附录 D 等离子体中的波传播

射电波的传播受麦克斯韦方程组支配：

\[{{\overset{\rightarrow}{\nabla} \cdot \overset{\rightarrow}{D}} = {4\pi\rho}}, \]

\[{{\overset{\rightarrow}{\nabla} \cdot \overset{\rightarrow}{B}} = 0}, \]

\[{{\overset{\rightarrow}{\nabla} \times \overset{\rightarrow}{E}} = {- {\frac{1}{c}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{B}}{\partial t}}}}, \]

\[{{\overset{\rightarrow}{\nabla} \times \overset{\rightarrow}{H}} = {\frac{4\pi\overset{\rightarrow}{J}}{c} + {\frac{1}{c}\frac{\partial\overset{\rightarrow}{D}}{\partial t}}}}. \]

(D.1) (D.2) (D.3) (D.4)

D.1 低密度等离子体中的色散与反射

我们银河系的星际介质 (ISM) 几乎是一个完美的真空，因此 \(\overset{\rightarrow}{D} \approx \overset{\rightarrow}{E}\) 和 \(\overset{\rightarrow}{B} \approx \overset{\rightarrow}{H}\)。然而，电流密度（单位面积上的电荷流率） \(\overset{\rightarrow}{J}\) 不必为零，因为在 ISM 中存在自由电子，其平均密度为 \(n_{e} \sim {0.03{cm}^{- 3}}\)。单色平面波在 \(x\) 方向传播，频率为 \(\omega\)，其横向电场 \(E = {E_{0}{\exp{({{ikx} - {i\omega t}})}}}\) 作用在 \(x = 0\) 处的自由电子上，会使电子以 \(\omega\) 的频率振荡，并产生振荡电流。ISM的密度低到可以忽略电子碰撞引起的阻尼，因此电子的运动方程为

\[{F = {m_{e}\overset{˙}{v}} = {eE} = {eE_{0}{\exp{({- {i\omega t}})}}}}, \]

(D.5)

其中\(\overset{˙}{v}\)是电子的加速度。对方程D.5进行积分得到电子速度

\[{v = {\int_{0}^{t}{\overset{˙}{v}{dt}}} = {- {\frac{eE_{0}}{i\omega m_{e}}{\exp{({- {i\omega t}})}}}}}. \]

(D.6)

由于产生的电流密度与施加的电场强度成正比，因此ISM遵循欧姆定律

\[{\overset{\rightarrow}{J} = {\sigma\overset{\rightarrow}{E}}}, \]

(D.7)

其中比例常数\(\sigma\)称为介质的电导率。电流密度是单位面积上的电荷流动速率，因此\(J = {en_{e}v}\)，ISM的电导率为

\[{\sigma = \frac{J}{E} = {en_{e}\left( {- \frac{e}{i\omega m_{e}}} \right)} = {i\left( \frac{e^{2}n_{e}}{\omega m_{e}} \right)}}. \]

(D.8)

无碰撞等离子体的电导率是纯虚数。这意味着电流密度和电场相位相差 90 度，且电波可以传播而不遭受电阻功率损耗。

对于沿 \(x\) 方向传播的平面波，

\[{\left. \overset{\rightarrow}{\nabla}\rightarrow{{ik}\operatorname{\quad\quad}{and}} \right.\operatorname{\quad\quad}\left. \frac{\partial}{\partial t}\rightarrow{- {i\omega}} \right.}, \]

（D.9）

麦克斯韦的两个旋度方程变为

\[ikE \]

\[{= \frac{i\omega H}{c}}, \]

\[- {ikH} \]

\[{= {\frac{4\pi\sigma E}{c} - \frac{i\omega E}{c}}}. \]

（D.10）（D.11）

使用第一个方程将 \(H\) 从第二个方程消去得到

\[{{- {ikH}} = {- {ik\left( \frac{ckE}{\omega} \right)}} = {\frac{4\pi\sigma E}{c} - \frac{i\omega E}{c}}}. \]

（D.12）

因此

\[{k^{2} = {\left( \frac{\omega}{c} \right)^{2}\left( {1 + {i\frac{4\pi\sigma}{\omega}}} \right)}}. \]

（D.13）

ISM 电导率（式 D.8）可以用等离子体频率表示，定义为

\[\boxed{\nu_{p} \equiv \left( \frac{e^{2}n_{e}}{\pi m_{e}} \right)^{1/2} \approx 8.97{kHz}\left( \frac{n_{e}}{{cm}^{- 3}} \right)^{1/2}.} \]

（D.14）

在 ISM 中，等离子体频率 \(n_{e} \sim {0.03{cm}^{- 3}}\) 仅为 \(\nu_{p} \sim {0.3{kHz}}\)。

就 \(\nu_{p}\) 而言，波矢的大小 \(k\) 满足

\[{k^{2} = {\left( \frac{\omega}{c} \right)^{2}\left( {1 - \frac{\nu_{p}^{2}}{\nu^{2}}} \right)}}, \]

(D.15)

其中 \(\nu = {\omega/{({2\pi})}}\)。对于频率 \(\nu\) 低于等离子体频率 \(\nu_{p}\) 的射电波，波矢是虚数。低频辐射无法穿过等离子体，而入射到等离子体的射电波 \(\nu < \nu_{p}\) 会被反射。例如，地球电离层F 层的最大电子密度为 \(n_{e} \approx {10^{6}{cm}^{- 3}}\)，因此频率低于 \(\nu \sim {10{MHz}}\) 的天体射电辐射会被电离层反射回太空，无法从地面观测到。

等离子体的折射率为

\[\boxed{\mu = \frac{ck}{\omega} = \left( 1 - \frac{\nu_{p}^{2}}{\nu^{2}} \right)^{1/2}.} \]

(D.16)

在适用于星际介质中射电波的极限 \(\nu_{p} \ll \nu\) 下，

\[{\mu \approx {1 - \frac{\nu_{p}^{2}}{2\nu^{2}}}}, \]

(D.17)

并且穿过星际介质 (ISM) 的无线电脉冲的群速度\(v_{g}\) 取决于频率：

\[\boxed{v_{g} \approx \mu c \approx c\left( 1 - \frac{\nu_{p}^{2}}{2\nu^{2}} \right).} \]

(D.18)

D.2 磁化等离子体中的法拉第旋转

如果 ISM 中存在强度为 \(B\) 的磁场，所有非相对论电子都会以角频率绕磁力线旋转

\[{\omega_{G} = \frac{eB}{m_{e}c}}, \]

(D.19)

其中 \(\nu_{G} = {\omega_{G}/{({2\pi})}}\) 称为回转频率（第 5.1.1 节）。在随电子旋转的（非惯性）坐标系中，频率为 \(\omega\) 的圆偏振辐射将以频率 \(\omega + \omega_{G}\) 或 \(\omega - \omega_{G}\) 驱动电子，具体取决于圆偏振的方向（左旋或右旋）。由于无碰撞等离子体中的折射率依赖于频率（式 D.16），因此在磁化等离子体中存在两个折射率，这被称为双折射。线偏振波是左旋和右旋圆偏振波的叠加，因此当波沿着磁场方向传播时，线偏振波的位置角会发生旋转。这种旋转称为法拉第旋转，它是测量射电源中磁场沿视线分量\(B_{\parallel}\)的有用工具。描述法拉第旋转的方程式可以通过扩展第D.1 节中的推导轻松得到。

方程D.5可以扩展，以包括稳恒环境磁场强度\(B\)对电子的作用力：

\[{F = {m_{e}\overset{˙}{v}} = {{eE_{0}{\exp{({- {i\omega t}})}}} + {\frac{e}{c}vB_{\parallel}}}}, \]

(D.20)

其中\(B_{\parallel}\)是磁场沿电磁场\(E = {E_{0}{\exp{({{ikx} - {i\omega t}})}}}\)方向的分量。如果入射波是圆偏振的：

\[{\overset{\rightarrow}{E} = {{E_{y}\hat{y}} \pm {iE_{z}\hat{z}}}}, \]

(D.21)

则电子速度为

\[\overset{\rightarrow}{v} = {v{({\hat{y} \pm {i\hat{z}}})}{\exp{({- {i\omega t}})}}} \]

(D.22)

以及

\[{v = {i\left\lbrack \frac{eE}{m_{e}{({\omega \pm \omega_{G}})}} \right\rbrack}}. \]

(D.23)

磁化等离子体的导电率为

\[{\sigma = {i\left\lbrack \frac{e^{2}n_{e}}{m_{e}{({\omega \pm \omega_{G}})}} \right\rbrack}}, \]

(D.24)

折射率具有两个值

\[{\mu = \left\lbrack {1 - \frac{\nu_{p}^{2}}{\nu{({\nu \pm \nu_{G}})}}} \right\rbrack^{1/2}}. \]

(D.25)

法拉第旋转使偏振角变化为

\[{{\Delta\chi} \approx {\lambda^{2}\left\lbrack {\frac{e^{3}}{2\pi{({m_{e}c^{2}})}^{2}}{\int_{los}{n_{e}{(l)}B_{\parallel}{(l)}{dl}}}} \right\rbrack} \equiv {\lambda^{2}{RM}}}, \]

(D.26)

方括号中的量定义了旋转测量值RM。符号约定为，当磁场从光源指向观测者时，RM为正值。在天文学上方便的单位中，

\[{\left( \frac{RM}{{rad}m^{- 2}} \right) \approx {{8.1 \times 10^{5}}{\int_{los}{\left( \frac{n_{e}}{{cm}^{- 3}} \right)\left( \frac{B_{\parallel}}{gauss} \right)\left( \frac{dl}{pc} \right)}}}}. \]

(D.27)

法拉第旋转现象也可能导致法拉第去偏振，当旋转发生在发射区域内时。