第6章 脉冲星

6.1 脉冲星的特性

脉冲星是磁化的中子星，它们似乎以周期性短脉冲方式发射射电辐射，周期在1.4毫秒到8.5秒之间。关于中子星甚至存在的激进假设，是巴德（Baade）和兹威基（Zwicky）在1934年小心翼翼地提出的 [5]：“我们谨慎地提出这样一种观点：超新星代表了普通恒星向一种新型恒星——中子星——的转变，而中子星将是恒星演化的终点。这样的恒星可能具有非常小的半径和极高的密度。”由于中子可以比普通原子核和电子更紧密地聚集，冷中子星中的“引力聚集”能量可能会变得非常大，并且在某些情况下，可能远远超过普通的核聚集分数。

“脉冲星”这个名称融合了“脉冲”和“恒星”，但脉冲星并不是脉动的恒星。像灯塔一样，它们持续发射旋转的辐射束，每当光束扫过观察者的视线时，就会显得闪烁。脉冲周期相当稳定，因为它们等于大质量中子星的自转周期。尽管它们的射电发射机制尚不完全清楚，脉冲星已成为独特而宝贵的天体物理工具：

1. 中子星是物理实验室，能够体验极端条件——深重力势 $GM/(r{c}^2)\sim 1$、密度 $\rho \sim {10}^{14}g{cm}^{-3}$ 超过原子核、磁场强度高达 $B\sim {10}^{14}$ 或甚至 ${10}^{15}$ 高斯——这些条件在地球上无法再现。

2. 脉冲周期的计时误差可以小到 ${10}^{-16}$。精确的脉冲星计时允许对诸如双星系统中脉冲星发出的引力辐射功率、中子星质量、强引力场中的广义相对论效应、由轻如行星的双星伴星引起的轨道扰动、精确的脉冲星位置和自行，以及可能由全宇宙超大质量黑洞合并产生的长波引力辐射引起的星际空间扭曲等量进行极其敏感的测量。

Lorimer 和 Kramer [70] 以及 Lyne 和 Graham-Smith [71] 撰写了关于脉冲星及其天体物理应用的优秀参考书。

6.1.1 发现

脉冲星是偶然在1967年通过图表记录发现的（见图 6.1），这些记录是在进行低频（$\nu =81$ MHz）紧凑型银河系外射电源搜索时获得的，这些天体在行星际等离子体中会闪烁，就像星星在地球大气中闪烁一样[50]。

图6.1:脉冲星 CP1919（剑桥脉冲星，赤经$\alpha ={19}^h{19}^m$）最初出现在闪烁调查图表记录（上图）上时，只是作为几乎无法区分的“杂乱信号”从干扰中分辨出来。在对 CP1919 进行更高速率的图表记录（下图）中，上轨迹的下降脉冲间隔为 $P\approx 1.3s$，显示出这个“杂乱信号”实际上是一系列周期性脉冲。图片来源：Jocelyn Bell Burnell 和 Antony Hewish。

这一重要发现的历史是一个警示，提醒人们不要在查看数据之前过度处理数据、忽视意外信号，以及未能探索数据所涵盖的观测“参数空间”——这里相关的参数是时间。从1954年约德雷尔班克250英尺射电望远镜的调查数据中可以清楚地看到强脉冲星PSR B0329+54[71]，但当时没有人关注它。蟹状星云中的X射线脉冲星（图 8.10）在射电脉冲星发现前几个月就已存在于数据中，但只有在宣布蟹状星云中的射电脉冲星后，才提取出了X射线脉冲[39]。随着无线电仪器和数据处理软件变得更加复杂，更多的数据在到达天文学家之前会被自动“清理”。通过匹配滤波来显现预期信号通常会抑制意外信号。因此，削波电路或软件会去除通常由地面干扰引起的强脉冲，而积分器会平滑比积分时间更短的波动。射电天文学家看到的大多数脉冲只是雷达、电动牧栏等人工干扰，并且来自星际距离的短脉冲意味着出乎意料的高亮温度 $T_b>{10}^{25}K$，这远高于由同步辐射自康普顿冷却施加的非相干电子同步辐射的 $\sim {10}^{12}$ K 上限（第 5.5.3 节）。

剑桥大学研究生乔斯林·贝尔（Jocelyn Bell）注意到脉冲星是天文来源，而其他人未能发现这种现象，是因为她发现在她的图表记录仪数据中一些“凌乱”的脉冲（图 6.1）看起来不像其他形式的干扰，并且它们每个恒星日精确出现一次，这表明它们的来源在太阳系之外。幸运的是，她和她的导师安东尼·休伊什（Antony Hewish）“最初决定不将输出数据计算机化，因为在我们熟悉望远镜和接收器的行为之前，我们认为最好是人工检查数据，而且人类可以识别不同特性的信号，而编程计算机去做这件事是困难的。” 阅读 http://www.bigear.org/vol1no1/burnell.htm 来了解她用自己的话讲述的完整发现故事。

6.1.2 中子星的质量和密度

脉冲的来源最初是未知的，甚至还曾严肃地提出由“LGM”（小绿人）进行的智能传输可能是脉冲星的解释。它们的短周期意味着非常致密的来源，如白矮星、黑洞和中子星；它们稳定的周期则排除了黑洞。天文学家熟悉恒星的缓慢变化或脉动发射，但径向脉动恒星的自然周期取决于其平均密度$\rho$，并且通常是几天，而不是几秒。引力束缚恒星的自转周期$P$也有一个类似的下限，这个下限由赤道处的向心加速度不能超过引力加速度的要求决定。如果一个质量为 $M$、半径为 $R$ 的近似球形恒星以角速度 $\mathrm{\Omega }\equiv 2\pi /P$ 旋转，

$$\begin{array}{}\text{(6.1)}& {\mathrm{\Omega }}^{2}R<\frac{GM}{R^2}\end{array}$$

意味着

$$\begin{array}{}\text{(6.2)}& P^2>\left(\frac{4\pi R^3}{3}\right)\frac{3\pi }{GM}.\end{array}$$

在平均密度方面

$$\begin{array}{}\text{(6.3)}& \rho \equiv M{\left(\frac{4\pi R^3}{3}\right)}^{-1},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.4)}& P>{\left(\frac{3\pi }{G\rho }\right)}^{1/2}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(6.5)}& \boxed{{\displaystyle \rho >\frac{3\pi }{G{P}^2}.}}\end{array}$$

公式 6.5 提供了平均密度的保守下限，因为快速旋转的恒星是扁球形的，这会增加离心加速度并减少其赤道的重力加速度。

发现的第一个脉冲星的周期为 $P=1.3$ 秒，因此其平均密度至少为

$$\rho >\frac{3\pi }{G{P}^2}=\frac{3\pi }{6.67\times {10}^{-8}dyne{cm}^2{gm}^{-2}{(1.3s)}^2}\approx {10}^{8}g{cm}^{-3}.$$

这个极限恰好与已知的白矮星密度一致。但很快，在蟹状星云中发现了更快的脉冲星（$P=0.033$ 秒），其周期意味着密度远高于任何由电子简并压力支撑的稳定白矮星。此外，蟹状星云（图 8.10）是由中国天文学家在公元1054年记录为“客星”的超新星残骸，因此这一脉冲星的发现证实了Baade和Zwicky [5] 提出的中子星是超新星压缩残骸的建议。已知最快的脉冲星为 $P=1.4\times {10}^{-3}$ 秒，意味着密度为 $\rho >{10}^{14}$ 克每立方厘米${}^{-3}$，相当于原子核的密度。

质量大于钱德拉塞卡质量的恒星

$$\begin{array}{}\text{(6.6)}& M_{Ch}\sim {\left(\frac{\hslash c}{G}\right)}^{3/2}\frac{1}{m_p^2}\approx 1.4M_{\odot }\end{array}$$

不能由电子简并压力支撑，将会坍缩成中子星。式 6.2 表明最大半径

$$\begin{array}{}\text{(6.7)}& R<{\left(\frac{GM{P}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}\end{array}$$

质量为 $M\approx 1.4M_{\odot }$ 的 $P=1.4\times {10}^{-3}$ s 脉冲星的

$$R$$$$<{\left[\frac{6.67\times {10}^{-8}dyne{cm}^2{g}^{-2}\cdot 1.4\cdot 2.0\times {10}^{33}g\cdot {(1.4\times {10}^{-3}s)}^2}{4{\pi }^2}\right]}^{1/3}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.8)}& \approx 2\times {10}^{6}cm=20km.\end{array}$$

这些数据促使我们定义了典型中子星，将其视为具有质量 $M\approx 1.4M_{\odot }$、半径 $R\approx 10$ 公里和转动惯量 $I=2M{R}^2/5\approx {10}^{45}g{cm}^2$ 的均匀密度球体。对于中子星的典型性质来说，“典型”这个词可能稍显强烈，因为它实际上不过是一种惯例；个别中子星的质量和半径可能不同。极高的密度和压力使得大部分星体转变为中子超流体，而这种超流体在温度高达 $T\sim {10}^9$ K 时表现为超导体。单个脉冲星的质量已以不同程度的精度测量，许多接近典型的 $1.4M_{\odot }$。已准确测量的最高脉冲星质量为 $M\approx 2.0M_{\odot }$，它们排除了所有当前提出的超子或玻色子凝聚方程状态以及“自由”夸克 [34]。任何质量显著更高的中子星（在标准模型中为 $M\sim 3M_{\odot }$）都必须坍缩并成为黑洞。

6.1.3 磁场

太阳以及许多其他恒星已知拥有近似偶极的磁场。恒星内部完全电离，因此是良好的导电体。带电粒子被限制沿磁力线移动，而磁力线与带电粒子相连。当一颗恒星从半径 $\sim {10}^6$ 公里塌缩到 $\sim 10$ 公里时，其横截面积 $a$ 除以 $\sim {10}^{10}$，其磁通量 $\mathrm{\Phi }\equiv \int \overrightarrow{B}\cdot \hat{n}da$（其中 $\hat{n}$ 是垂直于每个微小表面面积 $da$ 的单位向量）保持不变，磁场强度乘以 $\sim {10}^{10}$。初始磁场强度 $B\sim 100$ G 在塌缩后变为 $B\sim {10}^{12}$ G，因此年轻中子星应具有非常强的偶极磁场。核心塌缩过程的最佳模型显示，发电机效应可以产生更强的磁场。这种发电机可能能够产生在磁星中观察到的 ${10}^{14}$--${10}^{15}$ G 磁场，磁星是具有如此强磁场的中子星，其辐射能量来源于磁场衰减。塌缩过程中角动量守恒将旋转速率提高大约相同的倍数 ${10}^{10}$，从而产生初始旋转周期为 $P_0$ 毫秒范围。因此，年轻中子星应包含快速旋转的磁偶极子（图 6.2）。

图6.2:脉冲星的传统磁偶极模型。来自粒子级联的电子和正电子在磁层的一个或多个“间隙”区域加速。它们沿开放的磁力线流动并发射相干的射电辐射，在能量最高的脉冲星中可能还发射X射线和$\gamma$射线。这些动态、相对论等离子体过程的细节尚不完全清楚。图片来源：Lorimer 和 Kramer [70]。

6.1.4 磁偶极辐射

如果一个旋转的磁偶极以某个倾角$\alpha >0$相对于旋转轴倾斜，它将在旋转频率下发射电磁辐射。用旋转电偶极辐射的功率重写Larmor公式（式 2.143）得到

$$\begin{array}{}\text{(6.9)}& P_{rad}=\frac{2q^2{\dot{v}}^2}{3c^3}=\frac{2}{3}\frac{{(q\ddot{r}\sin \alpha )}^2}{c^3}=\frac{2}{3}\frac{{({\ddot{p}}_{\mathrm{\perp }})}^2}{c^3},\end{array}$$

其中 $p=qr$ 是电偶极矩，$p_{\mathrm{\perp }}=p\sin \alpha$ 是其垂直于旋转轴的分量。J. J. 汤姆森关于电场线的拉莫公式推导（第 2.7 节）也适用于磁场线。磁场和电场的高斯CGS单位相同，因此磁偶极辐射的功率为

$$\begin{array}{}\text{(6.10)}& \boxed{{\displaystyle P_{rad}=\frac{2}{3}\frac{{({\ddot{m}}_{\mathrm{\perp }})}^2}{c^3},}}\end{array}$$

其中 $m_{\mathrm{\perp }}=m\sin \alpha$ 是磁偶极矩的垂直分量。对于半径为 $R$，表面磁场强度为 $B$ 的均匀磁化球体，磁偶极矩的大小为 [56]

$$\begin{array}{}\text{(6.11)}& m=B{R}^3.\end{array}$$

如果倾斜的磁偶极以角速度 $\mathrm{\Omega }=2\pi /P$ 旋转，则

$$\begin{array}{}\text{(6.12)}& P_{rad}=\frac{2}{3}\frac{m_{\mathrm{\perp }}^2{\mathrm{\Omega }}^4}{c^3}=\frac{2}{3c^3}{(B{R}^3\sin \alpha )}^2{\left(\frac{2\pi }{P}\right)}^4,\end{array}$$

其中 $P$ 是脉冲星的周期。这种电磁辐射将出现在非常低的射电频率 $\nu =P^{-1}<1$ kHz 下，如此之低以至于无法通过周围的电离星云或星际介质传播。磁偶极辐射从中子星中提取旋转动能，并导致脉冲星周期随时间增加。吸收的辐射将能量沉积在周围的星云中，克拉布星云（图 8.10）就是一个典型的例子。

6.1.5 自转减速光度

旋转物体的旋转动能 $E$ 与其转动惯量 $I$ 之间的关系为

$$\begin{array}{}\text{(6.13)}& E=\frac{I{\mathrm{\Omega }}^2}{2}=\frac{2{\pi }^{2}I}{P^2}.\end{array}$$

惯性矩是指小质量元绕任意旋转轴的惯性矩，其值为质量乘以到旋转轴的径向距离的平方。半径为 $R$、质量为 $M$、密度均匀为 $\rho =3M/(4\pi R^3)$ 的球体绕其 $z$ 轴旋转的惯性矩可以通过对其质量元求和得到：

$$\begin{array}{}\text{(6.14)}& I={\int }_{-R}^R\left({\int }_0^{{(R^2-z^2)}^{1/2}}\rho r^{2}2\pi rdr\right)dz,\end{array}$$

其中 $r$ 是到旋转轴的距离，$z$ 是以球心为中心的圆柱坐标中的高度。然后有

$$\begin{array}{}\text{(6.15)}& I=\pi \rho {\int }_0^R{(R^2-z^2)}^{2}dz=\frac{8\pi \rho R^5}{15}=\frac{2M{R}^2}{5}.\end{array}$$

典型中子星的惯性矩为

$$\begin{array}{}\text{(6.16)}& I=\frac{2M{R}^2}{5}\approx \frac{2\cdot 1.4\cdot 2.0\times {10}^{33}g\cdot {({10}^{6}cm)}^2}{5}\approx {10}^{45}gm{cm}^2.\end{array}$$

具有与蟹状星云脉冲星相同旋转周期 $P=0.033$ 秒的典型中子星的旋转动能为

$$E=\frac{2{\pi }^{2}I}{P^2}\approx \frac{2{\pi }^2\cdot {10}^{45}g{cm}^2}{{(0.033s)}^2}\approx 1.8\times {10}^{49}ergs.$$

随着磁偶极辐射提取旋转能，脉冲星的周期会慢慢增加：

$$\begin{array}{}\text{(6.17)}& \dot{P}\equiv \frac{dP}{dt}>0.\end{array}$$

请注意，周期导数$\dot{P}$ 是一个无量纲（秒每秒）的纯数。将观测到的周期 $P$ 与周期导数 $\dot{P}$ 结合，可以估计旋转能量变化的速率 $\dot{E}$。这个量

$$\begin{array}{}\text{(6.18)}& -\dot{E}\equiv -\frac{d{E}_{rot}}{dt}=-\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}I{\mathrm{\Omega }}^2\right)=-I\mathrm{\Omega }\dot{\mathrm{\Omega }}\end{array}$$

称为自转减速光度。它不是测量得到的光度；它是测量到的旋转能量损失率，假定等于磁偶极辐射的光度。自转减速光度通常以脉冲周期 $P$ 表示：

$$\begin{array}{}\text{(6.19)}& \mathrm{\Omega }=\frac{2\pi }{P}so\dot{\mathrm{\Omega }}=2\pi (-P^{-2}\dot{P}),\end{array}$$

式 6.18 变为

$$\begin{array}{}\text{(6.20)}& \boxed{{\displaystyle -\dot{E}=\frac{4{\pi }^{2}I\dot{P}}{P^3}.}}\end{array}$$

蟹状虫脉冲星的周期为 $P=0.033$ 秒，自转减速率为 $\dot{P}={10}^{-12.4}$。如果 $I={10}^{45}g{cm}^2$（式 6.16），其自转减速光度为

$$-\dot{E}=\frac{4{\pi }^{2}I\dot{P}}{P^3}=\frac{4{\pi }^2\cdot {10}^{45}g{cm}^2\cdot {10}^{-12.4}s{s}^{-1}}{{(0.033s)}^3}\approx 4\times {10}^{38}erg{s}^{-1}\approx {10}^5{L}_{\odot }.$$

如果$P_{rad}\approx -\dot{E}\approx {10}^5{L}_{\odot }$，来自蟹状星云脉冲星的低频($\nu =P^{-1}\approx 30Hz$)磁偶极辐射的亮度可与我们银河系的全部无线电输出相媲美！它甚至超过了中子星的爱丁顿光度极限（第5.4.2 节），这是可能的，因为能量来源不是吸积。它远远超过了蟹状星云脉冲星的平均无线电脉冲亮度，$\sim {10}^{30}erg{s}^{-1}$。长波长（$\lambda =c/\nu \sim {10}^7$ m）磁偶极辐射被周围的蟹状星云吸收并加热（图 8.10），使其成为厨房微波炉的“兆波炉”对应物。蟹状星云的观测总光度与自旋减速光度相当，这支持了这样一种模型：旋转动能被转化为磁偶极辐射，这些辐射被周围的电离星云吸收，并随后在从射电到X射线的波段重新辐射。

6.1.6 最小磁场强度

如果 $-\dot{E}\approx P_{rad}$，可以将式 6.12 和 6.20 结合起来，得出中子星表面磁场强度 $B>B\sin \alpha$ 的下限，其中 $\alpha$ 是旋转轴和磁轴之间未知的倾角:

$$\begin{array}{}\text{(6.21)}& P_{rad}=-\dot{E},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.22)}& \frac{2}{3c^3}{(B{R}^3\sin \alpha )}^2{\left(\frac{4{\pi }^2}{P^2}\right)}^2=\frac{4{\pi }^{2}I\dot{P}}{P^3},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.23)}& B^2=\frac{3c^{3}IP\dot{P}}{2\cdot 4{\pi }^2{R}^6{\sin }^2\alpha },\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.24)}& B>{\left(\frac{3c^{3}I}{8{\pi }^2{R}^6}\right)}^{1/2}{(P\dot{P})}^{1/2}.\end{array}$$

将规范脉冲星的常数以 CGS 单位代入，得到第一个因子为

$$\begin{array}{}\text{(6.25)}& {\left[\frac{3\cdot {(3\times {10}^{10}cm{s}^{-1})}^3\cdot {10}^{45}g{cm}^2}{8{\pi }^2{({10}^{6}cm)}^6}\right]}^{1/2}\approx 3.2\times {10}^{19},\end{array}$$

因此规范脉冲星表面的最小磁场强度为

$$\begin{array}{}\text{(6.26)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{B}{gauss}\right)>3.2\times {10}^{19}{\left(\frac{P\dot{P}}{s}\right)}^{1/2}.}}\end{array}$$

它有时被称为脉冲星的特征磁场。

蟹状星云脉冲星（$P=0.033$ s, $\dot{P}={10}^{-12.4}$）的最小磁场强度为

$$\left(\frac{B}{gauss}\right)>3.2\times {10}^{19}{\left(\frac{0.033s\cdot {10}^{-12.4}}{s}\right)}^{1/2}=4\times {10}^{12}.$$

这是一个惊人的强磁场。其能量密度为

$$\begin{array}{}\text{(6.27)}& U_B=\frac{B^2}{8\pi }>6\times {10}^{23}erg{cm}^{-3}.\end{array}$$

仅 $1{cm}^3$ 的该磁场就包含超过 $6\times {10}^{16}J=6\times {10}^{16}Ws\approx 2GWyr$ 的能量，相当于一个大型核电站的年输出。

6.1.7 特征年龄

如果旋转减速光度等于磁偶极辐射光度，并且$(B\sin \alpha )$随时间没有显著变化，那么在进一步假设脉冲星的初始自转周期$P_0$远小于其当前周期的情况下，可以通过$P\dot{P}$来估计脉冲星的年龄$\tau$。解方程6.23得到$P\dot{P}$表明

$$\begin{array}{}\text{(6.28)}& P\dot{P}=\frac{8{\pi }^2{R}^6{(B\sin \alpha )}^2}{3c^{3}I}\end{array}$$

也随时间不变。将恒等式$P\dot{P}=P\dot{P}$重写为$PdP=P\dot{P}dt$，并对脉冲星的年龄$\tau$积分得到

$$\begin{array}{}\text{(6.29)}& {\int }_{P_0}^{P}PdP={\int }_0^{\tau }(P\dot{P})dt=P\dot{P}{\int }_0^{\tau }dt\end{array}$$

因为$P\dot{P}$是常数。对方程6.29进行积分得到

$$\begin{array}{}\text{(6.30)}& \frac{P^2-P_0^2}{2}=P\dot{P}\tau .\end{array}$$

在$P_0^2\ll P^2$极限下，脉冲星的特征年龄定义为

$$\begin{array}{}\text{(6.31)}& \boxed{{\displaystyle \tau \equiv \frac{P}{2\dot{P}}}}\end{array}$$

应接近脉冲星的实际年龄。特征年龄仅依赖于可观测量 $P$ 和 $\dot{P}$；它不依赖于未知的半径 $R$、转动惯量 $I$ 或垂直磁场 $B\sin \alpha$。然而，一个新形成且 $P_0$ 较小的中子星可能非常扁平，并将通过发出四极引力辐射而最初减速。这可能导致年轻脉冲星的特征年龄略大于真实年龄。

例如，蟹状星云脉冲星的特征年龄（$P=0.033$ s, $\dot{P}={10}^{-12.4}$）为

$$\tau =\frac{P}{2\dot{P}}=\frac{0.033s}{2\cdot {10}^{-12.4}}\approx 4.1\times {10}^{10}s\approx \frac{4.1\times {10}^{10}s}{{10}^{7.5}s{yr}^{-1}}\approx 1300yr.$$

它略大于蟹状星云脉冲星的实际年龄，该年龄已知不到 $1000yr$，因为蟹状星云超新星是在公元1054年被观测到的。

图6.3:$P\dot{P}$图。$P\dot{P}$图对于追踪脉冲星的生命周期非常有用，其作用类似于普通恒星的赫罗图。它以可观测量$P$（自转周期）和$\dot{P}$（自转周期的时间导数）编码了关于脉冲星群体及其特性的巨大信息。每颗脉冲星的特征年龄$\tau$（公式6.31）、最小磁场强度$B$（公式6.26）以及自转能量损耗$-\dot{E}$（公式6.20）均由其在$P\dot{P}$图中的位置决定，如$\tau$、$B$和$-\dot{E}$的等高线所示。图表中上中部的年轻脉冲星通常与超新星遗迹（SNRs）相关，并发出高能辐射。它们会在数百万年中减速并演化，成为大量“慢”脉冲星$P\sim 1$之一，直到其自转速率过慢以至于无法驱动射电发射机制，从而消失在视野中。旋转射电瞬变（RRATs）是偶尔发射单脉冲而不是连续脉冲序列的脉冲星。左下角的毫秒脉冲星大多存在于双星系统中，并通过来自伴星的物质吸积而“再生”。

6.1.8 刹车指数

如果磁偶极辐射是脉冲星自转减速的唯一原因，那么$P_{rad}=-\dot{E}$ 与式 6.12 和 6.18 结合起来意味着

$$\begin{array}{}\text{(6.32)}& \dot{\mathrm{\Omega }}\propto {\mathrm{\Omega }}^3.\end{array}$$

脉冲星的制动指数$n$ 定义为

$$\begin{array}{}\text{(6.33)}& \dot{\mathrm{\Omega }}\propto {\mathrm{\Omega }}^n=C{\mathrm{\Omega }}^n,\end{array}$$

其中 $C$ 是比例常数。制动指数完全由可观测量 $P$、$\dot{P}$ 和 $\ddot{P}$ 决定，因此将其观测值与期望值 $n=3$ 对比，为检验脉冲星自旋减速模型提供了有用的检查。式 6.33 的时间导数为

$$\begin{array}{}\text{(6.34)}& \ddot{\mathrm{\Omega }}=Cn{\mathrm{\Omega }}^{n-1}\dot{\mathrm{\Omega }}=n\left(\frac{C{\mathrm{\Omega }}^n}{\mathrm{\Omega }}\right)\dot{\mathrm{\Omega }}=n\left(\frac{\dot{\mathrm{\Omega }}}{\mathrm{\Omega }}\right)\dot{\mathrm{\Omega }}=\frac{n{\dot{\mathrm{\Omega }}}^2}{\mathrm{\Omega }},\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(6.35)}& n=\mathrm{\Omega }\ddot{\mathrm{\Omega }}/{\dot{\mathrm{\Omega }}}^2.\end{array}$$

将角速度转换为周期得到

$$\mathrm{\Omega }=2\pi P^{-1},\dot{\mathrm{\Omega }}=-2\pi P^{-2}\dot{P},and$$$$\ddot{\mathrm{\Omega }}=-2\pi P^{-2}\ddot{P}+\dot{P}4\pi P^{-3}\dot{P}=2\pi \left(\frac{\ddot{P}}{P^2}+\frac{2{\dot{P}}^2}{P^3}\right)$$

$$\begin{array}{}\text{(6.36)}& n=\left(\frac{2\pi }{P}\right)2\pi \left(\frac{\ddot{P}}{P^2}+\frac{2{\dot{P}}^2}{P^3}\right){(-2\pi P^{-2}\dot{P})}^{-2},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.37)}& \boxed{{\displaystyle n=2-\frac{P\ddot{P}}{{\dot{P}}^2},}}\end{array}$$

以可观测量 $P$、$\dot{P}$ 和 $\ddot{P}$ 表示的制动指数为

已经观测到 $1.4\le n<3$ 范围内的制动指数，并用于研究替代自旋减速机制以及对脉冲星年龄和初始自旋周期进行更复杂的估计 [60]。

6.1.9 脉冲星的生命周期

脉冲星诞生于超新星，并出现在脉冲星$P\dot{P}$图（图 6.3）的左上角。如果$B$是守恒的，并且它们如上所述衰老，它们会沿着常数$B$的线并穿过常数特征年龄的线，逐渐向右下方移动。特征年龄为$<{10}^5$年的脉冲星通常可以在可识别的超新星遗迹（SNRs）中或附近找到。年龄较大的脉冲星则没有，因为它们的SNR已经消失至不可见，或者超新星爆炸以足够的速度将脉冲星抛出，使其至今已从母体SNR中逃逸。脉冲星群体的大部分年龄都大于${10}^5$年，但远小于银河系（$\sim {10}^{10}$年）的年龄。$P\dot{P}$ 图中观测到的脉冲星分布表明，脉冲星随着年龄的增长会发生某种变化。一种有争议的可能性是，老年脉冲星的磁场必须在 $\sim {10}^7$ 年的时间尺度上衰减，导致老年脉冲星几乎沿 $P\dot{P}$ 图直线向下移动，直到其磁场过弱或自转速度过慢，无法通过正常且尚不确定的辐射机制产生射电辐射。**旋转射电脉冲瞬发源（RRATs）**是脉冲星，其射电发射非常零散，因此在单脉冲搜索中比周期性脉冲列更容易被探测到。具有可测周期的 RRATs 通常具有 $P>1s$（图 6.3）。一些 RRATs 可能是即将变为射电沉默的老年脉冲星。

几乎所有周期很短（$P<0.1$ s）、磁场强度相当弱（$B<{10}^{11}$ G）的脉冲星都处于双星系统中，这可以从它们观测到的脉冲周期的周期性轨道变化中得到证据（图 6.4）。这些再生脉冲星通过从伴星吸积质量和角动量而被加速旋转，以至于尽管它们的磁场强度相对较低（$B\sim {10}^8$ G），仍然发出无线电脉冲。（显然，吸积等离子体中的电流会“掩埋”中子星自身的磁场。）中子星的磁场将电离的吸积物料引导到磁极区，使其变得非常热，从而磁极区以及热吸积盘都发射X射线。我们将这些系统称为低质量X射线双星系统（LMXBs）。随着中子星的旋转，它们倾斜的磁极帽可能会从视野中出现或消失，导致X射线通量周期性波动，使其中一些系统可以被探测为X射线脉冲星。

图6.4:含脉冲星的双星系统中观测到的多普勒变化示例。上图：特尔赞 5 星团中的球状星团 MSP J1748$-$2446N 的多普勒变化。该脉冲星在几乎圆形的轨道上（偏心率 $e=4.6\times {10}^{-5}$），伴星的最小质量为 0.47 M${}_{\odot }$。该轨道的半长轴与半短轴的差仅为 51$\pm$4\mathrm{厘}\mathrm{米}！\mathrm{粗}\mathrm{线}\mathrm{显}\mathrm{示}\mathrm{了}GBT\mathrm{观}\mathrm{测}\mathrm{期}\mathrm{间}\mathrm{测}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{周}\mathrm{期}。\mathrm{下}\mathrm{图}：\mathrm{球}\mathrm{状}\mathrm{星}\mathrm{团}NGC1851\mathrm{中}\mathrm{高}\mathrm{偏}\mathrm{心}\mathrm{双}\mathrm{星}MSPJ0514$-$4002A\mathrm{的}\mathrm{类}\mathrm{似}\mathrm{多}\mathrm{普}\mathrm{勒}\mathrm{变}\mathrm{化}。\mathrm{该}\mathrm{脉}\mathrm{冲}\mathrm{星}\mathrm{具}\mathrm{有}\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{偏}\mathrm{心}\mathrm{轨}\mathrm{道}\mathrm{之}\mathrm{一}（$e = 0.888$），伴星为一颗质量较大的白矮星或中子星。

毫秒脉冲星（MSPs）与低质量（$M\sim 0.1$--$1M_{\odot }$）白矮星伴星通常由于在吸积阶段强烈的潮汐耗散而旋转加速脉冲星，因此其轨道偏心率较小。椭圆轨道的偏心率$e$ 定义为焦点间距与长轴长度的比值。对于圆形轨道，它的范围为$e=0$，对于抛物线轨道，它的范围为$e=1$。具有极高偏心轨道的脉冲星通常伴有中子星，表明这些伴星经历了不对称的超新星爆炸，并几乎破坏了双星系统。球状星团中的恒星相互作用导致每单位质量可回收脉冲星的比例远高于银河盘。这些相互作用可能产生非常奇特的系统，例如脉冲星-主序星双星系统以及具有高度离心轨道的毫秒脉冲星（MSP）。在这两种情况下，最初回收脉冲星的低质量伴星在一次相互作用中被驱逐，并被另一颗星替换。

大约15%的毫秒脉冲星是孤立的。它们可能通过双星系统中的标准情景被回收，但高能的MSP最终将它们的伴星消耗掉。近年来，已经检测到许多新的“黑寡妇”和“红背”系统，它们似乎正好在进行这种过程。它们展现出对射电MSP发射的食现象，这可能是由于被吹离伴星的系统中电离气体的自由-自由吸收造成的。

6.1.10 发射机制

无线电脉冲起源于脉冲星磁层。由于中子星是旋转的磁偶极子，它起到单极发电机的作用。作用在带电粒子上的总洛伦兹力是

$$\begin{array}{}\text{(6.38)}& \overrightarrow{F}=q\left(\overrightarrow{E}+\frac{\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}}{c}\right).\end{array}$$

磁赤道区的电荷沿闭合磁力线重新分布，直到它们产生的静电场足以抵消磁力，并给出 $|\overrightarrow{F}|=0$。感应电压约为 MKS 单位下的 ${10}^{16}V$。然而，从极区帽部旋出的共转磁力线会穿过光柱面（图 6.2），这是一个以脉冲星为中心、沿旋转轴定向的假想圆柱，其半径处共转速度等于光速，因此这些磁力线无法闭合。极区的电子沿着开放但弯曲的磁力线被磁性加速到非常高的能量，其中由于曲率引起的加速使它们发射曲率辐射，这种辐射在曲率平面上具有很强的偏振。当射电波束扫过视线时，观测到偏振平面可以旋转多达180度，这是纯粹的几何效应。普通的“慢速”脉冲星通常具有相当大的典型线偏振。在毫秒脉冲星的快速旋转磁层中存在几种相对论效应，这些效应使基于发射几何的偏振变得复杂，但毫秒脉冲星通常也具有高度偏振性。由曲率辐射产生的高能光子与磁场和低能光子相互作用，产生电子-正电子对，这些对进一步辐射额外的高能光子。这一级联过程的最终结果是发射射电波长的带电粒子束。当脉冲星具有足够低的$B$和足够高的$P$，以至于极区表面附近的曲率辐射不再能够产生粒子级联时，它们会在$P\dot{P}$图的右下角（图 6.3）“死亡”。

脉冲星极高的亮温度可以通过相干辐射来解释。电子不是作为独立的电荷发射辐射 $e$；相反，在体积小于波长的区域内的电子束 $N$ 以电荷 $Ne$ 的形式同步发射。拉莫尔公式表明，电荷 $q$ 发射的功率与 $q^2$ 成正比，因此其辐射强度可以比相同总数 $N$ 电子的非相干辐射亮度高 $N$ 倍。由于在较短波长下相干体积更小，大多数脉冲星具有极陡的射电光谱。典型的脉冲星谱指数（使用正约定定义，参见式 4.55）为 $\alpha \sim -1.7$（即 $S\propto {\nu }^{-1.7}$），尽管有些可能陡峭得多（$\alpha <-3$），还有少数几乎是平的（$\alpha >-0.5$）。

6.2 脉冲星与星际介质

由于脉冲星具有清晰且短时的脉冲轮廓，使得连续的“开-关”差分测量成为可能，同时其体积小、亮温度高，脉冲星成为研究星际介质（ISM）的独特探针。本节紧跟 Lorimer 和 Kramer 的讨论 [70]，式 6.39 到 6.42 在附录 D 中推导。

ISM 中的电子构成了一个冷等离子体，其折射率为

$$\begin{array}{}\text{(6.39)}& \boxed{{\displaystyle \mu ={[1-{\left(\frac{{\nu }_p}{\nu }\right)}^2]}^{1/2},}}\end{array}$$

其中 $\nu$ 是射电波的频率，${\nu }_p$ 是等离子体频率

$$\begin{array}{}\text{(6.40)}& \boxed{{\displaystyle {\nu }_p={\left(\frac{e^2{n}_e}{\pi m_e}\right)}^{1/2}\approx 8.97kHz{\left(\frac{n_e}{{cm}^{-3}}\right)}^{1/2},}}\end{array}$$

而 $n_e$ 是电子数密度。对于典型的星际介质值 $n_e\sim 0.03{cm}^{-3}$，${\nu }_p\sim 1.5$ kHz。如果 $\nu <{\nu }_p$，则 $\mu$ 是虚数，射电波无法通过等离子体传播。

对于传播的射电波，$\mu <1$ 以及群速度

$$\begin{array}{}\text{(6.41)}& v_g=\mu c\end{array}$$

脉冲的速度小于真空光速。对于大多数射电观测 ${\nu }_p\ll \nu$，因此

$$\begin{array}{}\text{(6.42)}& \boxed{{\displaystyle v_g\approx c(1-\frac{{\nu }_p^2}{2{\nu }^2}).}}\end{array}$$

宽带脉冲在等离子体中低频传输比高频传输更慢。如果到源的距离为 $d$，频率 $\nu$ 的色散延迟为 $t$

$$t$$

$$\begin{array}{}\text{(6.43)}& ={\int }_0^d\frac{dl}{v_g}-\frac{d}{c}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.44)}& =\frac{1}{c}{\int }_0^d\left(1+\frac{{\nu }_p^2}{2{\nu }^2}\right)dl-\frac{d}{c}=\left(\frac{e^2}{2\pi m_{e}c}\right){\nu }^{-2}{\int }_0^d{n}_{e}dl.\end{array}$$

在天文学中方便的单位中，色散延迟为

$$\begin{array}{}\text{(6.45)}& \left(\frac{t}{\sec }\right)\approx 4.149\times {10}^3\left(\frac{DM}{pc{cm}^{-3}}\right){\left(\frac{\nu }{MHz}\right)}^{-2},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.46)}& DM\equiv {\int }_0^d{n}_{e}dl\end{array}$$

以 pc cm${}^{-3}$ 为单位，称为色散测量，表示观察者与脉冲星之间电子的积分柱密度。

图6.5:脉冲星色散。灰度显示了未经校正的色散延迟（$\propto {\nu }^{-2}$）随频率的变化，这是从新近发现的脉冲星 J1800$+$5034 的观测中获得的。如果色散测量值（DM）更高或脉冲周期更短，则脉冲将在脉冲相位中折叠（可能多次），因为数据是按脉冲周期折叠（即平均）的。顶部显示的是“去色散”后的带积分脉冲轮廓。

由于脉冲星观测几乎总是覆盖宽带宽，整个频带上未经校正的差分延迟会在带宽内积分时导致脉冲信号的色散展宽。如果不加以校正，这些延迟会在时间上展宽积分脉冲，使大多数脉冲星无法被探测到（见图 6.5）。对于脉冲星搜索，色散测量（DM）先验未知，并且是一个搜索参数，就像脉冲星自转频率一样。这一额外的搜索维度是脉冲星搜索计算量大的主要原因之一。对于已知色散测量值（DM）的脉冲星进行高精度定时观测，如果可获得奈奎斯特采样电压数据（通常称为“基带”数据），可以通过一种称为相干去色散的技术完全去除数据中的色散。色散数据通过使用造成色散的银河系介质（ISM）复传递函数的共轭复数进行反卷积处理。

色散测量值可用于提供脉冲星的距离估算。对于接近银河平面的脉冲星，可以通过假设 $n_e\sim 0.03{cm}^{-3}$ 来计算粗略距离。然而，目前已有几种精密的银河电子密度分布模型（例如 NE2001；Cordes 和 Lazio [33]），可提供更好的（$\mathrm{\Delta }d/d\sim 30\mathrm{\%}$ 或更小）距离估算。

电离的星际介质（ISM）除了色散之外，还以其他几种方式影响脉冲星信号。湍流星际介质中的非均匀性会导致衍射和折射闪烁，也就是脉冲星信号的时间和频率依赖的通量密度变化，这类似于地球湍流大气对星光的“闪烁”。衍射闪烁通常发生在几分钟到几小时的时间尺度上，射电带宽从千赫到数百兆赫不等，并可能导致通量密度变化超过一个数量级。折射闪烁的幅度通常不足$\sim$2倍，发生在数周的时间尺度上。

与闪烁相关的一个现象是由散射引起的脉冲展宽。星际介质（ISM）不均匀性会导致脉冲星信号的多路径传播，其中一些射线由于未沿直线路径到达观察者而行进更长的物理距离。这些射线相比沿更直接路径传播的射线在时间上会有延迟，因此会产生强烈依赖频率（通常为$\propto {\nu }^{-4}$）的指数型散射尾脉冲（见图 6.6）。这种散射展宽会显著降低从脉冲星观测到的脉冲通量密度以及其定时精度。

图6.6:由散射引起的脉冲展宽。这些数据展示了多径传播引起的脉冲展宽的强频率依赖性（通常从 ${\nu }^{-3}$ 到 ${\nu }^{-4.4}$，具体取决于散射介质的性质），如银河中心磁星 J1745$-$2900 [80] 所示。在每个频率下，垂直虚线跨越包含大部分脉冲通量的脉冲相位范围。

最后，脉冲星具有宽带连续光谱，因此如果我们的视线路径上存在气体云，脉冲星可以通过 Hi 或分子的谱线吸收来探测星际介质。这样的吸收谱可以用来估算脉冲星的距离。

6.3 脉冲星计时

脉冲星本身就是有趣且奇特的天体，但基于脉冲星观测的许多最佳科学成果来自于将它们作为工具使用，通过脉冲星计时。脉冲星计时是通过追踪无线电脉冲的到达时间（几乎精确地）来定期监测中子星的自转。需要记住的关键点是，脉冲星计时可以在较长时间（数年到数十年）内明确记录下中子星的每一次自转。这种明确且非常精确的旋转相位追踪使脉冲星天文学家能够探测中子星的内部物理、进行极其精确的天体测量、在强引力场环境中独特地检验引力理论，并可能在未来几年内，直接探测到来自超大质量黑洞双星的引力波（GWs）（引力波是时空的传播性扭曲）。

对于脉冲星计时，天文学家会将来自多次脉冲的数据按瞬时脉冲周期取模“折叠”（平均）$P$。瞬时脉冲频率为$f=1/P$，瞬时脉冲相位$\varphi$由$d\varphi /dt=f$定义。脉冲相位通常以$2\pi$弧度的旋转圈数来测量，因此$0<\varphi <1$。

对许多脉冲进行平均会得到一个平均脉冲轮廓。尽管单个脉冲的形状变化很大，因为脉冲星发射本质上是一个噪声过程，但平均轮廓的形状相当稳定。

在定时方面，平均脉冲轮廓会与模板或模型轮廓进行相关，以便确定其相位偏移。当将其乘以瞬时脉冲周期时，该相位会产生一个时间偏移，可以加到轮廓上的高精度参考点（例如基于观测的第一采样记录时间的轮廓左边缘）上，从而创建到达时间（TOA）。

可以确定脉冲到达时间（TOA）的精度大约等于尖锐脉冲特征（例如前沿）的持续时间除以平均轮廓的信噪比。它通常以脉冲特征的宽度 $W_f$（以脉冲周期 $P$ 为单位）和信噪比 $(S/N)$ 表示，使得 ${\sigma }_{TOA}\propto W_{f}P/(S/N)$。具有窄脉冲轮廓的强而快速的脉冲星提供最精确的到达时间。

在太阳系质心（质心）的近似惯性参考系中，脉冲星的自转周期几乎是恒定的，因此脉冲星的随时间变化的相位 $\varphi (t)$ 可以通过泰勒展开来近似

$$\begin{array}{}\text{(6.47)}& \varphi (t)={\varphi }_0+f(t-t_0)+\frac{1}{2}\dot{f}{(t-t_0)}^2+\cdots ,\end{array}$$

其中 ${\varphi }_0$ 和 $t_0$ 是每颗脉冲星的任意参考相位和时间。脉冲星定时的关键约束是 每个到达时间（TOA）之间的观测旋转相位差必须包含整数个旋转。每个 TOA 对应不同的时间 $t$，因此正确的拟合参数（例如 $f$ 和 $\dot{f}$）必须使每对 TOA 之间的相位变化 $i$ 和 $j$ 为整数圈，或 $\mathrm{\Delta }{\varphi }_{ij}=n$ 圈。因为所有测量都是相对于积分脉冲 相位 而非瞬时脉冲周期进行的，所以天文学家进行长期定时测量的精度可以非常惊人。

脉冲星的自转频率 $f$ 可以通过定时以何种精度确定？因为当 $\varphi$ 以转数为单位测量时，精度取决于在某个时间间隔 $\mathrm{\Delta }T$ 内能够多精确地测量相位变化 $\mathrm{\Delta }\varphi$。通常，$\mathrm{\Delta }T$ 是通过定期监测跟踪脉冲星相位的时间长度（对于许多脉冲星来说，现在可达几十年）。$\mathrm{\Delta }\varphi$ 主要由各个到达时间（TOA）精度决定，尽管对于某些类型的测量，统计成分也很重要，因为随着测量次数 $N^{-1/2}$ 的增加，如果随机误差大于系统误差，精度会提高。例如，原始毫秒脉冲星 B1937$+$21 的脉冲周期为 $P\approx 0.00156$ 秒，TOA 精度为 ${\sigma }_{TOA}\sim 1\mu$ 秒，对应的相位误差为 $\mathrm{\Delta }\varphi \sim 6\times {10}^{-4}$ 转。该脉冲星已被计时 $\mathrm{\Delta }T>25$ 年，因此

$$\begin{array}{}\text{(6.48)}& \mathrm{\Delta }f\sim \frac{\mathrm{\Delta }\varphi }{\mathrm{\Delta }T}=\frac{6\times {10}^{-4}}{25yrs\cdot {10}^{7.5}s{yr}^{-1}}=8\times {10}^{-13}Hz.\end{array}$$

该脉冲星的自转频率为 642 Hz，因此绝对频率误差 $\mathrm{\Delta }f$ 意味着自转速率已知至 15 位有效数字！

在将$\varphi (t)$表示为泰勒级数（方程6.47）之前，必须对观测到的TOA应用许多修正。在地球观测站以地心基准（地心基准指从地球表面固定点测量）时间$t_t$接收到脉冲的到达时间，可以被修正为在近似惯性的太阳系质心参考系中的时间$t$，我们假设该时间与脉冲星共动参考系中的时间几乎相同。注意，测得的脉冲速率将由于未知的视线方向脉冲星速度产生的多普勒因子，以及脉冲星系统内部未知的相对论修正，而不同于脉冲星参考系中的实际脉冲速率。

定时方程中的主要项为

$$\begin{array}{}\text{(6.49)}& t=t_t-t_0+{\mathrm{\Delta }}_{clock}-{\mathrm{\Delta }}_{DM}+{\mathrm{\Delta }}_{R\odot }+{\mathrm{\Delta }}_{E\odot }+{\mathrm{\Delta }}_{S\odot }+{\mathrm{\Delta }}_R+{\mathrm{\Delta }}_E+{\mathrm{\Delta }}_S.\end{array}$$

和之前一样，$t_0$ 是一个参考历元，${\mathrm{\Delta }}_{clock}$ 表示一个时钟修正，用于考虑天文台时钟与地面时间标准之间的差异，而 ${\mathrm{\Delta }}_{DM}$ 是由星际介质（ISM）引起的频率依赖的色散延迟。其他 $\mathrm{\Delta }$ 项是来自太阳系内部的延迟，如果脉冲星在双星系统中，则包括其轨道内部的延迟。罗默延迟${\mathrm{\Delta }}_{R\odot }$ 是地球轨道上的经典光行程延迟。它的大小为 $\sim 500\cos \beta$ 秒，其中 $\beta$ 是脉冲星的黄纬（脉冲星与包含地球绕太阳轨道的黄道平面之间的角度），${\mathrm{\Delta }}_R$ 是脉冲星在双星或多体系统轨道上相应的延迟。爱因斯坦延迟${\mathrm{\Delta }}_E$ 考虑了由运动的脉冲星（和观测台）引起的时间膨胀，以及由太阳和行星或脉冲星及其伴星产生的引力红移。沙皮罗延迟${\mathrm{\Delta }}_S$ 是脉冲穿过包含太阳、行星和脉冲星伴星的弯曲时空所需的额外时间。这些参数中的任何错误，以及其他参数如 $f$、$\dot{f}$ 和自行运动，在定时残差图中会给出非常特定的系统性特征（见图 6.7），定时残差只是观测到的脉冲到达时间（TOAs）与基于当前定时模型参数预测的 TOAs 之间的差异。

图6.7:脉冲星计时残差。顶部面板显示了一个相当平均的毫秒脉冲星的“良好”计时解，其在 4 年内的均方根计时精度约为 5 $\mu$ 秒。剩下的四个面板展示了计时残差如何受到各种计时参数误差的影响。从上到下，分别是：脉冲星自转减速率误差 1%（导致脉冲星相位的二次漂移）、赤经或赤纬位置误差仅 50 毫角秒（反映地球运动的年度正弦扰动）、脉冲星自行速度为 10 毫角秒/年（随时间线性增长的年度正弦扰动）、或者脉冲星周围存在质量和轨道周期类似火星的行星。

一个展示脉冲星定时极其有用的好例子是基于定时的脉冲星天体测量。通过在一年内随着地球绕太阳公转对脉冲星进行定时，并跟踪变化的罗默延迟，可以确定脉冲星在天空中的位置。

脉冲星在黄道坐标 $\lambda$（黄经）和 $\beta$（黄纬）处的罗默延迟 ${\mathrm{\Delta }}_{R\odot }$ 为：

$$\begin{array}{}\text{(6.50)}& {\mathrm{\Delta }}_{R\odot }\simeq 500s\cos (\beta )\cos \left(\theta (t)+\lambda \right),\end{array}$$

其中 $\theta (t)$ 是地球相对于春分点（黄道平面与天球赤道的交点）的轨道相位。式 6.50 仅为近似值，因为地球的轨道并非完全圆形。

如果我们的定位估计存在误差，个体位置误差分量 $\mathrm{\Delta }\lambda$ 和 $\mathrm{\Delta }\beta$ 会导致在时序残差中出现一个相对于正确 Roemer 延迟的差分时间延迟 $\mathrm{\Delta }\tau$：

$$\begin{array}{}\text{(6.51)}& \mathrm{\Delta }\tau \simeq 500s\left[\cos (\beta +\mathrm{\Delta }\beta )\cos \left(\theta (t)+\lambda +\mathrm{\Delta }\lambda \right)-\cos \beta \cos (\theta (t)+\lambda )\right].\end{array}$$

如果位置误差足够小，即 $\sin x\sim x$、$\cos x\sim 1$ 和 $\mathrm{\Delta }\beta \mathrm{\Delta }\lambda \sim 0$，我们可以使用三角角和恒等式，然后简化得到

$$\begin{array}{}\text{(6.52)}& \mathrm{\Delta }\tau \simeq -500s\left[\mathrm{\Delta }\lambda \cos \beta \sin (\theta (t)+\lambda )+\mathrm{\Delta }\beta \sin \beta \cos \left(\theta (t)+\lambda \right)\right].\end{array}$$

将三角恒等式 $\sin \left(\theta (t)+\varphi \right)=\cos \varphi \sin \theta (t)+\sin \varphi \cos \theta (t)$ 应用于 $\mathrm{\Delta }\tau$ 的方程，我们可以得到

$$\begin{array}{}\text{(6.53)}& A\cos \varphi =-500s\mathrm{\Delta }\lambda \cos \beta ,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.54)}& A\sin \varphi =-500s\mathrm{\Delta }\beta \sin \beta ,\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(6.55)}& \mathrm{\Delta }\lambda =-\frac{A\cos \varphi }{500s\cos \beta },\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.56)}& \mathrm{\Delta }\beta =-\frac{A\sin \varphi }{500s\sin \beta },\end{array}$$

其中 $A$ 和 $\varphi$ 分别是我们从脉冲星时序残差中观察到的误差正弦波的幅值（以时间为单位，因为它对应光程延迟）和相位（见图 6.7 中间面板）。

如果脉冲星位于黄道平面附近（$\beta \sim 0$），那么 $\cos \beta \sim 1$，并且在确定 $\lambda$ 时具有最大的计时杠杆作用，因此误差最小。然而，$\sin \beta \sim 0$，因此 $\beta$ 的误差非常大。在黄道极附近也会对 $\lambda$ 出现类似的问题。VLBI 位置可以为位于黄道平面或黄道极附近的脉冲星提供更好的天体测量精度。

在位置的计时拟合中，如上所述，计时残差中误差正弦波的幅值 $A$ 将以绝对精度 $\mathrm{\Delta }A$ 被测定，该精度大约等于 TOA 不确定性除以对脉冲星所做观测次数的平方根（只要有至少一年的计时数据）。

示例。我们能多精确地测量一个位于黄道纬度 $\beta \sim {45}^{\circ }$ 的毫秒脉冲星的位置呢，该脉冲星的典型到达时间（TOA）误差为 2 $\mu$s，并且在一年内进行了 16 次观测？利用 2 $\mu$s 的 TOA 数据和 16 次独立观测，我们应该能够将正弦位置误差幅度 $A$ 限制在大约 $\mathrm{\Delta }A\sim 2\mu s/\sqrt{16}=5\times {10}^{-7}$ 秒以内。由于两个 $\cos \beta =\sin \beta \sim 0.71$，我们在 $\lambda$ 和 $\beta$ 上的误差应该相似：

$$\mathrm{\Delta }\lambda \sim \mathrm{\Delta }\beta \sim \frac{\mathrm{\Delta }A}{500s\cos \beta }=\frac{5\times {10}^{-7}s}{500s\cdot 0.71}=1.4\times {10}^{-9}radians.$$

每弧度有 206,265 弧秒（as），因此这些误差在两个方向上仅对应 $\sim$290 $\mu$ 弧秒！即使是旋转周期较慢的普通脉冲星，通常也能提供 0.1 弧秒或更好的测地精度。

对于双星脉冲星，中子星轨道上的时间延迟可以进行类似的高精度脉冲星轨道参数测量。双星脉冲星的罗默延迟包括最多五个描述椭圆轨道的开普勒参数：投影半长轴 $x\equiv (a_1\sin i)/c$，近地点经度 $\omega$，近地点通过时间 $T_0$，轨道周期 $P_b$，以及轨道离心率 $e$。

相对论双星，特别是那些具有紧凑和椭圆轨道的双星，可能允许测量多达五个开普勒后(PK)参数：近日点进动率 $\dot{\omega }$（在相对论理论中椭圆轨道不会闭合）、由于引力辐射发射引起的轨道周期衰减 $\dot{P_b}$、描述时间膨胀和引力红移的相对论 $\gamma$ 项，以及 Shapiro 延迟项 $r$（距离）和 $s$（形状）。一个完整“计时解”的示例，列出了高精度自旋、天文测量、双星以及两个开普勒后参数 $(r,s)$，如图 6.8 所示。

图6.8:双太阳质量中子星系统 J1614$-$2230 的毫秒脉冲星定时历元示例。该脉冲星的到达时间可在微秒级别进行测量，从而能够对天文测量、旋转以及轨道参数进行极其精确的测量，同时还可以高精度测量相对论 Shapiro 延迟，这提供了中子星及其白矮星伴星的质量。每个参数括号中的数字表示该参数最后几位的不确定度。资料来自 Demorest 等人 [34]。

在任何引力理论中，这五个 PK 参数仅是脉冲星质量 $m_1$、伴星质量 $m_2$ 以及标准的五个开普勒轨道参数的函数。对于广义相对论，公式为

$$\dot{\omega }$$$$=3{\left(\frac{P_b}{2\pi }\right)}^{-5/3}{(T_{\odot }M)}^{2/3}{(1-e^2)}^{-1},$$$$\gamma$$$$=e{\left(\frac{P_b}{2\pi }\right)}^{1/3}{T}_{\odot }^{2/3}{M}^{-4/3}{m}_2(m_1+2m_2),$$$${\dot{P}}_b$$

$$\begin{array}{}\text{(6.57)}& =-\frac{192\pi }{5}{\left(\frac{P_b}{2\pi }\right)}^{-5/3}\left(1+\frac{73}{24}{e}^2+\frac{37}{96}{e}^4\right){(1-e^2)}^{-7/2}{T}_{\odot }^{5/3}{m}_1{m}_2{M}^{-1/3},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.58)}& r\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.59)}& =T_{\odot }{m}_2,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.60)}& s\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6.61)}& =x{\left(\frac{P_b}{2\pi }\right)}^{-2/3}{T}_{\odot }^{-1/3}{M}^{2/3}{m}_2^{-1}.\end{array}$$

在这些方程中，$T_{\odot }\equiv G{M}_{\odot }/c^3=4.925490947\mu$ 是以时间单位表示的太阳质量（其已知精度远高于 $G$ 或 $M_{\odot }$ 任意一个的精度），$m_1$、$m_2$ 和 $M\equiv m_1+m_2$ 的单位为太阳质量，$s\equiv \sin i$（其中 $i$ 是轨道倾角）。如果测量了这几个 PK 参数中的任意两个，就可以确定脉冲星及其伴星的质量。如果测量了多于两个参数，每增加一个 PK 参数就会提供一个不同的引力理论测试。

对于著名的赫尔斯-泰勒双脉冲星 B1913+16 案例，首先进行了高精度的 $\dot{\omega }$ 和 $\gamma$ 测量，以准确确定两颗中子星的质量。诺贝尔奖获奖的测量成果伴随着 ${\dot{P}}_b$ 的最终探测，这意味着其轨道正在按广义相对论对引力辐射发射的预测衰减。

最近，发现了双脉冲星系统J0737$-$3039，\mathrm{该}\mathrm{系}\mathrm{统}\mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{在}\mathrm{更}\mathrm{紧}\mathrm{密}\mathrm{轨}\mathrm{道}\mathrm{上}\mathrm{运}\mathrm{行}\mathrm{的}\mathrm{脉}\mathrm{冲}\mathrm{星}\mathrm{时}\mathrm{钟}（\mathrm{相}\mathrm{比}PSRB1913+16\mathrm{的}7.7\mathrm{小}\mathrm{时}，\mathrm{该}\mathrm{系}\mathrm{统}\mathrm{轨}\mathrm{道}\mathrm{为}2.4\mathrm{小}\mathrm{时}），\mathrm{这}\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{测}\mathrm{量}\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{五}\mathrm{个}PK\mathrm{参}\mathrm{数}\mathrm{以}\mathrm{及}\mathrm{脉}\mathrm{冲}\mathrm{星}\mathrm{质}\mathrm{量}\mathrm{比}$R$和相对论自旋进动，总共提供了五个广义相对论测试。Kramer等人[62]显示广义相对论在0.05%的精度下是正确的，并将两颗中子星的质量测量到${10}^4$的精度范围内，而且这些测量结果仍在不断改进（见图 6.9）。

双中子星系统通过匹配预测的轨道衰减间接证实了引力波的存在，因为轨道能量被引力辐射带走。但在过去的十年中，脉冲星天文学的主要努力之一已经成为通过**脉冲星定时阵列 (PTA)**直接探测引力波。PTA是一个分布在天空各处的毫秒脉冲星阵列，而不是望远镜阵列，其目标是利用该脉冲星阵列探测由经过银河系的纳赫兹（即周期为数年）引力波引起的几十颗毫秒脉冲星定时残差中的相关信号。

由于引力波的发射和传播在广义相对论中是一个二次偶极（quadrupolar）过程，这与加速电子的电磁波偶极发射相反，引力波会在天空中脉冲星对的计时残差中产生特定的角相关性。天空上相互靠近的脉冲星会受到经过的引力波的类似影响，而在天空上相距较远的脉冲星则可能不相关，甚至可能因同一引力波而呈负相关。这种角模式被称为Hellings and Downs 曲线[49]，而检测到它将是确认计时残差中的相关信号是由引力波引起，而非其他效应（如时间钟或行星星历误差）的关键。

可探测纳赫兹引力波的最可能来源是超大质量黑洞双星（总质量为 ${10}^8$--${10}^{10}$ M${}_{\odot }$），在其母星系合并后具有多年尺度的轨道周期。单个附近的巨大系统，或多个更遥远、质量较小的系统（形成引力波的“随机背景”），将导致脉冲阵列(PTA)定时残差中产生十纳秒量级的空间和时间相关系统误差。对于最优脉冲星(MSPs)，目前已经实现这种长期定时精度水平。

在这一努力中，有三个脉冲星时域阵列（PTA）实验正在开展工作：北美的NANOGrav，以及分别位于澳大利亚和欧洲的Parkes和欧洲PTA。它们共同协作组成了国际脉冲星时域阵列（IPTA），最近在检测方面取得了巨大进展。当前的PTA限制是基于适当相关的低频计时残差的上限，开始对宇宙中星系并合的模型进行约束。鉴于脉冲星计时能力持续提高，以及近期调查发现的许多高精度毫秒脉冲星（MSP），在未来五年内直接探测引力波似乎是可能的，甚至很有可能实现。

图6.9:最近的 PSR J0737$-$3039 质量对质量图，显示了与该系统测量的后开普勒参数对应的曲线。在这种情况下，已经测量了七个 (!) 参数，包括质量比 $R$，因为两个中子星都是（或曾经是）脉冲星计时器。插图中的深色区域是参数空间中唯一与广义相对论一致的部分，有效地在 0.05% 的水平上对其进行了测试 [19]。参数 ${\mathrm{\Omega }}_B$ 是通过对“A”脉冲星被“B”的磁层掩食的详细建模，对系统中“B”脉冲星相对论自旋进动的测量 [17]。