附录 D 等离子体中的波传播

射电波的传播受麦克斯韦方程组支配：

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{D}=4\pi \rho ,$$$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{B}=0,$$$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},$$$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H}=\frac{4\pi \overrightarrow{J}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}.$$

(D.1) (D.2) (D.3) (D.4)

D.1 低密度等离子体中的色散与反射

我们银河系的星际介质 (ISM) 几乎是一个完美的真空，因此 $\overrightarrow{D}\approx \overrightarrow{E}$ 和 $\overrightarrow{B}\approx \overrightarrow{H}$。然而，电流密度（单位面积上的电荷流率） $\overrightarrow{J}$ 不必为零，因为在 ISM 中存在自由电子，其平均密度为 $n_e\sim 0.03{cm}^{-3}$。单色平面波在 $x$ 方向传播，频率为 $\omega$，其横向电场 $E=E_0\exp (ikx-i\omega t)$ 作用在 $x=0$ 处的自由电子上，会使电子以 $\omega$ 的频率振荡，并产生振荡电流。ISM的密度低到可以忽略电子碰撞引起的阻尼，因此电子的运动方程为

$$F=m_e\dot{v}=eE=e{E}_0\exp (-i\omega t),$$

(D.5)

其中$\dot{v}$是电子的加速度。对方程D.5进行积分得到电子速度

$$v={\int }_0^t\dot{v}dt=-\frac{e{E}_0}{i\omega m_e}\exp (-i\omega t).$$

(D.6)

由于产生的电流密度与施加的电场强度成正比，因此ISM遵循欧姆定律

$$\overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E},$$

(D.7)

其中比例常数$\sigma$称为介质的电导率。电流密度是单位面积上的电荷流动速率，因此$J=e{n}_{e}v$，ISM的电导率为

$$\sigma =\frac{J}{E}=e{n}_e\left(-\frac{e}{i\omega m_e}\right)=i\left(\frac{e^2{n}_e}{\omega m_e}\right).$$

(D.8)

无碰撞等离子体的电导率是纯虚数。这意味着电流密度和电场相位相差 90 度，且电波可以传播而不遭受电阻功率损耗。

对于沿 $x$ 方向传播的平面波，

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\to ikand\frac{\partial }{\partial t}\to -i\omega ,$$

（D.9）

麦克斯韦的两个旋度方程变为

$$ikE$$$$=\frac{i\omega H}{c},$$$$-ikH$$$$=\frac{4\pi \sigma E}{c}-\frac{i\omega E}{c}.$$

（D.10）（D.11）

使用第一个方程将 $H$ 从第二个方程消去得到

$$-ikH=-ik\left(\frac{ckE}{\omega }\right)=\frac{4\pi \sigma E}{c}-\frac{i\omega E}{c}.$$

（D.12）

因此

$$k^2={\left(\frac{\omega }{c}\right)}^2\left(1+i\frac{4\pi \sigma }{\omega }\right).$$

（D.13）

ISM 电导率（式 D.8）可以用等离子体频率表示，定义为

$$\boxed{{\displaystyle {\nu }_p\equiv {\left(\frac{e^2{n}_e}{\pi m_e}\right)}^{1/2}\approx 8.97kHz{\left(\frac{n_e}{{cm}^{-3}}\right)}^{1/2}.}}$$

（D.14）

在 ISM 中，等离子体频率 $n_e\sim 0.03{cm}^{-3}$ 仅为 ${\nu }_p\sim 0.3kHz$。

就 ${\nu }_p$ 而言，波矢的大小 $k$ 满足

$$k^2={\left(\frac{\omega }{c}\right)}^2\left(1-\frac{{\nu }_p^2}{{\nu }^2}\right),$$

(D.15)

其中 $\nu =\omega /(2\pi )$。对于频率 $\nu$ 低于等离子体频率 ${\nu }_p$ 的射电波，波矢是虚数。低频辐射无法穿过等离子体，而入射到等离子体的射电波 $\nu <{\nu }_p$ 会被反射。例如，地球电离层F 层的最大电子密度为 $n_e\approx {10}^6{cm}^{-3}$，因此频率低于 $\nu \sim 10MHz$ 的天体射电辐射会被电离层反射回太空，无法从地面观测到。

等离子体的折射率为

$$\boxed{{\displaystyle \mu =\frac{ck}{\omega }={(1-\frac{{\nu }_p^2}{{\nu }^2})}^{1/2}.}}$$

(D.16)

在适用于星际介质中射电波的极限 ${\nu }_p\ll \nu$ 下，

$$\mu \approx 1-\frac{{\nu }_p^2}{2{\nu }^2},$$

(D.17)

并且穿过星际介质 (ISM) 的无线电脉冲的群速度$v_g$ 取决于频率：

$$\boxed{{\displaystyle v_g\approx \mu c\approx c(1-\frac{{\nu }_p^2}{2{\nu }^2}).}}$$

(D.18)

D.2 磁化等离子体中的法拉第旋转

如果 ISM 中存在强度为 $B$ 的磁场，所有非相对论电子都会以角频率绕磁力线旋转

$${\omega }_G=\frac{eB}{m_{e}c},$$

(D.19)

其中 ${\nu }_G={\omega }_G/(2\pi )$ 称为回转频率（第 5.1.1 节）。在随电子旋转的（非惯性）坐标系中，频率为 $\omega$ 的圆偏振辐射将以频率 $\omega +{\omega }_G$ 或 $\omega -{\omega }_G$ 驱动电子，具体取决于圆偏振的方向（左旋或右旋）。由于无碰撞等离子体中的折射率依赖于频率（式 D.16），因此在磁化等离子体中存在两个折射率，这被称为双折射。线偏振波是左旋和右旋圆偏振波的叠加，因此当波沿着磁场方向传播时，线偏振波的位置角会发生旋转。这种旋转称为法拉第旋转，它是测量射电源中磁场沿视线分量$B_{\parallel }$的有用工具。描述法拉第旋转的方程式可以通过扩展第D.1 节中的推导轻松得到。

方程D.5可以扩展，以包括稳恒环境磁场强度$B$对电子的作用力：

$$F=m_e\dot{v}=e{E}_0\exp (-i\omega t)+\frac{e}{c}v{B}_{\parallel },$$

(D.20)

其中$B_{\parallel }$是磁场沿电磁场$E=E_0\exp (ikx-i\omega t)$方向的分量。如果入射波是圆偏振的：

$$\overrightarrow{E}=E_y\hat{y}\pm i{E}_z\hat{z},$$

(D.21)

则电子速度为

$$\overrightarrow{v}=v(\hat{y}\pm i\hat{z})\exp (-i\omega t)$$

(D.22)

以及

$$v=i\left[\frac{eE}{m_e(\omega \pm {\omega }_G)}\right].$$

(D.23)

磁化等离子体的导电率为

$$\sigma =i\left[\frac{e^2{n}_e}{m_e(\omega \pm {\omega }_G)}\right],$$

(D.24)

折射率具有两个值

$$\mu ={\left[1-\frac{{\nu }_p^2}{\nu (\nu \pm {\nu }_G)}\right]}^{1/2}.$$

(D.25)

法拉第旋转使偏振角变化为

$$\mathrm{\Delta }\chi \approx {\lambda }^2\left[\frac{e^3}{2\pi {(m_e{c}^2)}^2}{\int }_{los}{n}_e(l)B_{\parallel }(l)dl\right]\equiv {\lambda }^{2}RM,$$

(D.26)

方括号中的量定义了旋转测量值RM。符号约定为，当磁场从光源指向观测者时，RM为正值。在天文学上方便的单位中，

$$\left(\frac{RM}{rad{m}^{-2}}\right)\approx 8.1\times {10}^5{\int }_{los}\left(\frac{n_e}{{cm}^{-3}}\right)\left(\frac{B_{\parallel }}{gauss}\right)\left(\frac{dl}{pc}\right).$$

(D.27)

法拉第旋转现象也可能导致法拉第去偏振，当旋转发生在发射区域内时。