{4\pi {\rho }^{2}d\rho }{8}\times 2=\pi {\left(\frac{2a\nu }{c}\right)}^2\frac{2a}{c}d\nu .\end{array}$$

根据经典理论，每个辐射模式可以具有任意能量 $E>0$。在温度为 $T$ 的热力学平衡下，任意模式具有能量 $E$ 的概率 $P(E)$ 由连续的玻尔兹曼概率分布给出：

$$\begin{array}{}\text{(2.73)}& P(E)\propto \exp \left(-\frac{E}{kT}\right).\end{array}$$

然后每个模式的平均能量为

$$\begin{array}{}\text{(2.74)}& ⟨E⟩=\frac{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}EP(E)dE}{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}P(E)dE}=kT.\end{array}$$

因此，每种模式具有相同的平均能量 $⟨E⟩=kT$。频率为 $\nu$ 的腔体辐射的谱能量密度 $u_{\nu }(T)$ 是在该频率下所有 $N_{\nu }$ 模式的总能量（式 2.72）除以腔体的体积 $a^3$：

$$\begin{array}{}\text{(2.75)}& u_{\nu }(T)=\frac{N_{\nu }(\nu )kT}{a^3}=\frac{8\pi a^3}{a^3}\frac{{\nu }^2}{c^3}kT=8\pi kT\frac{{\nu }^2}{c^3}.\end{array}$$

辐射（无论是否为黑体）的谱能量密度是每单位体积的谱能量。它等于单位面积的谱功率总流量除以流动速度 $c$：

$$\begin{array}{}\text{(2.76)}& \boxed{{\displaystyle u_{\nu }=\frac{1}{c}\int I_{\nu }d\mathrm{\Omega }.}}\end{array}$$

将黑体辐射的特定强度记作 $B_{\nu }$，并利用黑体辐射是各向同性的事实，可得黑体辐射的表达式：

$$\begin{array}{}\text{(2.77)}& u_{\nu }=\frac{1}{c}{\int }_{4\pi }{B}_{\nu }d\mathrm{\Omega }=\frac{4\pi }{c}{B}_{\nu }.\end{array}$$

结合式 2.75 和 2.77 可得

$$\begin{array}{}\text{(2.78)}& \frac{4\pi }{c}{B}_{\nu }=\frac{8\pi kT{\nu }^2}{c^3}.\end{array}$$

通过求解$B_{\nu }$，可得黑体辐射光谱亮度的瑞利--金斯近似

$$\begin{array}{}\text{(2.79)}& \boxed{{\displaystyle B_{\nu }=\frac{2kT{\nu }^2}{c^2}=\frac{2kT}{{\lambda }^2}}}\end{array}$$

该近似仅在低频极限$h\nu \ll kT$下有效。

注意：

1. 光谱亮度$B_{\nu }$与频率的平方成正比，因为三维球壳的体积与频率的平方成正比；

2. 所有模式都具有$⟨E⟩=kT$，这是在高频下失效的经典假设；

3. 瑞利--金斯近似意味着$B_{\nu }$在高$\nu$下发散，这被称为紫外灾难；

4. $B_{\nu }$与方向无关；黑体辐射是各向同性的；

5. 黑体辐射是非偏振的；你可以通过一个包含两个腔体并由一个被动偏振滤光片连接的思维实验来证明这一点，如图 2.9 所示；

6. 对立方腔体得出的这一结果适用于任何形状或（大）尺寸腔体中的平衡辐射，你可以通过一个思维实验来证明，在该实验中，一个立方腔体通过一个小滤光窗连接到另一个腔体。

2.4.2 普朗克辐射定律

在瑞利-金斯近似的推导中唯一的缺陷是经典假设，即每个辐射模可以具有任意能量$E>0$。为了消除紫外灾难，普朗克假设可能的模能量不是连续分布的，而是量子化的，并且必须满足新的约束条件

$$\begin{array}{}\text{(2.80)}& E=nh\nu ,n=1,2,3,\dots ,\end{array}$$

其中$h\approx 6.63\times {10}^{-27}$ erg·s是普朗克常数，$n$是光子的数量，即每个光子作为离散的光粒子具有能量

$$\begin{array}{}\text{(2.81)}& \boxed{{\displaystyle E=h\nu .}}\end{array}$$

那么

$$\begin{array}{}\text{(2.82)}& P(E)=P(nh\nu )\propto \exp \left(-\frac{nh\nu }{kT}\right)\end{array}$$

每个模的平均能量是通过对允许的离散能量求和而不是对所有能量积分来计算的。普朗克对方程2.74的量子化替代是

$$\begin{array}{}\text{(2.83)}& ⟨E⟩=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}nh\nu P(nh\nu )}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}P(nh\nu )}=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}nh\nu \exp \left(-\frac{nh\nu }{kT}\right)}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\exp \left(-\frac{nh\nu }{kT}\right)}.\end{array}$$

普朗克的求和在附录B.1中进行了评估；它是

$$\begin{array}{}\text{(2.84)}& ⟨E⟩=\frac{h\nu }{\exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)-1}=kT\left[\frac{\frac{h\nu }{kT}}{\exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)-1}\right].\end{array}$$

数量 $kT$ 是每个模的经典平均能量，而方括号内的数量是量子修正因子。在 $h\nu \ll kT$ 极限下，量子修正因子为一，但在 $h\nu \gg kT$ 极限下，它会指数下降到零。也就是说，高频或“紫外”模可能包含很少甚至零光子，从而避免“紫外灾难”。

因此，正确的黑体辐射定律变为

$$\begin{array}{}\text{(2.85)}& B_{\nu }=\frac{2kT{\nu }^2}{c^2}\left[\frac{\frac{h\nu }{kT}}{\exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)-1}\right],\end{array}$$

其中第一个因子是瑞利-金斯近似，方括号内的数量是量子修正因子。黑体辐射的谱亮度 $B_{\nu }$ 的普朗克公式通常写成更简单的形式

$$\begin{array}{}\text{(2.86)}& \boxed{{\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)=\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{\exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)-1}.}}\end{array}$$

每单位波长的对应亮度 $B_{\lambda }$ 可由式 2.5 得出；它可以写成频率的函数：

$$\begin{array}{}\text{(2.87)}& B_{\lambda }(\nu ,T)=\frac{{\nu }^2}{c}{B}_{\nu }(\nu ,T)=\frac{2h{\nu }^5}{c^3}\frac{1}{\exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)-1}\end{array}$$

或者波长的函数：

$$\begin{array}{}\text{(2.88)}& B_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{\exp \left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)-1}.\end{array}$$

将普朗克定律对所有频率积分（见附录 B.2）得到斯坦福–玻尔兹曼定律，该定律为温度为 $T$ 的黑体辐射器规定了有限的积分亮度：

$$\begin{array}{}\text{(2.89)}& \boxed{{\displaystyle B(T)\equiv {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{B}_{\nu }(T)d\nu =\frac{\sigma T^4}{\pi }.}}\end{array}$$

该量

$$\begin{array}{}\text{(2.90)}& \sigma \equiv \frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}\approx 5.67\times {10}^{-5}\frac{erg}{{cm}^{2}s{K}^4(sr)}\end{array}$$

被称为斯特藩-玻尔兹曼常数，也在附录B.2中推导。单位sr是无量纲的，因为立体角的维度为角度${}^2$ = (长度/长度)${}^2$。无量纲单位可以在不改变方程维度的情况下插入或删除——因此在方程2.90中sr被括号括起。为了清楚起见，应在适当情况下使用。例如，在黑体亮度(erg cm${}^{-2}$ s${}^{-1}$ K${}^{-4}$ sr${}^{-1}$)方程2.89中需要，但在辐射能量密度(erg cm${}^{-3}$)方程2.93或通量(erg cm${}^{-2}$ s${}^{-1}$ K${}^{-4}$)方程2.111中则不需要。

对于各向同性辐射，谱能量密度(方程2.76)简单为

$$\begin{array}{}\text{(2.91)}& u_{\nu }=\frac{4\pi I_{\nu }}{c},\end{array}$$

所以黑体辐射的总辐射能量密度

$$\begin{array}{}\text{(2.92)}& u\equiv {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}_{\nu }d\nu =\frac{4\pi I}{c}\end{array}$$

为

$$\begin{array}{}\text{(2.93)}& \boxed{{\displaystyle u=\frac{4\sigma T^4}{c}=a{T}^4,}}\end{array}$$

其中量

$$\begin{array}{}\text{(2.94)}& a\equiv 4\sigma /c\approx 7.56577\times {10}^{-15}erg{cm}^{-3}{K}^{-4}\end{array}$$

称为辐射常数。

在任何狭窄的频率范围内，光子的数密度是它们的光谱能量密度除以每个光子的能量，$E=h\nu$。总的光子数密度$n_{\gamma }$ 为

$$\begin{array}{}\text{(2.95)}& n_{\gamma }={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{u_{\nu }}{h\nu }d\nu .\end{array}$$

温度为 $T$ 时的黑体辐射的光子数密度为

$$n_{\gamma }=$$$$\frac{4\pi }{ch}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{\nu }(T)}{\nu }d\nu$$$$=$$

$$\begin{array}{}\text{(2.96)}& \frac{8\pi }{c^3}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\nu }^{2}d\nu }{\exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)-1}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.97)}& =\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.98)}& \frac{8\pi }{c^3}{\left(\frac{kT}{h}\right)}^3{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2}dx}{e^x-1},\end{array}$$

其中积分

$$\begin{array}{}\text{(2.99)}& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2}dx}{e^x-1}\approx 2.404\end{array}$$

在附录 B.2 中进行了计算。数值上，黑体辐射的光子数密度为

$$\begin{array}{}\text{(2.100)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{n_{\gamma }}{{cm}^{-3}}\right)\approx 20.3{\left(\frac{T}{K}\right)}^3.}}\end{array}$$

黑体辐射的平均光子能量为

$$\begin{array}{}\text{(2.101)}& \boxed{{\displaystyle ⟨E_{\gamma }⟩=\frac{u}{n_{\gamma }}=\frac{4\sigma T^4}{c{n}_{\gamma }}=\frac{{\pi }^{4}kT}{15}{\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2}dx}{e^x-1}\right)}^{-1}\approx 2.70kT.}}\end{array}$$

对应此平均光子能量的频率为 $⟨\nu ⟩$

$$\begin{array}{}\text{(2.102)}& \left(\frac{⟨\nu ⟩}{GHz}\right)=\frac{⟨E_{\gamma }⟩}{h}\approx 56\left(\frac{T}{K}\right).\end{array}$$

它接近频率 ${\nu }_{max}$，在该频率下 $B_{\nu }$，即黑体的每单位频率亮度，达到最大。设定

$$\begin{array}{}\text{(2.103)}& \frac{\partial B_{\nu }(\nu )}{\partial \nu }=0\end{array}$$

得到

$$\begin{array}{}\text{(2.104)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{{\nu }_{max}}{GHz}\right)\approx 59\left(\frac{T}{K}\right).}}\end{array}$$

波长 ${\lambda }_{max}$ 对应于

$$\begin{array}{}\text{(2.105)}& \frac{\partial B_{\lambda }(\lambda )}{\partial \lambda }=0\end{array}$$

最大化 $B_{\lambda }$，即黑体的每单位波长亮度。它为

$$\begin{array}{}\text{(2.106)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{{\lambda }_{max}}{cm}\right)\approx 0.29{\left(\frac{T}{K}\right)}^{-1}.}}\end{array}$$

式 2.106 是光学天文学家惯用的维恩位移定律形式，他们使用的光谱仪测量的是波长而不是频率。注意峰值频率 $c/{\lambda }_{max}\approx 103GHzT(K)$ 远高于 ${\nu }_{max}\approx 59GHzT(K)$。

任何不透明各向同性辐射体的单位面积单位频率发射功率为亮度 $I_{\nu }$ 的光谱通量密度为

$$\begin{array}{}\text{(2.107)}& F_{\nu }=\int I_{\nu }\cos \theta d\mathrm{\Omega },\end{array}$$

积分覆盖单位面积上方的半球面：

$$\begin{array}{}\text{(2.108)}& F_{\nu }={\int }_0^{\pi /2}{I}_{\nu }\cos \theta \left({\int }_0^{2\pi }\sin \theta d\varphi \right)d\theta =2\pi I_{\nu }{\int }_0^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta ,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.109)}& \boxed{{\displaystyle F_{\nu }=\pi I_{\nu }.}}\end{array}$$

对于温度为 $T$ 的黑体，其光谱通量密度为

$$\begin{array}{}\text{(2.110)}& F_{\nu }(T)=\pi B_{\nu }(T).\end{array}$$

在所有频率上积分得到的单位面积总功率为

$$\begin{array}{}\text{(2.111)}& \boxed{{\displaystyle F(T)=\pi B(T)=\sigma T^4.}}\end{array}$$

2.5 由温热电阻产生的噪声

电阻器是一种被动电子元件，它吸收施加在其上的电功率并将该功率转化为热量；它是电子电路的“黑体”。正如温暖腔体壁中带电粒子的运动会产生光子一样，在温度为 $T>0$ K 的电阻器中，带电粒子的运动会产生电噪声。这种噪声的频率谱仅取决于理想电阻器的温度，而与电阻器的材料无关。

天线是一种被动设备，它将电磁辐射转换为线路中的电流（当用作接收天线时）或反之（当用作发射天线时）。电阻产生的噪声与被同温度黑体辐射包围的接收天线发出的噪声无法区分。温暖的电阻在射电天文学中作为校准天线和接收机的标准，因此射电望远镜接收到的每单位带宽噪声功率通常用雷利-金斯天线温度来描述。接收天线的天线温度被定义为一个理想电阻的温度，该电阻产生的每单位带宽的瑞利—金斯噪声功率与天线输出端出现的噪声功率相同。像亮温度一样，天线温度不是物理温度。可以通过将无线电接收机的输入交替连接到已知温度的热电阻和冷电阻（有时称为热负载和冷负载）来校准其灵敏度和增益，在辐射计（一种测量噪声功率的无线电接收机）中产生的噪声量可以通过辐射计噪声温度来描述，即在一个假想的无噪声辐射计的输入端具有与实际接收机相同增益的电阻的温度，这个假想辐射计会产生相同的噪声功率输出。与亮温度类似，辐射计噪声温度不是物理温度。

由电阻中的电流产生的每单位带宽电功率 $P_{\nu }$ 的推导是一维模拟三维黑体光谱推导的类比 [75, 9]。在低射电频率下，$h\nu \ll kT$ 和雷利–金斯近似是准确的。回想一下，雷利–金斯对 $B_{\nu }$ 的推导是从一个边长为 $a\gg \lambda$ 的大立方体开始的，该立方体中包含热辐射的驻波。每个驻波模式的经典平均能量是 $⟨E⟩=kT$，频率从 $\nu$ 到 $\nu +d\nu$ 的模式数与 ${\nu }^2$ 成正比，因此 $B_{\nu }\propto {\nu }^2$。

考虑两个温度为 $T$ 的相同电阻器，它们通过一条无损传输线（例如，一对平行导线）连接，长度为 $a$，远大于所关注的最长波长（图 2.20）。传输线上形成的驻波必须满足

$$\begin{array}{}\text{(2.112)}& a=\frac{n\lambda }{2},n=1,2,3,\dots ,\end{array}$$

其中 $\lambda$ 是波长。电信号在传输线上传播的速度并不完全等于光速，而是以略低的速度 $v<c$，因此 $\nu =v/\lambda$ 并且

$$\begin{array}{}\text{(2.113)}& n=\frac{2a\nu }{v}.\end{array}$$

对 $a>\lambda$，每单位频率的模数为

$$\begin{array}{}\text{(2.114)}& N_{\nu }=\frac{2a}{v}.\end{array}$$

经典玻尔兹曼定律表明，每个模在平衡状态下具有平均能量 $⟨E⟩=kT$，因此传输线中每单位频率的平均能量为 $E_{\nu }$

$$\begin{array}{}\text{(2.115)}& E_{\nu }=N_{\nu }kT=\frac{2akT}{v}.\end{array}$$

这种能量从传输线的一端流到另一端需要时间 $\mathrm{\Delta }t=a/v$，因此传输线上每单位频率的经典功率（单位时间的能量）为

$$\begin{array}{}\text{(2.116)}& P_{\nu }=\frac{E_{\nu }}{\mathrm{\Delta }t}=2kT,\end{array}$$

与 $v$ 无关。因此，由两个相同电阻产生的总谱功率 $P_{\nu }$ 必须是 $2kT$，并且，根据对称性，每个电阻产生的谱功率为

$$\begin{array}{}\text{(2.117)}& \boxed{{\displaystyle P_{\nu }=kT}}\end{array}$$

在极限情况下 $h\nu \ll kT$。这个方程被称为奈奎斯特近似，是雷利--金斯辐射方程在电学上的对应。由于传输线的“空间”只有一个维度而不是三个维度，因此 $P_{\nu }\propto {\nu }^0$ 而不是 $P_{\nu }\propto {\nu }^2$。$P_{\nu }$ 的量纲是每单位频率的功率（例如 W Hz${}^{-1}$），$kT$ 的量纲是能量（例如焦耳），乍一看似乎不同。然而，Hz${}^{-1}$ = s，因此每单位频率的功率 W Hz${}^{-1}$ = W s = 焦耳，也具有能量的量纲。后者更简单，但前者被使用，因为它在概念上更适合表示每单位带宽的噪声功率。

图2.19:两个电阻通过一条无损耗传输线连接，该传输线长度为 $a\gg \lambda$，即关注的最长波长。在平衡状态下，传输线只能支持端点电压为零的驻波；其他模式会被有损耗的电阻抑制。

与瑞利-金斯近似类似，奈奎斯特近似也暗示了一个“紫外灾难”，这一问题可以通过普朗克的量子化规则来解决。如果每个模式中的电能被限制为 $h\nu$ 的整数倍，则奈奎斯特公式变为

$$\begin{array}{}\text{(2.118)}& P_{\nu }=kT\left[\frac{\frac{h\nu }{kT}}{\exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)-1}\right],\end{array}$$

其中方括号中的量等于黑体辐射的量子化修正（式 2.85）。精确的奈奎斯特公式通常写成如下形式

$$\begin{array}{}\text{(2.119)}& \boxed{{\displaystyle P_{\nu }=\frac{h\nu }{\exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)-1}.}}\end{array}$$

图 2.20 比较了 Nyquist 和 Planck 光谱。在低频 $\nu \ll kT/h$ 下，三维黑体辐射的比强度 $B_{\nu }$（实线曲线）与 ${\nu }^2$ 成正比。其一维对应物，即电阻产生的噪声的光谱功率密度（虚线曲线），与 ${\nu }^0$ 成正比。量子化导致两条曲线在高频处急剧的指数截断。

2.6 宇宙微波背景辐射

宇宙充满了黑体辐射，其温度现在是 $T_0=2.725\pm 0.002K$。这种宇宙微波背景辐射（CMB）是由标志着宇宙诞生的炽热“大爆炸”产生的。本节回顾了膨胀的宇宙，推导了在宇宙膨胀过程中黑体辐射的演化，并指出了CMB如何携带宇宙学信息。

2.6.1 膨胀的宇宙

膨胀的宇宙在远大于星系团的所有尺度上几乎是均匀和各向同性的。因此，处于其局部环境静止的邻近星系的后退速度 $v$ 与其（独立测量的）距离 $d$ 成正比。比例常数称为哈勃参数

$$\begin{array}{}\text{(2.120)}& H\equiv \underset{d\to 0}{lim}\left(\frac{v}{d}\right).\end{array}$$

$H(t)$ 在大爆炸之后的任何特定时间都是到处相同的 $t$，但它会随时间变化。目前的哈勃参数数值被称为哈勃常数$H_0$，其测量值为 [83]

$$\begin{array}{}\text{(2.121)}& H_0\approx 67.8\pm 0.9km{s}^{-1}{Mpc}^{-1}.\end{array}$$

代入 $3.0856\times {10}^{19}km\approx 1Mpc$ 可得 $H$ 的量纲为时间的倒数，哈勃常数可以写成 $H_0\approx {(4.55\times {10}^{17}s)}^{-1}$。由以下公式定义的哈勃时间

$$\begin{array}{}\text{(2.122)}& t_H\equiv H_0^{-1}\approx 4.55\times {10}^{17}s/{10}^{7.5}s{yr}^{-1}\approx 1.44\times {10}^{10}yr\end{array}$$

将是宇宙当前的年龄，如果宇宙从一点开始并以恒定速率膨胀。(式 2.122 中使用的实用近似 ${10}^{7.5}s\approx 1yr$ 易于记忆且精确到 0.2%。)

可观测宇宙的半径大致为哈勃距离，在该距离上哈勃参数表示的后退速度等于光速:

$$\begin{array}{}\text{(2.123)}& d_H\equiv \frac{c}{H}.\end{array}$$

它目前是 $d_H=c/H_0\approx 1.36\times {10}^{28}cm\approx 4.4\times {10}^{9}pc\approx 1.4\times {10}^{10}lightyears$。

尽管描述整个宇宙需要广义相对论，但宇宙的均匀性意味着许多全局性质可以通过外推从大小为 $d\ll d_H$ 的区域获得的牛顿结果来推导。例如，临界密度${\rho }_c$ 定义为扩张的动能等于减缓扩张的引力能的密度。考虑以某观察者为中心、半径为 $d$ 的球形区域，以及在其表面上的单位测试质量，其以径向速度 $v=Hd$ 后退。如果球体内的平均密度为 ${\rho }_c$，则单位质量的动能和引力势能之和为零：

$$\begin{array}{}\text{(2.124)}& \frac{v^2}{2}-\frac{GM}{d}=0,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.125)}& \frac{H^2{d}^2}{2}=\frac{G}{d}\left(\frac{4\pi d^3{\rho }_c}{3}\right),\end{array}$$

因此今天的临界密度为

$$\begin{array}{}\text{(2.126)}& \boxed{{\displaystyle {\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}\approx 8.6\times {10}^{-30}g{cm}^{-3}}}\end{array}$$

对于 $H_0=67.8km{s}^{-1}{Mpc}^{-1}$。普通重子物质在质量上主要由质子和中子组成，其质量为 $m\approx 1.67\times {10}^{-24}g$，因此需要的质子和中子平均数密度为 $n_b\approx 5.2\times {10}^{-6}{cm}^{-3}$ 才能提供临界密度。然而，在物质主导的宇宙中，彼此之间的引力会减缓膨胀。低密度（$\rho \ll {\rho }_c$）宇宙的膨胀年龄接近 $t_H$，但临界密度物质主导的宇宙的年龄应仅为 $(2/3)H_0^{-1}\approx 9.6Gyr$，这小于已知最古老恒星的年龄。实际上，暗能量主导了当今宇宙的质量能量，它具有一个奇特的特性，即它加速膨胀，使宇宙的实际年龄接近 $t_H$，从而消除了恒星比宇宙更老的问题。

2.6.2 膨胀宇宙中的黑体辐射

随着宇宙自大爆炸以来随时间膨胀，黑体CMB是如何演化的呢 $t$？在大尺度上，宇宙在空间上是均匀和各向同性的，因此可以通过考虑黑体辐射在一个随宇宙一起缓慢增长的小想象立方体中发生的情况来计算CMB的性质。这里的“较小”仅意味着远小于 $d_H$，以便可以忽略相对论效应；立方体的边长可能是当前分隔 $\sim 100Mpc$ 的两颗星系之间的距离。虽然这个想象的立方体没有墙，但从立方体中逸出的CMB辐射会被来自相邻类似立方体进入立方体的CMB辐射所平衡。因此，立方体内的宇宙微波背景辐射的能量密度和光谱与具有镜面墙并经历缓慢绝热（意味着没有热量传入或传出立方体）膨胀的立方腔内完全相同。辐射在缓慢膨胀过程中保持平衡，因此它始终是黑体辐射。

宇宙和虚拟立方体的膨胀都可以用一个无量纲的膨胀尺度因子$a(t)$来描述，其中$a(t_0)\equiv 1$是今天的值。立方体中的光子数密度$n_{\gamma }$会随着$a^{-3}$下降，因为膨胀立方体中的光子总数在$a$增长时保持不变。黑体辐射的光子数密度与$T^3$成正比（式 2.100），因此CMB的温度随着$T=a^{-1}{T}_0$下降，其中$T_0\approx 2.725K$。同时，黑体辐射每个光子的平均能量与$T$成正比。因此，任意单个光子的波长$\lambda$与$a$成正比，即使该光子来自一个不具有黑体光谱的源。

天文学家经常使用由……定义的术语红移

$$\begin{array}{}\text{(2.127)}& \boxed{{\displaystyle z\equiv \frac{{\lambda }_o-{\lambda }_e}{{\lambda }_e}=\frac{{\lambda }_o}{{\lambda }_e}-1=\frac{{\nu }_e}{{\nu }_o}-1,}}\end{array}$$

其中 ${\lambda }_e$ 和 ${\nu }_e$ 分别是源在红移 $z$ 时发出的波长和频率，而 ${\lambda }_o$ 和 ${\nu }_o$ 是在 $z=0$ 观测到的波长和频率。红移 $z$ 与膨胀因子 $a$ 之间的关系为

$$\begin{array}{}\text{(2.128)}& \boxed{{\displaystyle (1+z)=a^{-1}.}}\end{array}$$

因此，在红移 $z$ 时的 CMB 温度为

$$\begin{array}{}\text{(2.129)}& \boxed{{\displaystyle T=T_0(1+z).}}\end{array}$$

CMB 辐射无处不在，因此星际物质（例如星际尘埃或气体）被 CMB 加热至至少由式 2.129 给出的温度。类似我们银河系的近邻星系中的星际尘埃温度为 $\sim 20K$，这远高于 $T_0\sim 3K$，但与高红移星系所感受到的 CMB 温度相当。CMB 将影响高红移星系可见的谱线和连续谱发射。

在对应红移 $z_{\star }=1091\pm 1$ 的时间之前，CMB 温度为 $T>3000K$，辐射使充满宇宙的氢原子电离足够多，从而保持宇宙不透明。这个光子无法逃逸的“墙”被称为最后散射面，它定义了可见宇宙的极限。在复合时代，当宇宙的年龄仅为 $t_{\star }=(379\pm 5)\times {10}^{3}yr$ 时，几乎所有的自由质子和电子结合形成中性氢原子，宇宙对 CMB 变得透明。（术语 再结合具有误导性，因为质子和电子实际上是第一次结合。）今天接收到的宇宙微波背景（CMB）光子最后一次散射是在那个时候发生的，此后一直沿直线传播，因此现在制作的 CMB 图像（图 8.16）（$z=0$）显示了 CMB 当时的温度分布（$z_{\star }\approx 1091$）。

2.6.3 宇宙微波背景的预测与发现

早在观察到CMB之前，乔治·伽莫夫及其学生就计算了热大爆炸几分钟后通过核合成产生的相对氢和氦丰度（图 2.21），当时CMB的温度为$T>{10}^9$ K [2]。特别是氘的丰度，对重子（主要是按质量计算的质子加中子）和光子$n_{\gamma }$的相对数密度$n_b$非常敏感。比率$\eta \equiv n_b/n_{\gamma }\approx 6\times {10}^{-10}$自那时以来保持不变，因为$n_b$和$n_{\gamma }$都与$a^{-3}$成正比。方程2.100给出了$T_0\approx 2.725K$ CMB的光子数密度。它是 $n_{\gamma }\approx 411{cm}^{-3}$。如果是 $\eta \approx 6\times {10}^{-10}$，那么重子数密度是 $n_b\approx 2.5\times {10}^{-7}{cm}^{-3}$，这仅约为使宇宙闭合所需密度的 5%（方程式 2.126）。Alpher 和 Herman [3] 基于宇宙的化学成分提出了对当前宇宙微波背景温度的首次估计 $T_0\approx 5K$。他们还表明，只有轻元素可以通过大爆炸核合成形成，因为组装较重元素所需的自由中子以大约 10 分钟的半衰期衰变。恒星产生较重的元素。

图2.21:早期宇宙的能量密度以热黑体辐射为主。到$T\approx {10}^{10}K$时，温度降至$T\approx {10}^{10}K$，中子衰变成质子和电子，或者与质子结合形成氘核，其中大部分在前三分钟内结合形成氦核。早期宇宙的化学组成是重子/光子数比$\eta \approx 6\times {10}^{-10}$的函数。“普通”重子物质现在约占宇宙能量密度的4.6%。图片来源：NASA/WMAP科学团队。

尽管从射电天文学的标准来看，$5K$ 是一个非常强的信号，但由于宇宙微波背景辐射（CMB）几乎各向同性，它在接收器和射电望远镜中很难与其他噪声源区分开来。与紧凑射电源的发射不同，CMB 不能通过比较两个相邻天空区域的差分测量来隔离。它在1964年被 Arno Penzias 和 Robert Wilson [81] 偶然发现，他们报告了经过辛苦测量后显示的各向同性“天线余温”，来自贝尔实验室的角锥天线，频率为4080 MHz。随后的测量，特别是由 COBE http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/cobe/（宇宙背景探测器）卫星进行的测量，已经证明这种“多余噪声”在远红外范围内与黑体谱相符，精度达到每百万分之50。

2.6.4 偶极各向异性

在移除了银河平面附近前景源的污染之后，CMB 中观测到的最大各向异性是二极各向异性，其振幅为

$$\begin{array}{}\text{(2.130)}& \mathrm{\Delta }T\approx 3.37\cos \theta mK,\end{array}$$

其中 $\theta$ 是相对于地球相对于整个宇宙运动方向的角度（银河纬度 $b=+{48}^{\circ }$，银河经度 $l={264}^{\circ }$）。地球的速度 $v_{\oplus }$ 远小于光速，因此可以使用非相对论多普勒公式来估算地球运动引起的红移：

$$\begin{array}{}\text{(2.131)}& \frac{v_{\oplus }}{c}\approx \frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{\lambda }\approx z\approx \frac{\mathrm{\Delta }T}{T}\approx \frac{3.37\times {10}^{-3}K}{2.725K}\approx 1.24\times {10}^{-3},\end{array}$$

或 $v_{\oplus }\approx 370km{s}^{-1}$。这个速度与独立测量的地球绕太阳运动、太阳绕银河系中心运动，以及我们银河系在本地宇宙中的特殊运动的向量和一致。

2.6.5 内在各向异性

由于早期宇宙是均匀且各向同性的，其物理规律非常简单，宇宙在再组合时期的年龄 $t_{\star }$ 可以被计算出来。在那段时间里，暗物质密度中的小不均匀性被引力放大。重子开始落入引力势阱，而 CMB 通过在 $t_{\star }$ 之前存在的大量自由电子上的汤姆逊散射（式 5.33）与这一流动耦合。辐射压力抵抗这种下落，形成了类似于空气中声音振动的重子声学振荡，但具有速度 $c_s\approx c/\sqrt{3}$ 的“声速”。CMB 亮度中最强的振荡对应的波长等于再组合时期声障的直径：

$$\begin{array}{}\text{(2.132)}& {\lambda }_{\star }\approx 2c_s{t}_{\star }\approx \frac{2c{t}_{\star }}{\sqrt{3}}\approx \frac{2\cdot 379\times {10}^3}{\sqrt{3}}ly\approx 438\times {10}^{3}ly,\end{array}$$

大约是 $134kpc$。在重组之后，光子解耦，这个“标准尺”按比例增长到当前大小 $146Mpc$（$1+z_{\star })\approx 1092$）。图 8.16 显示了这些投影到球面上的 CMB 亮度波动 [106]。由威尔金森微波各向异性探测器 (WMAP)和普朗克任务观测到的 CMB 波动角功率谱（图 1.16）显示，这个尺子的角度尺寸是 ${\theta }_{\star }=0.010388\pm 0.000027rad$，因此到最后散射面（last scattering surface）的共动距离是 $D_A=(1+z_{\star }){\lambda }_{\star }/{\theta }_{\star }\approx 14.1\pm 0.16Gpc$。可观测宇宙的半径（包括来自红移 $z\gg z_{\star }$ 的引力辐射和中微子）仅大约大 2%。如果我们生活在一个平坦的 $\mathrm{\Lambda }$CDM 宇宙中（$\mathrm{\Lambda }$ 冷暗物质宇宙，其中 $\mathrm{\Lambda }$ 代表与暗能量相关的宇宙常数），其当前年龄是 $t=13.75\pm 0.13Gyr$。

整个天空中CMB的固有均方根值为$\sigma \approx 18\mu K$，仅约为平均值$T\approx 2.725K$的$\sim {10}^{-5}$。这引出了视界问题：为什么CMB温度在相距超过${\theta }_{\star }\approx 0.01rad$的点上是相同的，而这些点在复合时刻之前从未有因果联系？简单的宇宙大爆炸模型还有一个平坦性问题。今天的宇宙几乎是“平坦”的，因此其密度接近临界密度，而当宇宙还小得多时（例如在$z\sim {10}^9$时期的核合成阶段），它的密度必须非常接近临界密度。是什么对宇宙的密度进行了“精确调节”？

这两个问题的首选解决方案是，早期宇宙经历了一个短暂的（$\sim {10}^{-32}s$）膨胀阶段，在此期间，尺度因子 $a$ 指数增长了一个因子 $>{10}^{26}$。可观测宇宙只是整个宇宙的一个微不足道且因果相关的部分，几乎全部都在我们的视界之外。与膨胀相关的真空能量确保物质和能量共同贡献的总密度接近临界密度。

2.7 加速电荷的辐射

麦克斯韦方程意味着所有经典电磁辐射都是由加速的电荷产生的。可以通过麦克斯韦方程推导出受任意但很小加速度 $\mathrm{\Delta }v/\mathrm{\Delta }t$ 的点电荷（一个带电粒子）的辐射强度和角分布，但复杂的数学公式掩盖了物理解释，而这一点在 J. J. 汤姆逊的启发性推导中仍然清晰可见（见 [69]）。

如果带电粒子 $q$ 静止或以恒定速度运动，它的电场线是纯径向的：$|\overrightarrow{E}|=E_r$。假设一个带电粒子最初静止，在短时间 $\mathrm{\Delta }t$ 内被加速到一个小速度 $\mathrm{\Delta }v\ll c$。这会扰动力线，并且扰动以光速向外传播 $c$。图 2.22 显示，在加速后时间 $t$，扰动已经传播到 $r=ct$，并且电场的垂直分量的大小为

$$\begin{array}{}\text{(2.133)}& \frac{E_{\mathrm{\perp }}}{E_r}=\frac{\mathrm{\Delta }vt\sin \theta }{c\mathrm{\Delta }t},\end{array}$$

其中 $\theta$ 是加速度矢量与连接电荷和观察者的视线之间的角度。网页小程序 https://phet.colorado.edu/en/simulation/radiating-charge 提供了对此效应的非常清晰和互动的演示。

图2.22:加速电子产生的电场线。虚线圆表示电子的初始位置，虚线是从该位置发出的径向力线。在小幅加速 $\mathrm{\Delta }v/\mathrm{\Delta }t$ 后的时间 $t$，电子的位置移动了 $\mathrm{\Delta }vt$，其力线横向偏移了 $\mathrm{\Delta }vt\sin \theta$。

库仑定律对于距离静止电荷 $q$ $r$ 的电场（单位电荷的电力）的径向分量 $E_r$ 为

$$\begin{array}{}\text{(2.134)}& \boxed{{\displaystyle E_r=\frac{q}{r^2}}}\end{array}$$

使用高斯 CGS 单位。将式 2.133 中的 $r/c$ 代入 $t$ 并使用库仑定律消去 $E_r$ 得到

$$\begin{array}{}\text{(2.135)}& E_{\mathrm{\perp }}=\frac{q}{r^2}\left(\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\right)\frac{r\sin \theta }{c^2}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(2.136)}& \boxed{{\displaystyle E_{\mathrm{\perp }}=\frac{q\dot{v}\sin \theta }{r{c}^2},}}\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(2.137)}& \dot{v}\equiv \underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\left(\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\right).\end{array}$$

式 2.136 对于任何小加速度都是有效的，而不仅仅是单一频率的正弦加速度。在 $r=ct$ 处的横向场 $E_{\mathrm{\perp }}$ 模拟了在 $t=0$ 处的加速度。因此，正弦加速度会导致 $E_{\mathrm{\perp }}$ 以相同频率发生正弦变化。

注意到 $E_{\mathrm{\perp }}\propto r^{-1}$（式 2.136）随距离 $r$ 的减小速度比 $E_r\propto r^{-2}$（式 2.134）慢。在远离带电粒子的位置，只有 $E_{\mathrm{\perp }}$ 会对观测到的电场做出显著贡献。从远处观察者的角度来看，只有垂直于视线的“可见”加速度分量（$\dot{v}\sin \theta$）会对辐射电场产生贡献；平行于视线的“不可见”加速度分量（$\dot{v}\cos \theta$）不会表现出辐射——你看到的就是你得到的。同样，辐射电场沿着垂直于视线的加速度分量的方向呈线性极化。

每个方向辐射的功率是多少？庞廷能流，或单位面积的功率（例如，erg s^-1 cm^-2），为

$$\begin{array}{}\text{(2.138)}& \overrightarrow{S}=\frac{c}{4\pi }\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}.\end{array}$$

在CGS单位中 $|\overrightarrow{E}|=|\overrightarrow{B}|$，所以

$$\begin{array}{}\text{(2.139)}& \boxed{{\displaystyle |\overrightarrow{S}|=\frac{c}{4\pi }{E}^2.}}\end{array}$$

将式 2.136 代入式 2.139 得到

$$\begin{array}{}\text{(2.140)}& |\overrightarrow{S}|=\frac{c}{4\pi }{\left(\frac{q\dot{v}\sin \theta }{r{c}^2}\right)}^2=\left(\frac{q^2{\dot{v}}^2}{4\pi c^3}\right)\frac{{\sin }^2\theta }{r^2}\end{array}$$

在大的距离 $r$。加速电荷辐射呈偶极功率模式 $\propto {\sin }^2\theta$，形状像甜甜圈，其轴线与加速度 $\dot{v}$ 平行（图 2.23）。

图2.23:显示带电粒子拉莫尔辐射功率模式，对于一个加速度矢量 $\dot{v}$ 相对于视线倾斜 60 度。任意方向接收到的功率与 $\dot{v}$ 垂直于视线的分量成正比。

总发射功率是 $|\overrightarrow{S}|$ 在半径为 $r$ 的球面上的积分：

$$P$$

$$\begin{array}{}\text{(2.141)}& ={\int }_{sphere}|\overrightarrow{S}|dA=\frac{q^2{\dot{v}}^2}{4\pi c^3}{\int }_{\varphi =0}^{2\pi }{\int }_{\theta =0}^{\pi }\frac{{\sin }^2\theta }{r^2}r\sin \theta d\theta rd\varphi \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2.142)}& =\frac{q^2{\dot{v}}^2}{2c^3}{\int }_{\theta =0}^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta .\end{array}$$

积分 ${\int }_{\theta =0}^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta =4/3$，因此，加速带电粒子发射的总功率为：

$$\begin{array}{}\text{(2.143)}& \boxed{{\displaystyle P=\frac{2}{3}\frac{q^2{\dot{v}}^2}{c^3}.}}\end{array}$$

这个结果称为劳伦兹公式。它意味着任何带电粒子在加速时都会辐射，并且总辐射功率与加速度的平方成正比。最大的天体物理加速度通常由电磁力产生，因此加速度与粒子的电荷/质量比成正比。在天体源中，电子的辐射通常比质子的辐射强 $m_p/m_e{)}^2\approx 4\times {10}^6$ 倍。

拉莫尔的极有用的方程将成为我们推导短偶极天线辐射以及天体源的自由-自由辐射和同步辐射的基础。请注意，拉莫尔公式是非相对论性的；它仅在相对于辐射粒子运动速度为 $v\ll c$ 的参考系中有效。为了处理在观测者参考系中以接近光速运动的粒子，我们必须首先使用拉莫尔方程计算粒子静止参考系中的辐射，然后以相对论正确的方式将结果转换到观测者参考系。此外，拉莫尔公式并未考虑量子力学的约束，因此在应用于原子等微观系统时应格外谨慎。例如，拉莫方程错误地预测，氢原子最低能级的电子会迅速辐射掉所有动能并坠入原子核。另一方面，它正确预测了氢原子中电子在非常高能级上轨道运动时发射的射电功率。

2.8 射电波段的尘埃辐射

所有太空中的小固体颗粒都被天文学家称为尘埃颗粒。星际尘埃最初是因为它会散射或吸收来自恒星的紫外线、可见光和近红外光子而被识别出来的。消光被定义为由光子散射和光子吸收共同引起的来自点光源的光的总减弱，通常以$mag=0.4dex$为单位表示。消光量与波长成反比，对于$0.1\mu m\le \lambda \le 7\mu m$，这表明负责的颗粒大小为$a\le \lambda /(2\pi )\le 1\mu m$。星际尘埃颗粒比裸眼可见的常见地球尘埃颗粒小得多，并且比可用于地面射电天文学的波长$\lambda >300\mu m$（频率$\nu <1000GHz$）小得多（图 1.3）。

尘埃散射是因为入射辐射的振荡电场迫使尘埃颗粒内的电子振荡，从而以相同频率向各个方向重新辐射，如第 2.7 节 所示。在射电极限 $\lambda \gg a$ 下，这些辐射体的效率非常低，因此它们的散射截面与 ${\lambda }^{-4}$ 成正比（瑞利定律）。瑞利定律适用于所有小颗粒，无论其成分如何。在 $a\ll \lambda$ 极限下的散射称为瑞利散射，而空气分子对阳光的瑞利散射解释了为什么天空是那么蓝，落日又那么红。尽管恒星前方的尘埃对光子的散射会使恒星看起来更暗且颜色更红，但尘埃在像外部星系这样的延伸天体内部的散射既不影响其总亮度，也不影响其颜色。只有其内部尘埃消光的吸收成分才能使外部星系变红或变暗。

一些入射光子被吸收，其能量使尘埃颗粒升温。单个紫外光子携带的能量可以显著提高非常小的 ($a\ll 1\mu m$) 尘埃颗粒的温度，因此最小的颗粒并未与局部星际辐射场达到热力学平衡。较大的星际尘埃颗粒具有足够的热容量，可以在明确定义的温度下达到平衡 $20<T_d(K)<200$，使吸收的能量与主要以远红外 (FIR) 波长重新发射的能量相平衡 $\lambda \sim 100\mu m$。宇宙背景中的几乎相等的紫外/光学和远红外峰值（图 1.4）意味着大约一半的紫外/光学恒星光能够逃逸，另一半在其母星系内被吸收。这个结果是所有星系的平均值，但单个星系的情况可以从几乎透明（例如，尘埃很少的椭圆星系）到几乎不透明（例如，致密的超亮星爆星系 Arp 220）不等。

灰尘吸收截面随 ${\lambda }^{-2}$ 在 $a\ll \lambda$ 时变化，因此在射电波长下 (1) 灰尘吸收 ($\propto {\lambda }^{-2}$) 对总消光的贡献远大于灰尘散射 ($\propto {\lambda }^{-4}$)，(2) 所有星系几乎都是透明的。因此，无线电（和远红外 $\lambda >30\mu m$）观测可以穿透尘埃丰富的星爆星系，且无线电/远红外的光度几乎与近期恒星形成速率成正比，不受灰尘遮蔽影响。

图2.24:近邻星爆星系 M82 [30] 的无线电和远红外光谱。自由-自由辐射的贡献由几乎水平的虚线表示。低频和高频分别由同步辐射（点划线）和热尘埃辐射（点线）主导。分布在星系各处的 Hii 区的自由-自由吸收吸收了一部分同步辐射，并在最低频率处使整体光谱变平。图 8.13 显示了 M82 的无线电图像。

遵守不透明物体的基尔霍夫定律（式 2.47），小尘埃颗粒也是低效的发射体。它们的吸收和发射系数都随频率按 $ϵ(\nu )\propto {\nu }^{\beta }$ 变化，其中 $1<\beta <2$ 和 $\beta \to 2$ 在瑞利极限下。因此，尘埃射电源没有瑞利–金斯射电谱 $S_{\nu }\propto {\nu }^2$；它们具有相对“蓝色”的光谱，上升为 $S_{\nu }\propto {\nu }^{2+\beta }$。图 2.24 中的虚线曲线显示 M82 星系的尘埃辐射表明 $S_{\nu }\propto {\nu }^3$ 到 ${\nu }^4$ 对于 $\nu <1000GHz$。

这种急剧上升的光谱的一个突出的后果是，通过 $\lambda \sim 1mm$（$\nu \sim 300GHz$）大气窗口（图 1.3）观察到的星系的流量密度，在 $1<z<10$ 范围内几乎不依赖于其红移。最强的亚毫米星系往往是最明亮的，而在接近 $\lambda =1mm$ 波长的射电巡天对于追踪在大多数恒星形成期间整个红移范围内的恒星形成速率是有效的 [10]。

天文尘埃也存在于原行星盘中。这些“尘埃”颗粒比星际尘埃颗粒大得多，因此它们可以成为强烈的射电发射源，在 $\lambda \sim 1mm$ 处几乎呈黑体谱。围绕年轻恒星 HL Tau 的尘埃盘的壮观 ALMA 图像（图 8.5）（图 8.9）具有足够的角分辨率（$\approx 0.035arcsec$），可以显示出由年轻行星雕刻出的暗环 [1]。