第五章 同步加速器辐射

5.1 磁轫致辐射

任何加速的带电粒子都会发出电磁辐射，其功率由拉莫公式（式 2.143）给出。在天体物理情况下，电磁力产生的带电粒子加速度最强。电场加速产生自由-自由辐射。磁场加速产生磁轫致辐射，这是德语中“磁轫致辐射”的意思。最轻的带电粒子（电子，如果存在的话还有正电子）相比相对较重的质子和重离子被加速得更多，因此电子（可能还有正电子）几乎决定了所观测到的所有辐射。磁轫致辐射的特性取决于电子的速度，因此这些略有不同类型的辐射有特定的名称。回旋辐射来自速度远小于光速的电子：$v\ll c$。动能与静质量相当的轻度相对论电子 $m_e{c}^2$ 发射旋轮辐射，而超相对论电子（动能 $\gg m_e{c}^2$）产生同步加速器辐射。

同步辐射在天文学中无处不在。它解释了来自活动星系核（AGNs）的绝大多数射电发射，这些活动星系核被认为是由星系和类星体中的超大质量黑洞提供能量的；它还主导了星系（如我们自己的银河系）在低于 $\nu \sim 30$ GHz 频率下的射电连续谱发射。木星的磁层是同步辐射的射电源。来自蟹状星云超新星遗迹的光学辐射、射电星系 M87 的光学喷流，以及许多类星体从光学到 X 射线的辐射，都是同步辐射。

几乎所有同步加速器源中的相对论电子都具有幂律能量分布，因此它们不处于局部热力学平衡（LTE）状态。因此，同步加速器源通常被称为“非热”源。然而，具有相对论麦克斯韦电子能量分布的同步加速器源将是一个热源，因此“同步加速器”和“非热”并不完全同义。

尽管同步辐射与自由-自由发射有很大不同，但请注意，自由-自由源光谱推导中的许多主题在同步辐射源中也被重复使用——劳伦兹公式用于推导单个电子的总辐射功率和光谱，光学薄源的光谱被作为各个电子光谱的叠加得到，电子能量分布足够宽，使得单个电子的光谱可以用δ函数近似，基尔霍夫定律以发射系数表示吸收系数（即使同步辐射源不在局域热平衡下！），并且使用简单的“圆柱形奶牛”几何来得到低频下光学厚源的光谱。

5.1.1 回旋辐射

拉莫尔方程仅适用于带电粒子（电荷 $q$）以小速度 $v\ll c$ 运动时产生的回旋辐射。磁力$\overrightarrow{F}$ 作用在粒子上的磁场 $\overrightarrow{B}$ 为

$$\begin{array}{}\text{(5.1)}& \boxed{{\displaystyle \overrightarrow{F}=\frac{q(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})}{c}.}}\end{array}$$

磁力垂直于粒子速度，因此 $\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}=0$。因此，磁力不对粒子做功，不改变粒子的动能 $m{v}^2/2$，也不改变平行于磁场的速度分量 $v_{\parallel }$。由于 $|v|$ 和 $v_{\parallel }$ 都是常数，垂直于磁场的速度分量 $|v_{\mathrm{\perp }}|$ 的大小也必须保持不变。在均匀磁场中，粒子沿磁力线以螺旋路径运动，线速度和角速度保持不变。在以速度 $v_{\parallel }$ 移动的惯性参考系中，粒子沿着垂直于磁场的半径为 $r$ 的圆轨道运动，其角速度为 $\omega$，以平衡向心力和磁力：

$$\begin{array}{}\text{(5.2)}& m|\dot{v}|=m{\omega }^{2}r=\frac{q}{c}|\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}|=\frac{q}{c}\omega rB;\end{array}$$

轨道角频率为

$$\begin{array}{}\text{(5.3)}& \omega =\frac{qB}{mc}.\end{array}$$

式 5.3 表明，只要 $v\ll c$，轨道频率与粒子速度无关。角陀螺频率${\omega }_G$ 定义为

$$\begin{array}{}\text{(5.4)}& \boxed{{\displaystyle {\omega }_G\equiv \frac{qB}{mc}.}}\end{array}$$

这个定义适用于任意粒子速度，所以只有当 $v\ll c$ 时，陀螺频率才等于实际轨道频率。

电子的角陀螺频率（弧度/秒）为

$${\omega }_G=\frac{eB}{m_{e}c}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.5)}& =\frac{4.8\times {10}^{-10}statcoul\cdot B}{9.1\times {10}^{-28}g\cdot 3\times {10}^{10}cm{s}^{-1}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.6)}& \approx 17.6\times {10}^{6}rad{s}^{-1}\cdot B(gauss).\end{array}$$

用 ${\nu }_G\equiv {\omega }_G/(2\pi )$ 表示，电子的陀螺频率以 MHz 计为

$$\begin{array}{}\text{(5.7)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{{\nu }_G}{MHz}\right)=2.8\left(\frac{B}{gauss}\right).}}\end{array}$$

像我们这样的普通螺旋星系中的典型星际磁场强度为 $B\approx 10\mu$G，因此电子回旋频率仅为 ${\nu }_G=2.8MHz\cdot 10\times {10}^{-6}gauss\sim 28Hz$。相关的回旋辐射无法通过星际介质传播，因为其频率 $\nu \sim 28Hz$ 小于等离子体频率（式 6.40）。

非相对论电子的回旋辐射可以在非常强的磁场中被观测到，例如中子星的 $B\sim {10}^{12}$ 高斯磁场。例如，双星 X 射线源 英仙座 X-1 在光子能量 $E\approx 34$ keV 处显示出 X 射线吸收线（图 5.1）。

图5.1:34 keV 附近的回旋共振吸收线 [41]。

这个光谱特征被认为是回旋共振吸收，在这种情况下，这条吸收线的频率直接测量了 Her X-1 中子星附近的磁场强度。观测到的光子能量对应于频率

$$\begin{array}{}\text{(5.8)}& \nu =\frac{E}{h}\approx \frac{34\times {10}^{3}eV\cdot 1.60\times {10}^{-12}erg{eV}^{-1}}{6.63\times {10}^{-27}ergs}\approx 8.2\times {10}^{18}Hz.\end{array}$$

将此频率等同于回旋频率得到磁场强度：

$$B$$

$$\begin{array}{}\text{(5.9)}& =\frac{2\pi {\nu }_G{m}_{e}c}{e}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.10)}& \approx \frac{2\pi \cdot 8.2\times {10}^{18}Hz\cdot 9.1\times {10}^{-28}g\cdot 3\times {10}^{10}cm{s}^{-1}}{4.8\times {10}^{-10}statcoul}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.11)}& \approx 2.9\times {10}^{12}gauss.\end{array}$$

5.2 同步辐射功率

宇宙射线是天体粒子（例如电子、质子和较重的核子），具有极高的能量。星际磁场中的宇宙射线电子会发射同步辐射，这造成了银河系在约 30 GHz 以下频率的大部分连续辐射。拉莫公式可以用来计算单个电子在惯性系（电子瞬时静止的参考系）中的同步辐射功率和同步辐射光谱，但需要使用狭义相对论中的洛伦兹变换将这些结果转换到在银河系静止观察者的参考系中。

5.2.1 洛伦兹变换

图5.2:两个坐标系中的观察者看到的“事件”。无撇号的参考系是静止参考系，带撇号的参考系以速度 $v$ 向右运动。

对于任何点状事件，洛伦兹变换（参见附录C的推导）将未加撇号惯性系中的坐标$(x,y,z,t)$与以速度$v$沿$x$方向运动的加撇号惯性系中的坐标$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$联系起来（图 5.2）。它们是

$$\begin{array}{}\text{(5.12)}& \boxed{{\displaystyle x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),y=y^{\prime },z=z^{\prime },t=\gamma (t^{\prime }+\beta x^{\prime }/c),}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.13)}& \boxed{{\displaystyle x^{\prime }=\gamma (x-vt),y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=\gamma (t-\beta x/c),}}\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(5.14)}& \boxed{{\displaystyle \beta \equiv v/c}}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(5.15)}& \boxed{{\displaystyle \gamma \equiv {(1-{\beta }^2)}^{-1/2}}}\end{array}$$

称为洛伦兹因子。洛伦兹变换是线性的，因此即使对于两个事件之间的有限坐标差$(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }z,\mathrm{\Delta }t)$和$(\mathrm{\Delta }{x}^{\prime },\mathrm{\Delta }{y}^{\prime },\mathrm{\Delta }{z}^{\prime },\mathrm{\Delta }{t}^{\prime })$，洛伦兹变换的微分形式为

$$\begin{array}{}\text{(5.16)}& \boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\gamma (\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }+v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }),\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }{y}^{\prime },\mathrm{\Delta }z=\mathrm{\Delta }{z}^{\prime },\mathrm{\Delta }t=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\beta \mathrm{\Delta }{x}^{\prime }/c),}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.17)}& \boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }x-v\mathrm{\Delta }t),\mathrm{\Delta }{y}^{\prime }=\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }{z}^{\prime }=\mathrm{\Delta }z,\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }t-\beta \mathrm{\Delta }x/c).}}\end{array}$$

5.2.2 相对论性质量

电子的静止质量$m_e$可以通过爱因斯坦著名的质能方程转换为能量：

$$\begin{array}{}\text{(5.18)}& E=m{c}^2.\end{array}$$

对应电子静止质量$m_e$的能量是

$$E_0=m_e{c}^2$$

$$\begin{array}{}\text{(5.19)}& =9.1\times {10}^{-28}g\cdot {(3\times {10}^{10}cm{s}^{-1})}^2=8.2\times {10}^{-7}erg\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.20)}& =\frac{8.2\times {10}^{-7}erg}{1.60\times {10}^{-12}erg{(eV)}^{-1}}=5.1\times {10}^{5}eV=0.51MeV.\end{array}$$

具有质量 $m=\gamma m_e\gg m_e$（式 C.28）和总能量 $E\gg E_0=0.51MeV$ 的宇宙射线电子被称为超相对论电子。

超相对论电子仍沿磁力线作螺旋运动，但它们轨道的角频率 ${\omega }_B$ 较低，因为它们的惯性质量被乘以 $\gamma$（附录 C）：

$$\begin{array}{}\text{(5.21)}& {\omega }_B=\frac{eB}{(\gamma m_e)c}=\frac{{\omega }_G}{\gamma }.\end{array}$$

在 $B\approx 10\mu$G 星际磁场中的具有 $\gamma ={10}^5$ 的宇宙射线电子的轨道频率仅为

$$\begin{array}{}\text{(5.22)}& {\nu }_B\equiv \frac{{\omega }_B}{2\pi }\approx 28\times {10}^{-5}Hz\approx 1cycleperhour.\end{array}$$

因为 $v\approx c$ 每当 $\gamma \gg 1$ 时，超相对论电子的轨道半径 $r$ 几乎不依赖于 $\gamma$，并且可以相当大:

$$\begin{array}{}\text{(5.23)}& r\approx \frac{c}{{\omega }_B}\approx \frac{3\times {10}^{10}cm{s}^{-1}}{2\pi \cdot 28\times {10}^{-5}Hz}\approx 1.7\times {10}^{13}cm\approx 1AU.\end{array}$$

式 5.21 在产生可观测同步辐射方面并不有前景：相对论电子的高观测质量 $m=\gamma m_e$ 降低了它们的轨道频率和加速度到极低的值。然而，有两个相对论效应可以解释在射电频率观测到的强同步辐射：（1）在观测者参考系中总辐射功率与 ${\gamma }^2$ 成正比，以及（2）相对论的光束效应将电子参考系中的低频正弦辐射转化为一系列极其尖锐的脉冲，在观测者参考系中包含更高频率的功率 $\sim {\gamma }^3{\nu }_B={\gamma }^2{\nu }_G$。

这些相对论修正在第 5.2.3 节和第 5.3.1 节中推导。

5.2.3 单个电子的同步辐射功率

让标记坐标描述电子（暂时）几乎静止的惯性参考系。Larmor 方程（式 2.143）给出了电子静止参考系中的辐射功率为

$$\begin{array}{}\text{(5.24)}& P^{\prime }=\frac{2{(e^{\prime })}^2{(a_{\mathrm{\perp }}^{\prime })}^2}{3c^3}=\frac{2e^2{(a_{\mathrm{\perp }}^{\prime })}^2}{3c^3}\end{array}$$

因为 $e=e^{\prime }$（电荷是相对论不变量）直接从麦克斯韦的相对论正确方程中得出。

在银河系中相对于静止观测者的参考系中，电子的磁加速度 $a_{\mathrm{\perp }}={(a_y^2+a_z^2)}^{1/2}$ 可以通过对微分洛伦兹坐标变换（式 5.16 和 5.17）应用链式法则求导来推导。

$$\begin{array}{}\text{(5.25)}& a_y\equiv \frac{d{v}_y}{dt}=\frac{d{v}_y}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\frac{1}{\gamma }\frac{d{v}_y^{\prime }}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\frac{a_y^{\prime }}{{\gamma }^2}.\end{array}$$

同样，$a_z=a_z^{\prime }/{\gamma }^2$ 因此

$$\begin{array}{}\text{(5.26)}& a_{\mathrm{\perp }}=\frac{a_{\mathrm{\perp }}^{\prime }}{{\gamma }^2}.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(5.27)}& P^{\prime }=\frac{2e^2{(a_{\mathrm{\perp }}^{\prime })}^2}{3c^3}=\frac{2e^2{a}_{\mathrm{\perp }}^2{\gamma }^4}{3c^3}.\end{array}$$

下一步是将电子系中的辐射功率 $P^{\prime }=d{E}^{\prime }/d{t}^{\prime }$ 转换为 $P=dE/dt$，即由银河系静止观察者测量的功率，通过对质量-能量式 5.18 应用链式法则：

$$\begin{array}{}\text{(5.28)}& P\equiv \frac{dE}{dt}=\frac{dE}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\frac{dE}{d{E}^{\prime }}\frac{d{E}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\gamma P^{\prime }{\gamma }^{-1}=P^{\prime };\end{array}$$

也就是说，功率是相对论不变量。因此，

$$\begin{array}{}\text{(5.29)}& P=P^{\prime }=\frac{2e^2{a}_{\mathrm{\perp }}^2{\gamma }^4}{3c^3}(a_{\parallel }=0).\end{array}$$

为了计算 $a_{\mathrm{\perp }}$，将圆轨道中的力平衡

$$\begin{array}{}\text{(5.30)}& a_{\mathrm{\perp }}\equiv \frac{d{v}_{\mathrm{\perp }}}{dt}={\omega }_B{v}_{\mathrm{\perp }}\end{array}$$

与 ${\omega }_B$ 的式 5.21 结合得到

$$\begin{array}{}\text{(5.31)}& a_{\mathrm{\perp }}=\frac{eB{v}_{\mathrm{\perp }}}{\gamma m_{e}c}=\frac{eBv\sin \alpha }{\gamma m_{e}c},\end{array}$$

其中电子速度 $\overrightarrow{v}$ 与磁场 $\overrightarrow{B}$ 之间的恒定角度 $\alpha$ 称为俯仰角。

将式 5.31 中的 $a_{\mathrm{\perp }}$ 代入式 5.29，可得到单个电子以俯仰角 $\alpha$ 运动时的辐射功率:

$$\begin{array}{}\text{(5.32)}& P=\frac{2e^2}{3c^3}{\gamma }^2\frac{e^2{B}^2}{m_e^2{c}^2}{v}^2{\sin }^2\alpha .\end{array}$$

这种功率通常以电子的汤姆孙截面表示，${\sigma }_T$。汤姆孙截面是带电粒子的经典辐射散射截面。如果一平面电磁波通过一个初始静止的自由带电粒子，该电磁波的电场会加速粒子，粒子继而会根据拉莫方程向各个方向辐射功率。这个过程被称为散射而不是吸收，因为电磁辐射的总功率保持不变——从入射平面波中提取的所有功率都会以相同频率重新辐射到其他方向。要证明从几何面积拦截平面波的这种入射功率是一个直接的练习，

$$\begin{array}{}\text{(5.33)}& \boxed{{\displaystyle {\sigma }_T\equiv \frac{8\pi }{3}{\left(\frac{e^2}{m_e{c}^2}\right)}^2.}}\end{array}$$

数值上,

$$\begin{array}{}\text{(5.34)}& {\sigma }_T=\frac{8\pi }{3}\left[\frac{{(4.80\times {10}^{-10}statcoul)}^2}{9.11\times {10}^{-28}g{(3.00\times {10}^{10}cm{s}^{-1})}^2}\right]\approx 6.65\times {10}^{-25}{cm}^2.\end{array}$$

使用汤姆孙散射截面的原因将在同一产生同步辐射的宇宙射线对辐射进行逆康普顿散射的讨论中变得清楚（第5.5.1 节）。

在方程5.32中通常也会用磁能密度来替代$B^2$。

$$\begin{array}{}\text{(5.35)}& \boxed{{\displaystyle U_B=\frac{B^2}{8\pi }.}}\end{array}$$

那么

$$\begin{array}{}\text{(5.36)}& P=\left[\frac{8\pi }{3}{\left(\frac{e^2}{m_e{c}^2}\right)}^2\right]2\left(\frac{B^2}{8\pi }\right)c{\gamma }^2\frac{v^2}{c^2}{\sin }^2\alpha \end{array}$$

简化为

$$\begin{array}{}\text{(5.37)}& \boxed{{\displaystyle P=2{\sigma }_T{\beta }^2{\gamma }^{2}c{U}_B{\sin }^2\alpha .}}\end{array}$$

单个电子辐射的同步辐射功率仅取决于物理常数、电子动能的平方（通过${\gamma }^2$）、磁能密度$U_B$以及节铁角$\alpha$。

射电源中的相对论电子在通过同步辐射或其他过程耗尽其超相对论能量之前，寿命可以从几千年到几百万年不等。在它们的寿命期间，它们会被环境中的磁场波动和带电粒子反复散射，并且它们的俯仰角分布会逐渐变得随机且各向同性。在具有相同洛伦兹因子 $\gamma$ 且俯仰角各向同性分布 $\alpha$ 的电子群体中，每个电子的平均同步辐射功率$⟨P⟩$ 为

$$\begin{array}{}\text{(5.38)}& ⟨P⟩=2{\sigma }_T{\beta }^2{\gamma }^{2}c{U}_B⟨{\sin }^2\alpha ⟩,\end{array}$$

其中 $⟨{\sin }^2\alpha ⟩$ 是对所有俯仰角的平均值：

$$⟨{\sin }^2\alpha ⟩$$

$$\begin{array}{}\text{(5.39)}& \equiv \frac{\int {\sin }^2\alpha d\mathrm{\Omega }}{\int d\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{4\pi }\int {\sin }^2\alpha d\mathrm{\Omega }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.40)}& =\frac{1}{4\pi }{\int }_{\varphi =0}^{2\pi }{\int }_{\alpha =0}^{\pi }{\sin }^2\alpha \sin \alpha d\alpha d\varphi =\frac{1}{4\pi }2\pi \frac{4}{3}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.41)}& =\frac{2}{3}.\end{array}$$

因此，在俯仰角分布为各向同性的源中，每个相对论电子的平均同步辐射功率为

$$\begin{array}{}\text{(5.42)}& \boxed{{\displaystyle ⟨P⟩=\frac{4}{3}{\sigma }_T{\beta }^2{\gamma }^{2}c{U}_B.}}\end{array}$$

对于所有 $\gamma \gg 1$，可以忽略因子 ${\beta }^2=1-{\gamma }^{-2}\approx 1$。与非相对论（$\gamma =1$）Larmor 方程相比，相对论效应将平均辐射功率乘以因子 ${\gamma }^2$。

5.3 同步加速器光谱

5.3.1 单电子的同步加速器光谱

为什么同步加速器辐射会出现在远高于${\omega }_B={\omega }_G/\gamma$的频率？首先，相对论像差将拉莫尔辐射在电子系中的偶极模式沿观测者系的运动方向急剧聚束，当$v$接近$c$时（图 5.3）。相对论光子束效应直接来源于相对论的速度叠加方程（方程C.22到C.26），这些方程将观测者非标记（unprimed）参考系中的光子速度分量$v_x$与标记（primed）参考系中的光子速度分量$v_x^{\prime }$以及电子瞬时静止的标记参考系速度$v=\beta c$联系起来：

$$v_x\equiv \frac{dx}{dt}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.43)}& =\frac{dx}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\gamma \left(\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}+v\frac{d{t}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}\right){\left(\frac{dt}{d{t}^{\prime }}\right)}^{-1}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.44)}& =\gamma (v_x^{\prime }+v){\left[\gamma \left(1+\frac{\beta }{c}\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}\right)\right]}^{-1},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.45)}& \boxed{{\displaystyle v_x=(v_x^{\prime }+v){(1+\frac{\beta v_x^{\prime }}{c})}^{-1}.}}\end{array}$$

在$y$方向，

$$\begin{array}{}\text{(5.46)}& v_y\equiv \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\frac{d{y}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}{\left(\frac{dt}{d{t}^{\prime }}\right)}^{-1},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.47)}& \boxed{{\displaystyle v_y=\frac{v_y^{\prime }}{\gamma }{(1+\frac{\beta v_x^{\prime }}{c})}^{-1}.}}\end{array}$$

考虑以速度 $c$ 在 ${\theta }^{\prime }$ 角度从 $x^{\prime }$ 轴发射的同步加速器光子。令 $v_x^{\prime }$ 和 $v_y^{\prime }$ 为光子速度在 $x^{\prime }$ 和 $y^{\prime }$ 轴上的投影。那么

$$\begin{array}{}\text{(5.48)}& \cos {\theta }^{\prime }=\frac{v_x^{\prime }}{c},\sin {\theta }^{\prime }=\frac{v_y^{\prime }}{c}.\end{array}$$

在观察者的参考系中，相同的光子具有

$$\begin{array}{}\text{(5.49)}& \cos \theta =\frac{v_x}{c},\sin \theta =\frac{v_y}{c}.\end{array}$$

将速度式 5.45 和 5.47 代入角度式 5.48 和 5.49，可得连接 $\theta$ 和 ${\theta }^{\prime }$ 的关系式：

$$\begin{array}{}\text{(5.50)}& \cos \theta =\left(\frac{v_x^{\prime }+v}{1+\beta v_x^{\prime }/c}\right)\frac{1}{c}=\left(\frac{c\cos {\theta }^{\prime }+v}{1+\beta c\cos {\theta }^{\prime }/c}\right)\frac{1}{c}=\frac{\cos {\theta }^{\prime }+\beta }{1+\beta \cos {\theta }^{\prime }}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(5.51)}& \sin \theta =\frac{v_y^{\prime }}{c\gamma (1+\beta v_x^{\prime }/c)}=\frac{\sin {\theta }^{\prime }}{\gamma (1+\beta \cos {\theta }^{\prime })}.\end{array}$$

在随电子运动的参考系中，Larmor 方程表明功率分布与 ${\cos }^2{\theta }^{\prime }$ 成比例，并在 ${\theta }^{\prime }=\pm \pi /2$ 处为零。在观察者的参考系中，这些零点被非常小的角度偏移

$$\begin{array}{}\text{(5.52)}& \theta =\pm \arcsin (1/\gamma ).\end{array}$$

一个静止的观察者会看到辐射集中在一个非常狭窄的光束中，其宽度为$2/\gamma$，如图 5.3 所示。例如，一个10 GeV的电子的$\gamma \approx 2\times {10}^4$，因此$2/\gamma \approx {10}^{-4}rad\approx 20$角秒！虽然电子是连续发射的，但观察者只会从电子轨道上极小的一部分看到短暂的辐射脉冲，

$$\begin{array}{}\text{(5.53)}& \frac{2}{2\pi \gamma }=\frac{1}{\pi \gamma }\end{array}$$

电子几乎直接朝向观察者移动的地方。

图5.3:相对论像差将电子静止系中的Larmor辐射偶极功率模式（虚线曲线）变换为观察者系中的窄束光束。实线曲线是$\gamma =5$的变换模式。前向光束消失点之间的观测角度降至$\mathrm{\Delta }\theta =2\arcsin (1/\gamma )$，并在$\gamma \gg 1$的极限下接近$\mathrm{\Delta }\theta =2/\gamma$。

观察到的脉冲持续时间 $\mathrm{\Delta }{t}_p$ 比电子覆盖其轨道 $1/(\pi \gamma )$ 所需的时间 $\mathrm{\Delta }t$ 还要短，因为当电子可被观测时，它几乎以接近 $c$ 的速度直接朝向观察者运动（图 5.4）。当电子朝向观察者运动时，它几乎跟上了自己发出的辐射：

$$\mathrm{\Delta }{t}_p$$

$$\begin{array}{}\text{(5.54)}& =t(endofobservedpulse)-t(startofobservedpulse)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.55)}& =\frac{\mathrm{\Delta }x}{v}+\frac{(x-\mathrm{\Delta }x)}{c}-\frac{x}{c}.\end{array}$$

图5.4:超相对论电子的束缚辐射只有在电子速度朝向视线 $\mathrm{\Delta }\theta \approx 2/\gamma$ 的角度范围内 $\pm 1/\gamma$ 时才能被看到。在这段时间 $\mathrm{\Delta }t$ 内，电子朝向观察者移动了距离 $\mathrm{\Delta }x=v\mathrm{\Delta }t$，几乎跟上了辐射传播的距离 $c\mathrm{\Delta }t$。因此，观察到的脉冲持续时间被缩短了一个因子 $(1-v/c)$。

这个方程中的第一个项表示电子通过距离 $\mathrm{\Delta }x$ 所需的时间，第二个项是观察者看到的脉冲结束时电子位置的光传播时间，第三个项是观察者看到的脉冲开始时电子位置的光传播时间。注意，观察到的脉冲持续时间

$$\begin{array}{}\text{(5.56)}& \mathrm{\Delta }{t}_p=\frac{\mathrm{\Delta }x}{v}-\frac{\mathrm{\Delta }x}{c}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{v}\left(1-\frac{v}{c}\right)\ll \frac{\mathrm{\Delta }x}{v}=\mathrm{\Delta }t\end{array}$$

远小于电子移动距离 $\mathrm{\Delta }x$ 所需的时间 $\mathrm{\Delta }t$，因为在观察者的参考系中，电子几乎跟上了它自身的辐射。在极限 $v\to c$，

$$\begin{array}{}\text{(5.57)}& \left(1-\frac{v}{c}\right)=\left(1-\frac{v}{c}\right)\frac{1+v/c}{1+v/c}=\frac{1-v^2/c^2}{1+v/c}\approx \frac{{\gamma }^{-2}}{2}=\frac{1}{2{\gamma }^2}\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(5.58)}& \mathrm{\Delta }{t}_p=\frac{\mathrm{\Delta }t}{2{\gamma }^2}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{v}\frac{1}{2{\gamma }^2}=\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{{\omega }_B}\frac{1}{2{\gamma }^2}.\end{array}$$

回想一下 $\mathrm{\Delta }\theta \approx 2/\gamma$（图 5.4）所以

$$\begin{array}{}\text{(5.59)}& \mathrm{\Delta }{t}_p=\frac{2}{\gamma {\omega }_{B}2{\gamma }^2}=\frac{1}{{\gamma }^3{\omega }_B}=\frac{1}{{\gamma }^2{\omega }_G}\end{array}$$

是脉冲的完整观察持续时间。考虑电子沿磁场方向的运动，将总磁场替换为其垂直分量$B_{\mathrm{\perp }}=B\sin \alpha$，得到

$$\begin{array}{}\text{(5.60)}& \mathrm{\Delta }{t}_p=\frac{1}{{\gamma }^2{\omega }_G\sin \alpha },\end{array}$$

其中$\alpha$是电子的螺旋角。因此，功率随时间变化的图非常尖锐。如果$\gamma \approx {10}^4$和$B\sim 10\mu$G，每个脉冲的半宽度为$\mathrm{\Delta }{t}_p/2<{10}^{-10}$秒，脉冲之间的间隔为$\gamma /{\nu }_G>{10}^2$秒（图 5.5）。

图5.5:同步辐射是一系列非常尖锐且间隔很宽的窄脉冲。此功率随时间变化图上的数值对应于在磁场$B\sim 10\mu$G中的电子，电子具有$\gamma \sim {10}^4$。

观察到的同步加速器功率谱是这个脉冲时间序列的傅里叶变换。脉冲列是单个脉冲轮廓与沙函数的卷积（见图 A.1 或 Bracewell [15]，一本有价值的参考书）：

$$\begin{array}{}\text{(5.61)}& III(t/\mathrm{\Delta }t)\equiv \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta [(t/\mathrm{\Delta }t)]-n),\end{array}$$

其中每个δ函数$\delta$ 是位于整数$t/\mathrm{\Delta }t=n$处的无限窄尖峰，其积分为1。卷积定理（式 A.15）指出，脉冲列的傅里叶变换是单个脉冲的傅里叶变换与沙函数傅里叶变换的乘积。

沙函数的傅里叶变换也是沙函数（图 A.1），因此相似性定理（式 A.11）表明傅里叶变换的

$$\begin{array}{}\text{(5.62)}& III\left(\frac{t{\nu }_G}{\gamma }\right)\end{array}$$

在时域中与

$$\begin{array}{}\text{(5.63)}& III\left(\frac{\nu \gamma }{{\nu }_G}\right),\end{array}$$

成正比，它在频域中呈现出几乎连续的尖峰序列。相邻尖峰在频率上仅相隔

$$\begin{array}{}\text{(5.64)}& \mathrm{\Delta }\nu =\frac{{\nu }_G}{\gamma }<{10}^{-3}Hz.\end{array}$$

虽然这在形式上不是连续谱，但即使是电子能量、磁场强度或俯仰角的微小波动也会引起远大于$\mathrm{\Delta }\nu$的频率偏移，因此同步辐射的频谱实际上是连续的。

图5.6:本图展示了将单个电子的同步辐射谱绘制为 $F(x)\equiv x{\int }_x^{\mathrm{\infty }}{K}_{5/3}(\eta )d\eta$ 的四种不同方式，其中 $x\equiv \nu /{\nu }_c$ 是以临界频率 ${\nu }_c$ 为单位的频率。尽管它们绘制的是相同的谱，但看起来差别很大，并且以不同方式强调或抑制信息。(1) 仅在线性坐标上绘制 $F(x)$ 对 $x$（左下方面板）会完全遮蔽 $F(x)$ 在 $x\approx 0.29$ 峰值以下的谱。(2) 在对数坐标轴上重新绘图（左上面板）显示低频谱具有 $1/3$ 的对数斜率，但它掩盖了大多数功率是在 $x\sim 1$ 附近频率发射的事实，因为 $F(x)$ 是每单位频率的谱功率，而不是每单位 $\log$（频率）。(3) 每单位 $\log x$ 的功率是 $F(\log x)=\ln (10)xF(x)$，在右上面板的对数坐标轴上绘制。它在低频处的斜率为 $4/3$，这使得更清楚地看到大多数功率在 $x\sim 1$ 附近发射，这是为了证明（在下一节中使用的）所有功率都在 $x=1$ 发射的近似合理性。(4) 右下方的面板用线性纵坐标但对数横坐标绘制了 $F(\log x)$，以展开左下方面板中丢失的低频谱。显然，它与所有发射都接近 $x=1$ 的近似一致，但并不能清楚地显示低频谱是幂律的。还请注意，$F(\log x)$ 的峰值在 $x\approx 1.3$，而不在 $x\approx 0.29$。两个下方面板中曲线下的面积与给定频率范围内辐射的功率成正比。两个下方面板都显示，大约一半的功率在临界频率以下发射，另一半在更高频率发射。

因此，单个电子的同步辐射频谱在低频时相当平坦，而在

$$\begin{array}{}\text{(5.65)}& {\nu }_{max}\approx \frac{1}{2\mathrm{\Delta }{t}_p}\approx \pi {\gamma }^2{\nu }_G\sin \alpha \propto {\gamma }^2{B}_{\mathrm{\perp }}.\end{array}$$

要计算天体源的同步加速光谱，并不需要精确知道脉冲形状的傅里叶变换，因为真实的源不包含仅在均匀磁场中具有单一能量和单一俯仰角的电子。真实射电源中宇宙射线的能量分布是非常宽的幂律分布，足够宽以模糊每个电子能量范围的光谱细节。仅供参考，单个电子的同步加速功率谱为

$$\begin{array}{}\text{(5.66)}& \boxed{{\displaystyle P(\nu )=\frac{\sqrt{3}{e}^{3}B\sin \alpha }{m_e{c}^2}\left(\frac{\nu }{{\nu }_c}\right){\int }_{\nu /{\nu }_c}^{\mathrm{\infty }}{K}_{5/3}(\eta )d\eta ,}}\end{array}$$

其中 $K_{5/3}$ 是修正贝塞尔函数，${\nu }_c$ 是临界频率，其值为

$$\begin{array}{}\text{(5.67)}& \boxed{{\displaystyle {\nu }_c=\frac{3}{2}{\gamma }^2{\nu }_G\sin \alpha .}}\end{array}$$

有关式 5.66 和 5.67 的完整数学推导，请参见 Pacholczyk [78]，这是关于辐射过程细节的宝贵参考。

单个电子的同步加速器功率谱绘制在图 5.6 中。它在低频处具有对数斜率

$$\begin{array}{}\text{(5.68)}& \frac{d\log P(\nu )}{d\log \nu }\approx \frac{1}{3}\end{array}$$

，在临界频率附近 ${\nu }_c$ 有一个宽峰，并且在高频时急剧下降。观察 ${\nu }_c$ 的一种方法是

$$\begin{array}{}\text{(5.69)}& {\nu }_c=\left(\frac{3}{2}\sin \alpha \right){\left(\frac{E}{m{c}^2}\right)}^2\frac{eB}{2\pi m_{e}c}\propto E^2{B}_{\mathrm{\perp }}.\end{array}$$

也就是说，每个电子发射最强的频率与其能量的平方乘以磁场垂直分量的强度成正比。

5.3.2 光学薄射电源的同步加速器谱

如果一个同步加速器源包含任意分布的电子能量且在光学上是稀薄的 ($\tau \ll 1$)，那么其光谱就是来自单个电子光谱的叠加，并且其通量密度在任何频率下都不能增长得比 ${\nu }^{1/3}$ 更快 $\nu$。换句话说，（负的）谱指数 $\alpha \equiv -d\log P_{\nu }/d\log \nu$（注意不要将此谱指数 $\alpha$ 与电子俯仰角 $\alpha$ 混淆）必须始终大于 $-1/3$。大多数天体物理同步辐射源在其光学上稀薄的频率下的谱指数接近 $\alpha \approx 0.75$，并且其高频率谱指数反映了其电子能量分布，而不是单个电子的光谱。

大多数同步辐射源中宇宙射线电子的能量分布大致呈幂律分布：

$$\begin{array}{}\text{(5.70)}& n(E)dE\propto E^{-\delta }dE,\end{array}$$

其中 $n(E)dE$ 是能量在 $E$ 到 $E+dE$ 范围内的单位体积电子数。围绕 $\gamma \sim {10}^4$ 的能量范围与射电辐射的产生相关。由于 $n(E)$ 在超过一个能量数量级的范围内几乎是一个幂律，并且临界频率 ${\nu }_c$ 与 $E^2$ 成正比，同步辐射的谱将在至少 ${10}^2=100$ 的频率范围内反映这种幂律。因此，单个电子的详细谱可以被忽略，因为它们在源谱中被广泛的幂律能量分布所模糊。源谱可以通过近似每个电子辐射其全部平均功率（式 5.42）来较准确地计算。

$$\begin{array}{}\text{(5.71)}& P=-\frac{dE}{dt}=\frac{4}{3}{\sigma }_T{\beta }^2{\gamma }^{2}c{U}_B\end{array}$$

在单一频率下

$$\begin{array}{}\text{(5.72)}& \nu \approx {\gamma }^2{\nu }_G,\end{array}$$

这非常接近临界频率（式 5.67）。然后，电子群体的同步辐射的发射系数（式 2.26）为

$$\begin{array}{}\text{(5.73)}& j_{\nu }d\nu =-\frac{dE}{dt}n(E)dE,\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(5.74)}& E=\gamma m_e{c}^2\approx {\left(\frac{\nu }{{\nu }_G}\right)}^{1/2}{m}_e{c}^2.\end{array}$$

对式 5.74 中的 $E(\nu )$ 求导得

$$\begin{array}{}\text{(5.75)}& dE\approx \frac{m_e{c}^2{\nu }^{-1/2}}{2{\nu }_G^{1/2}}d\nu \end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(5.76)}& j_{\nu }\propto \left(\frac{4}{3}{\sigma }_T{\beta }^2{\gamma }^{2}c{U}_B\right)(E^{-\delta })\left(\frac{m_e{c}^2{\nu }^{-1/2}}{2{\nu }_G^{1/2}}\right).\end{array}$$

用 $\nu /{\nu }_G$ 消去 $E$，然后使用 ${\nu }_G\propto B$ 可得到 $j_{\nu }$ 关于 $\nu$ 和 $B$ 的表达式：

$$\begin{array}{}\text{(5.77)}& j_{\nu }\propto \left(\frac{\nu }{{\nu }_G}\right)B^2{\left(\frac{\nu }{{\nu }_G}\right)}^{-\delta /2}{(\nu {\nu }_G)}^{-1/2}\propto \left(\frac{\nu }{B}\right)B^2{\left(\frac{\nu }{B}\right)}^{-\delta /2}{(\nu B)}^{-1/2}.\end{array}$$

这可以简化为

$$\begin{array}{}\text{(5.78)}& \boxed{{\displaystyle j_{\nu }\propto B^{(\delta +1)/2}{\nu }^{(1-\delta )/2}.}}\end{array}$$

因此，具有幂律分布 $n(E)\propto E^{-\delta }$ 的电子的光学薄同步辐射谱也是幂律的，且谱指数 $\alpha =-d\ln S/d\ln \nu$ 仅取决于 $\delta$：

$$\begin{array}{}\text{(5.79)}& \boxed{{\displaystyle \alpha =\frac{\delta -1}{2}.}}\end{array}$$

在我们的银河系以及许多其他同步加速器源中，$\alpha \approx 0.75$ 在接近 $\nu \approx 1$ GHz 的位置，因此射电谱暗示 $\delta \approx 2.5$。这个 $\delta$ 的值反映了在冲击波中加速的宇宙射线的初始幂律能量斜率 ${\delta }_0$，例如由超新星遗迹膨胀进入周围星际介质产生的冲击波，并且会受到消耗相对论电子的损失过程的影响。例如，电子损失能量到同步辐射的速率与 $E^2$ 成正比，因此高能电子被更快速地消耗。临界频率也与 $E^2$ 成正比，因此同步辐射损失最终会在更高频率下使源光谱变陡。如果具有初始幂律斜率 ${\delta }_0$ 的相对论电子被持续注入到同步辐射源中，同步辐射损失最终将在高能量下使该斜率变陡至 $\delta ={\delta }_0+1$，高频谱指数将增加 $\mathrm{\Delta }\alpha =1/2$。关于能量损失及其谱特性的更详细讨论，请参见 Pacholczyk [78]。

5.3.3 同步辐射自吸收

同步辐射源的亮温度在低频下不能无限增大，因为对于每一种发射过程都有相应的吸收过程。如果发射粒子处于局部热力学平衡（LTE），它们具有麦克斯韦能量分布，并且该源是热的。没有热源的亮温度可以超过发射粒子的动能温度。如果同步加速源中相对论电子的能量分布是（相对论）麦克斯韦分布，那么电子将具有明确定义的动能温度，并且同步辐射自吸收会阻止同步辐射的亮温度超过发射电子的动能温度。大多数天体物理同步加速源是非热源，因为相对论电子的能量分布是幂律的，并且没有明确定义的电子温度。然而，同步辐射自吸收会发生在任何电子能量分布下，且光学厚同步加速源的低频谱是一个斜率为 $\alpha =-d\ln S/d\ln \nu =-5/2$ 的幂律。 下面给出了该结果的推导。

能量为 $E=\gamma m_e{c}^2$ 的电子在临界频率附近发射大部分它们的同步辐射功率

$$\begin{array}{}\text{(5.80)}& {\nu }_c\sim \frac{{\gamma }^{2}eB}{2\pi m_{e}c},\end{array}$$

因此，频率为 $\nu$ 的同步辐射主要来自洛伦兹因子接近

$$\begin{array}{}\text{(5.81)}& \gamma \approx {\left(\frac{2\pi m_{e}c\nu }{eB}\right)}^{1/2}.\end{array}$$

在这种近似下，只有具有特定能量 $E$ 的电子才对每一频率 $\nu$ 的发射（因此也包括吸收）作出贡献，所有其他电子可以具有相对论麦克斯韦能量分布而不改变该频率下的发射和吸收。因此，足够明亮的同步辐射源将是光学厚的，其在任意频率下的亮温度不能超过在该频率下发射的电子的有效温度。

在超相对论气体中，定压比热与定容比热的比值是$c_p/c_v=4/3$，而不是非相对论的$5/3$，因此电子能量$E$与温度$T_e$之间的关系是

$$\begin{array}{}\text{(5.82)}& E=3k{T}_e,not\frac{3k{T}_e}{2}.\end{array}$$

因此具有能量$E$的相对论电子的有效温度可以定义为

$$\begin{array}{}\text{(5.83)}& T_e\equiv \frac{E}{3k}=\frac{\gamma m_e{c}^2}{3k},\end{array}$$

即使电子集合具有非热能量分布。利用式 5.81 将$\gamma$消去并表示为$\nu$，可得到产生频率为$\nu$的大部分同步辐射电子的有效温度：

$$\begin{array}{}\text{(5.84)}& T_e\approx {\left(\frac{2\pi m_{e}c\nu }{eB}\right)}^{1/2}\frac{m_e{c}^2}{3k}.\end{array}$$

数值上,

$$\begin{array}{}\text{(5.85)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{T_e}{K}\right)\approx 1.18\times {10}^6{\left(\frac{\nu }{Hz}\right)}^{1/2}{\left(\frac{B}{gauss}\right)}^{-1/2}.}}\end{array}$$

例如，在 $\nu =0.1GHz={10}^{8}Hz$ 中发射同步辐射的相对论电子在 $B=100\mu$ 高斯 $={10}^{-4}$ 高斯磁场下的有效温度是

$$\begin{array}{}\text{(5.86)}& \left(\frac{T_e}{K}\right)\approx 1.18\times {10}^6\cdot {({10}^8)}^{1/2}{({10}^{-4})}^{-1/2}\approx {10}^{12}.\end{array}$$

在足够低的频率 $\nu$ 下，任何同步加速源的亮温度 $T_b$ 都将接近在该频率发射的电子的有效温度 $T_e$，并且源将变得不透明。式 2.33 在瑞利-金斯极限下定义了亮温度：

$$\begin{array}{}\text{(5.87)}& T_b\equiv \frac{I_{\nu }{c}^2}{2k{\nu }^2}.\end{array}$$

设定 $T_b\approx T_e$ 并使用式 5.85 将 $T_e$ 用 $\nu$ 和 $B$ 表示消去，得到

$$\begin{array}{}\text{(5.88)}& I_{\nu }\approx \frac{2k{T}_e{\nu }^2}{c^2}\propto {\nu }^{1/2}{\nu }^2{B}^{-1/2}={\nu }^{5/2}{B}^{-1/2}.\end{array}$$

因此，在低频下，同步吸收且空间均匀的源的谱是一条斜率为 $5/2$ 的幂律：

$$\begin{array}{}\text{(5.89)}& \boxed{{\displaystyle S(\nu )\propto {\nu }^{5/2},}}\end{array}$$

与电子能量谱的斜率 $\delta$ 无关。一个不透明但真正热的源（例如 Hii 区）的通量密度与 ${\nu }^2$ 成正比；同步辐射的额外 ${\nu }^{1/2}$ 来源于 $T_e\propto {\nu }^{1/2}$（式 5.85）。

均匀圆柱形同步加速器源的完整光谱（图 5.7）为 [78]

$$\begin{array}{}\text{(5.90)}& S\propto {\left(\frac{\nu }{{\nu }_1}\right)}^{5/2}\left\{1-\exp \left[-{\left(\frac{\nu }{{\nu }_1}\right)}^{-(\delta +4)/2}\right]\right\},\end{array}$$

其中 ${\nu }_1$ 是 $\tau =1$ 的频率。真实的天体物理源是不均匀的，因此同步自吸总是产生远低于 $5/2$ 的斜率，如图 5.8 所示。

图5.7:均匀圆柱形同步加速器源的频谱，以频率 ${\nu }_1$ 表示，在该频率 $\tau =1$。式 5.90 显示，在频率 $\nu \ll {\nu }_1$ 下，它接近斜率为 $5/2$ 的幂律，而在 $\nu \gg {\nu }_1$ 下的斜率为 $(1-\delta )/2$。真实天体源是不均匀的，所以它们的低频谱斜率小于 5/2，且其谱峰没有那么尖锐。

将 $T_b\approx T_e$ 代入式 5.85，可以估算在频率 $\nu$ 测量到亮温度的自吸收源中的磁场强度：

$$\begin{array}{}\text{(5.91)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{B}{gauss}\right)\approx 1.4\times {10}^{12}\left(\frac{\nu }{Hz}\right){\left(\frac{T_b}{K}\right)}^{-2}.}}\end{array}$$

例如，在 $\nu =1$ GHz 频率下观测到亮温度为 $T_b\approx {10}^{11}$ K 的自吸收射电源，其磁场强度为

$$\left(\frac{B}{gauss}\right)\approx 1.4\times {10}^{12}\cdot {10}^9\cdot {({10}^{11})}^{-2}\approx 0.1.$$

天体射电源的光谱更为复杂，因为真实的源具有不均匀的磁场和电子能量分布，并且结构上几何复杂。强无线电星系和类星体的代表性光谱如图 5.8 所示。

图5.8:无线电星系和类星体的代表性光谱 [111]。位于近邻星系 NGC 1275 的射电源 3C 84 含有一个非常紧密的核成分，其在大约 20 GHz 以下不透明。无线电星系 3C 123 在所有绘制的频率下都是透明的，而能量损失使其光谱在几 GHz 以上变陡。类星体 3C 48 仅在 100 MHz 以下发生同步辐射自吸收，而类星体 3C 454.3 含有不同尺寸的结构，这些结构在不同频率下变为不透明。

由相对大质量（$M>8M_{\odot }$）且寿命较短（$T<3\times {10}^7$ 年）的恒星超新星遗迹加速的宇宙射线电子产生的同步辐射，在频率 $\nu <30$ GHz 时主导了邻近星爆星系 M82（见图 8.13）的射电连续谱发射（参见图 2.24 中的点划线）。由主要由更大质量（$M>15M_{\odot }$）且寿命更短的恒星电离的 Hii 区产生的热发射（虚线）在大约 30 到 200 GHz 之间最强。在远低于 1 GHz 的频率下，自由--自由吸收会使整体谱展平。

5.4 同步辐射源

5.4.1 最小能量与能量等分

同步辐射源的存在意味着存在具有能量密度 $U_e$ 的相对论电子以及其能量密度为 $U_B=B^2/(8\pi )$ 的磁场。产生给定射电光度的同步辐射源所需的相对论粒子和磁场的最小总能量是多少

$$\begin{array}{}\text{(5.92)}& L={\int }_{{\nu }_{min}}^{{\nu }_{max}}{L}_{\nu }d\nu \end{array}$$

在传统上由 ${\nu }_{min}={10}^7$ Hz 和 ${\nu }_{max}={10}^{11}$ Hz 限定的频率范围内？

能量范围为 $E_{min}$ 到 $E_{max}$ 的相对论电子的能量密度为

$$\begin{array}{}\text{(5.93)}& U_e={\int }_{E_{min}}^{E_{max}}En(E)dE,\end{array}$$

其中 $n(E)dE$ 是能量范围为 $E$ 到 $E+dE$ 的电子数密度。能量为 $E$ 的电子在频率为 $\nu \propto E^{2}B$ 时发射大部分辐射，因此对应频率 $\nu$ 的电子能量满足

$$\begin{array}{}\text{(5.94)}& E\propto B^{-1/2}.\end{array}$$

因此，$U_e$ 与 $L$ 的比值可以用能量极限表示：

$$\begin{array}{}\text{(5.95)}& \frac{U_e}{L}\propto \frac{{\int }_{E_{min}}^{E_{max}}En(E)dE}{-{\int }_{E_{min}}^{E_{max}}(dE/dt)n(E)dE},\end{array}$$

其中每个电子发射的同步辐射功率为 $(-dE/dt)\propto B^2{E}^2$。对于一个幂律电子能量分布 $n(E)\propto E^{-\delta }$，

$$\begin{array}{}\text{(5.96)}& \frac{U_e}{L}\propto \frac{{\int }_{E_{min}}^{E_{max}}{E}^{1-\delta }dE}{B^2{\int }_{E_{min}}^{E_{max}}{E}^{2-\delta }dE}\propto \frac{{E^{2-\delta }|}_{E_{min}}^{E_{max}}}{{B^2{E}^{3-\delta }|}_{E_{min}}^{E_{max}}}.\end{array}$$

能量极限 $E_{min}$ 和 $E_{max}$ 都与 $B^{-1/2}$ 成正比（式 5.94），因此

$$\begin{array}{}\text{(5.97)}& \frac{U_e}{L}\propto \frac{{(B^{-1/2})}^{2-\delta }}{B^2{(B^{-1/2})}^{3-\delta }}=\frac{B^{-1+\delta /2}}{B^2{B}^{-3/2+\delta /2}}=B^{-3/2}\end{array}$$

因此，为了产生给定的同步辐射光度所需的电子能量密度随之变化为

$$\begin{array}{}\text{(5.98)}& \boxed{{\displaystyle U_e\propto B^{-3/2},}}\end{array}$$

而磁场能量密度为

$$\begin{array}{}\text{(5.99)}& U_B\propto B^2.\end{array}$$

“不可见”的宇宙射线质子和更重的离子发射的同步加速功率可以忽略不计，但它们仍然对宇宙射线粒子总能量有贡献。如果离子/电子能量比为 $\eta$，则宇宙射线的总能量密度为 $U_E=(1+\eta )U_e$，而宇宙射线和磁场的总能量密度为 $U$

$$\begin{array}{}\text{(5.100)}& \boxed{{\displaystyle U=(1+\eta )U_e+U_B.}}\end{array}$$

在地球附近收集的宇宙射线具有 $\eta \approx 40$，但在射电星系和类星体中的 $\eta$ 值尚未测量。

$U_e$ 和 $U_B$ 对 $B$ 的依赖性差异很大，这意味着总能量密度 $U$ 在能量等分点附近有一个相当明显的最小值，即 $(1+\eta )U_e\approx U_B$ 的点（图 5.9）。

图5.9:对于给定同步加速器光度的源，粒子能量密度 $U_E\equiv (1+\eta )U_e$ 与 $B^{-3/2}$ 成正比，磁能量密度 $U_B$ 与 $B^2$ 成正比。总能量密度 $U=U_E+U_B$ 在粒子能量密度和磁能量密度接近平衡时（$U_E\approx U_B$）具有相当明显的最小值。

总能量密度的最小值 $U$ 发生在

$$\begin{array}{}\text{(5.101)}& \frac{dU}{dB}=\frac{d[(1+\eta )U_e+U_B]}{dB}=0.\end{array}$$

电子能量密度的对数导数 $U_e\propto B^{-3/2}$ 为

$$\begin{array}{}\text{(5.102)}& \frac{d{U}_e}{dB}\cdot U_e^{-1}=-\left(\frac{3}{2}\right)B^{-5/2}{B}^{3/2}=-\frac{3}{2B},\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(5.103)}& \frac{d{U}_e}{dB}=-\frac{3U_e}{2B}.\end{array}$$

磁场能量密度的对数导数 $U_B\propto B^2$ 为

$$\begin{array}{}\text{(5.104)}& \frac{d{U}_B}{dB}\cdot U_B^{-1}=\frac{2B}{B^2}=\frac{2}{B},\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(5.105)}& \frac{d{U}_B}{dB}=\frac{2U_B}{B}.\end{array}$$

将式 5.103 和 5.105 代入最小能量式 5.101 可得

$$\begin{array}{}\text{(5.106)}& -\frac{3(1+\eta )U_e}{2B}+\frac{2U_B}{B}=0.\end{array}$$

使总能量最小的宇宙射线粒子能量密度与磁场能量的比值是

$$\begin{array}{}\text{(5.107)}& \boxed{{\displaystyle \frac{particleenergydensity}{magneticfieldenergydensity}=\frac{(1+\eta )U_e}{U_B}=\frac{4}{3}.}}\end{array}$$

该比值接近于1，因此最小能量意味着能量（近）平分：总的宇宙射线能量密度（包括非辐射离子的能量）$(1+\eta )U_e$ 近似等于总磁场能量密度 $U_B$。目前尚不清楚大多数同步辐射源是否处于能量平分状态，但射电天文学家常常假设如此，因为

1. 在物理上是合理的——具有相互作用组件的系统往往趋向于能量平分；

2. 高光度 $L$ 和大体积 $V$ 的银河系外射电源，如天鹅座A，甚至在接近平分状态下也有巨大的总能量 $E=UV$ 需求；否则，“能量问题”会更严重；

3. 它消除了未知参数，允许估计具有测量亮度和尺寸的射电源的相对论粒子能量和磁场强度。

从同步辐射发射系数中获得粒子和磁场能量密度的实际数值是一项简单但繁琐的代数任务（Wilson 等人 [116，第10.10节]]。结果（摘自Pacholczyk [78，第171页）总结为方程5.1095.110。这些方程中的$c_{12}$和$c_{13}$函数吸收了从频率${\nu }_{min}$到${\nu }_{max}$的积分以及高斯CGS单位中的物理常数。$c_{12}$和$c_{13}$的数值如图 5.105.11绘制。

对于半径为 $R$、磁场强度为 $B$ 的球形射电源，总磁能是

$$\begin{array}{}\text{(5.108)}& E_B=U_{B}V=\frac{B^2}{8\pi }\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{B^2{R}^3}{6}.\end{array}$$

对于无线电光度为 $L$ 的源，其最小能量磁场强度为

$$\begin{array}{}\text{(5.109)}& \boxed{{\displaystyle B_{min}={[4.5(1+\eta )c_{12}L]}^{2/7}{R}^{-6/7}gauss}}\end{array}$$

相应的总能量为

$$\begin{array}{}\text{(5.110)}& \boxed{{\displaystyle E_{min}(total)=c_{13}{[(1+\eta )L]}^{4/7}{R}^{9/7}ergs.}}\end{array}$$

源的同步辐射寿命定义为总电子能量 $E_e$ 与同步辐射能量损失率 $L$ 的比值：

$$\begin{array}{}\text{(5.111)}& {\tau }_s\equiv \frac{E_e}{L}.\end{array}$$

如果主要的能量损耗机制是同步辐射，它近似表示同步辐射源的寿命；如果其他损耗机制（例如反康普顿散射）显著存在，实际源寿命会缩短。同步辐射寿命可以表示为

$$\begin{array}{}\text{(5.112)}& \boxed{{\displaystyle {\tau }_s\approx c_{12}{B}_{\mathrm{\perp }}^{-3/2}.}}\end{array}$$

图5.10:$c_{12}$ 在高斯 CGS 单位下随（负）谱指数 $\alpha \equiv -d\log S/d\log \nu$ 的变化曲线，分别对应 ${\nu }_{min}={10}^6$ Hz（虚线曲线）和 ${10}^7$ Hz（实线曲线）以及 ${\nu }_{max}={10}^{10}$ Hz、${10}^{11}$ Hz 和 ${10}^{12}$ Hz。

图5.11:$c_{13}$ 在高斯 CGS 单位下随（负）谱指数 $\alpha \equiv -d\log S/d\log \nu$ 的变化曲线，分别对应 ${\nu }_{min}={10}^6$ Hz（虚线曲线）和 ${10}^7$ Hz（实线曲线）以及 ${\nu }_{max}={10}^{10}$ Hz、${10}^{11}$ Hz 和 ${10}^{12}$ Hz。

5.4.2 爱丁顿光度极限

天体总质量为 $M$ 的天体的稳态光度受到限制，其要求是向外的辐射压力不能超过引力的拉力。否则，辐射压力将会驱逐恒星的外层，或破坏对黑洞或中子星等紧凑天体的吸积。如果恒星的大气层或下落物质主要是电离氢，自由电子将会对流出的辐射进行汤姆孙散射。汤姆孙散射截面 ${\sigma }_T$ 由式 5.33 给出。每个被辐射压力推动的电子将会拖动一个质子（$m_p\gg m_e$）一起移动，以维持电荷中性。在距离吸积物体 $r$ 处对每对电子/质子平衡辐射力和引力定义了爱丁顿光度：

$$\begin{array}{}\text{(5.113)}& \frac{L_E}{4\pi r^2}\frac{{\sigma }_T}{c}=\frac{GM(m_p+m_e)}{r^2}\approx \frac{GM{m}_p}{r^2}.\end{array}$$

两种力都与 $r^{-2}$ 成正比，因此

$$\begin{array}{}\text{(5.114)}& L_E\approx \frac{4\pi GM{m}_{p}c}{{\sigma }_T}\end{array}$$

与质量 $M$ 成正比，并且与距离无关。在 CGS 单位中，

$$L_E=\frac{4\pi \cdot 6.67\times {10}^{-8}dyne{cm}^2{g}^{-2}\cdot M\cdot 1.66\times {10}^{-24}g\cdot 3\times {10}^{10}cm{s}^{-1}}{6.65\times {10}^{-25}{cm}^2},$$

$$\begin{array}{}\text{(5.115)}& L_E(erg{s}^{-1})=6.28\times {10}^{4}M(g).\end{array}$$

归一化为“太阳”单位 $L_{\odot }\approx 3.83\times {10}^{33}$ erg s${}^{-1}$ 和 $M_{\odot }\approx 1.99\times {10}^{33}$ g,

$$\begin{array}{}\text{(5.116)}& \left(\frac{L_E}{L_{\odot }}\right)\approx \frac{6.28\times {10}^4\cdot 1.99\times {10}^{33}g}{3.83\times {10}^{33}erg{s}^{-1}}\left(\frac{M}{M_{\odot }}\right),\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.117)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{L_E}{L_{\odot }}\right)\approx 3.3\times {10}^4\left(\frac{M}{M_{\odot }}\right).}}\end{array}$$

例如，随着主序星的质量接近 $M\approx 100M_{\odot }$，其亮度接近其爱丁顿亮度。非常大质量的恒星通常具有辐射驱动的风，而质量大于 $100M_{\odot }$ 的恒星可能不稳定。爱丁顿极限不仅适用于被电离氢包围的天体，对于其他吸收体，例如星际尘埃，也可以推导出类似于经典爱丁顿极限的公式。典型尘埃粒子的吸收截面对质量的比值是电离氢比值的 $\sim 500$ 倍，因此尘埃星系的最大亮度与质量比比式 5.117 给出的值低 $\sim 500$ 倍。因此，在一个尘埃星系的中心，如果一个超大质量黑洞以电离氢的埃丁顿极限发射，它可能会移除尘埃星际介质（ISM），前提是星系质量小于黑洞质量的$\sim 500$倍。这种辐射“反馈”过程可能解释观测到的星系凸起与其中心黑洞的质量比$\sim 500$ [37]。

5.4.3 对明亮射电星系天鹅座A的应用

图5.12:射电源天鹅座A的高分辨率VLA图像。明亮的中心部分被认为与一个超大质量黑洞重合，该黑洞沿两条喷流加速相对论电子，喷流末端的尾状结构位于主星系之外。图片来源：NRAO/AUI/NSF 调查者：R. Perley, C. Carilli, & J. Dreher。

Cyg A 是一个发光的双射电源（图 5.12），位于一个特殊的星系中，距离为 $d\approx 230$ Mpc。它的射电无线电瓣半径为 $R\approx 30$ kpc，总的 Cyg A 流量密度为

$$S_{\nu }\approx 2000Jy{\left(\frac{\nu }{GHz}\right)}^{-0.8}.$$

为了估算 Cyg A 的总射电光度，首先将数据从“天文”单位转换为高斯 CGS 单位：

$$R$$$$=30kpc\left(\frac{{10}^{3}pc}{kpc}\right)\left(\frac{3.09\times {10}^{18}cm}{pc}\right)\approx 9.0\times {10}^{22}cm,$$$$S_{\nu }$$$$=2000Jy\left(\frac{{10}^{-23}erg{s}^{-1}{Hz}^{-1}{cm}^{-2}}{Jy}\right){\left(\frac{\nu }{{10}^{9}Hz}\right)}^{-0.8}$$$$=\frac{3.17\times {10}^{-13}erg{s}^{-1}{Hz}^{-1}}{{cm}^2}{\left(\frac{\nu }{Hz}\right)}^{-0.8},$$$$d$$$$=230Mpc\left(\frac{{10}^{6}pc}{Mpc}\right)\left(\frac{3.09\times {10}^{18}cm}{pc}\right)\approx 7.1\times {10}^{26}cm.$$

Cyg A 的谱光度为

$$L_{\nu }$$$$\approx 4\pi d^2{S}_{\nu }$$$$\approx 4\pi {(7.1\times {10}^{26}cm)}^2\left(\frac{3.17\times {10}^{-13}erg{s}^{-1}{Hz}^{-1}}{{cm}^2}\right){\left(\frac{\nu }{Hz}\right)}^{-0.8}$$$$\approx 2.0\times {10}^{42}erg{s}^{-1}{Hz}^{-1}{\left(\frac{\nu }{Hz}\right)}^{-0.8}.$$

Cyg A 在频率范围 ${10}^7$ Hz 到 ${10}^{11}$ Hz 的总射电光度为

$$L$$$$={\int }_{{10}^{7}Hz}^{{10}^{11}Hz}{L}_{\nu }d\nu \approx {2.0\times {10}^{42}erg{s}^{-1}{Hz}^{-1}\left(\frac{{\nu }^{0.2}}{0.2}\right)|}_{\nu ={10}^{7}Hz}^{\nu ={10}^{11}Hz}$$$$\approx 1.33\times {10}^{45}erg{s}^{-1}.$$

以总太阳光度 $L_{\odot }\approx 3.83\times {10}^{33}erg{s}^{-1}$ 为单位，Cyg A 的射电光度为

$$\frac{L}{L_{\odot }}\approx \frac{1.33\times {10}^{45}erg{s}^{-1}}{3.83\times {10}^{33}erg{s}^{-1}}\approx 3.5\times {10}^{11}.$$

Cyg A 的射电功率超过了我们银河系中所有恒星产生的总功率。

该射电辐射的能量来源是宿主星系中心的一个致密天体。爱丁顿极限（式 5.117）给出了其质量的下限 $M$：

$$(\frac{M}{M_{\odot }})\ge \frac{3.5\times {10}^{11}}{3.3\times {10}^4}\approx {10}^7.$$

请注意，爱丁顿质量极限仅取决于源瞬时发射的功率，而不取决于源的总能量、源的年龄或其历史的任何其他指标。

可以用式 5.109 估算最小化光亮同步辐射源所暗示的相对论粒子和磁场总能量的磁场强度 $B_{min}$。近似将天鹅座A（图 5.12）表示为两个半径为 $R\approx 30$ kpc、各自光度为 $L/2$ 的球形脑区，其中 $L$ 是天鹅座A的总光度：

$$B_{min}$$$$\approx {[4.5(1+\eta )c_{12}(L/2)]}^{2/7}{R}^{-6/7}$$$$\approx [{(4.5\cdot 3.9\times {10}^7\cdot 1.33\times {10}^{45}erg{s}^{-1}/2)}^{2/7}{(9\times {10}^{22}cm)}^{-6/7}]{(1+\eta )}^{2/7}.$$

如Cyg A等星系外射电源中还未测量离子/电子能量比$\eta$。由超大质量黑洞加速的宇宙射线可能主要是电子和正电子。电子和正电子具有相同的大电荷/质量比，因此电子-正电子等离子体将具有$\eta \approx 1$。如果电子和质子被加速到相同速度（相同$\gamma$），那么质子携带的能量是$m_p/m_e\sim 2\times {10}^3$倍，但几乎不发射任何东西并且$\eta \sim 2\times {10}^3$。幸运的是，$B_{min}\propto {(1+\eta )}^{2/7}$只对$\eta$有弱依赖——将$\eta$从1变化到$2\times {10}^3$会使${(1+\eta )}^{2/7}$从约1变化到9：

$$B_{min}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.118)}& \approx 1.45\times {10}^{15}\cdot 2.1\times {10}^{-20}\cdot (1to9)gauss\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.119)}& \approx (30to300)\times {10}^{-6}gauss\sim {10}^{-4}gauss.\end{array}$$

Cyg A的最小总能量（方程5.110）是每个尾部能量的两倍：

$$E_{min}$$$$\approx 2(lobes)\cdot c_{13}{[(1+\eta )L]}^{4/7}{R}^{9/7}$$$$\approx 2\cdot 2.0\times {10}^4{\left(\frac{1.33\times {10}^{45}erg{s}^{-1}}{2}\right)}^{4/7}{(9\times {10}^{22}cm)}^{9/7}{(1+\eta )}^{4/7},$$$${(1+\eta )}^{4/7}$$$$E_{min}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.120)}& \approx 4\times {10}^4\cdot 4.1\times {10}^{25}\cdot 3.26\times {10}^{29}\cdot (1to80)ergs\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.121)}& \approx 5.4\times {10}^{59}\cdot (1to80)ergs\sim 5\times {10}^{60}ergs.\end{array}$$

如此巨大的计算能量可以通过对星系团中的源进行观测来确认。图 8.15显示，星系团MS07356+7421中的射电源（红色）已在大体积中置换了发出X射线的气体（蓝色）。气体压力可以通过其X射线辐射的强度来推导，而置换这些气体所需的总能量是体积与压力的乘积[72]。

这种巨大的能量意味着对为射电源提供能量的中心天体质量的一个独立下限。质量不可能以超过100%的效率转化为能量，所以产生$E_{min}$所需的最小质量是

$$M$$$$\ge \frac{E_{min}}{c^2}\approx \frac{5\times {10}^{60}ergs}{{(3\times {10}^{10}cm{s}^{-1})}^2}\approx 6\times {10}^{39}g,$$

$$\begin{array}{}\text{(5.122)}& M\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.123)}& \ge 6\times {10}^{39}g\left(\frac{M_{\odot }}{1.99\times {10}^{33}g}\right)\approx 3\times {10}^6{M}_{\odot }.\end{array}$$

这是一个非常保守的下限。核聚变可以以仅 $\sim 1$% 的效率将质量转化为能量，因此恒星中的核聚变需要 $M>3\times {10}^8{M}_{\odot }$。吸积到旋转的黑洞上理论上可以产生高达 $(1-3^{-1/2})\approx 0.4$ 的效率，这意味着 $M>{10}^7{M}_{\odot }$。许多作者假设天文黑洞吸积的质量以大约 10% 的效率转化为能量；这产生了 $M>3\times {10}^7{M}_{\odot }$。通过甚长基线干涉测量（VLBI）测得的射电核心的小尺寸，以及其在数月到数年时间尺度上的观测到的流量变化，再结合根据爱丁顿极限和射电叶的总能量估算出的较大最小质量，这些因素共同使得难以避免得出结论，即为射电源提供能量的紧凑、大质量天体是一个超大质量黑洞（SMBH）。形容词超大质量用于质量为$M>{10}^6{M}_{\odot }$的黑洞，这比最重的恒星$M\sim 100M_{\odot }$的质量大得多。

对射电源Cyg A年龄的下限$\tau$是通过取电子能量与观测到的同步辐射亮度之比来估算的相对论电子的平均同步加速寿命（方程5.111）:

$$\tau$$$$\ge {\tau }_s\equiv \frac{E_e}{L}\ge \frac{E_{min}/(1+\eta )}{L},$$

$$\begin{array}{}\text{(5.124)}& \tau \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.125)}& \ge \frac{5.4\times {10}^{59}erg{(1+\eta )}^{4/7}}{1.33\times {10}^{45}erg{s}^{-1}(1+\eta )}\approx 4\times {10}^{14}s\cdot {\eta }^{-3/7}\sim {10}^{14}s\sim 3\times {10}^{6}yr.\end{array}$$

因为每个电子以与 $E^2$ 成正比的速度辐射能量，而临界频率与 $E^2$ 成正比，因此在最高频率发射的能量最高的电子寿命最短。高能电子的快速消耗会使 Cygnus A 的高于 $\nu \sim 1GHz$ 频率的射电谱陡峭化（图 5.13）。

图5.13:Baars 等人提供的 Cygnus A（以及 Cas A、Vir A）的射电谱 [6]。注意在 $\nu \sim {10}^3$ MHz 以上频率谱的陡峭化。

假设不断注入新的具有幂律能量分布的相对论性电子

$$\begin{array}{}\text{(5.126)}& N(E)\propto E^{-{\delta }_0}\end{array}$$

进入一个射电源。经过很长时间，在频率高于 $\nu$ 的电子将由于辐射损失 $\propto E^2$ 而被耗尽，这些高能电子最终将达到能量分布 $N(E)\propto E^{-({\delta }_0+1)}$。因此，（负的）谱指数在低频下为

$$\begin{array}{}\text{(5.127)}& {\alpha }_0=\frac{{\delta }_0-1}{2}\end{array}$$

，在高频下接近

$$\begin{array}{}\text{(5.128)}& \alpha =({\delta }_0+1-1)/2=({\alpha }_0+1/2)\end{array}$$

；也就是说，高频谱通过 $\mathrm{\Delta }\alpha =1/2$ 变得更陡峭。

如果观测到的光谱弯曲频率 $\nu$ 足够高，则具有 ${\nu }_c\sim \nu$ 的电子的隐含同步辐射寿命可能小于从无线电核心传播到喷流或射电脂肪发射特征所需的新相对论电子的时间。这意味着原位加速——无线电核心之外的某些东西（例如喷流中的冲击）必须补充相对论电子的供应。银河系 M87 中的源 Vir A 的无线电谱至少在 $\nu \sim 30$ GHz 下是直的（图 5.13），并且这种同步辐射延伸到光学频率，因此许多宇宙射线必须在明亮的冲击区被加速，而不仅仅是在黑洞附近。

5.5 逆康普顿散射

在同步加速器源的静止参考系中，周围的辐射场通常相当各向同性。然而，对于每个产生同步辐射的超相对论（$\gamma \gg 1$）电子来说，这样的辐射场看起来极度各向异性。相对论像差（第 5.3.1 节）使得几乎所有环境光子都从正面角度 $\sim {\gamma }^{-1}$ 弧度接近（图 5.14）。对这种高度各向异性辐射进行的汤姆森散射系统地减少了电子的动能，并通过上变频无线电光子生成光学或 X 射线光子，将其转化为逆康普顿（IC）辐射。相对论电子的逆康普顿“冷却”还限制了非相干同步加速器源的最大静止参考系亮温度为 $T_b\approx {10}^{12}$ K。

图5.14:对于在“原始”参考系中静止的相对论电子，该参考系沿 $x$ 轴以速度 $v$ 运动，入射光子的入射角 ${\theta }^{\prime }$ 将远小于观察者静止参考系中的对应角 $\theta$（式 5.50 和 5.51）。此图显示了在移动参考系中看到的各向同性辐射场的像差（左）与 $\gamma ={(1-v^2/c^2)}^{-1/2}=5$（右）。

5.5.1 单电子的反康普顿功率

为了推导描述反康普顿散射的方程，首先考虑电子静止参考系中的非相对论汤姆逊散射。如果入射到电子上的平面波的普oynting通量（单位面积的功率）是

$$\begin{array}{}\text{(5.129)}& \overrightarrow{S}=\frac{c}{4\pi }\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}=\frac{c}{4\pi }{|\overrightarrow{E}|}^2,\end{array}$$

入射辐射的电场会加速电子，而加速的电子反过来会根据拉莫方程发射辐射。净结果只是散射一部分入射辐射，辐射与电子之间没有净能量传递。散射辐射的功率

$$\begin{array}{}\text{(5.130)}& P=|\overrightarrow{S}|{\sigma }_T,\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(5.131)}& {\sigma }_T\equiv \frac{8\pi }{3}{\left(\frac{e^2}{m_e{c}^2}\right)}^2\approx 6.65\times {10}^{-25}{cm}^2\end{array}$$

被称为电子的汤姆逊截面（式 5.33）。换句话说，电子将从入射辐射中提取通过面积 ${\sigma }_T$ 的功率，并将该功率按照拉莫方程给出的环状模式重新辐射出去。散射功率可以重写为

$$\begin{array}{}\text{(5.132)}& \boxed{{\displaystyle P={\sigma }_{T}c{U}_{rad},}}\end{array}$$

其中 $U_{rad}=|\overrightarrow{S}|/c$ 是入射辐射的能量密度。

接下来考虑超相对论电子的辐射散射。式 5.132 仅在瞬时与电子一起运动的带撇帧中有效：

$$\begin{array}{}\text{(5.133)}& P^{\prime }={\sigma }_{T}c{U}_{rad}^{\prime }.\end{array}$$

这个非相对论结果需要变换到观察者的不带撇的静止系。使用结果 $P=P^{\prime }$（式 5.28）得到

$$\begin{array}{}\text{(5.134)}& P={\sigma }_{T}c{U}_{rad}^{\prime }.\end{array}$$

为了将 $U_{rad}^{\prime }$ 转换为 $U_{rad}$，假设在观察者静止系中以速度 $v=v_x$ 运动的电子先后被两颗低能光子撞击，这些光子从观察者系的角度 $\theta$（电子系中的 ${\theta }^{\prime }$）从 $x$ 轴方向接近，如图 5.15 所示。如果第一颗和第二颗光子撞击电子（电子始终位于 $x^{\prime }=y^{\prime }=z^{\prime }=0$）的坐标分别是

$$\begin{array}{}\text{(5.135)}& (x_1,0,0,t_1)and(x_2,0,0,t_2)\end{array}$$

在观察者的参考系中，洛伦兹变换式 5.12 给出了这两个事件的坐标为

$$\begin{array}{}\text{(5.136)}& (\gamma v{t}_1^{\prime },0,0,\gamma t_1^{\prime })and(\gamma v{t}_2^{\prime },0,0,\gamma t_2^{\prime }),\end{array}$$

如图 5.15 所示。

图5.15:两个连续光子击中向右运动的电子。光子以角度 $\theta$ 从 $x$ 轴接近，如未标记的观察者参考系所见。

在观察者的参考系中，这两个光子到达*垂直于传播方向的平面（图 5.15 中的虚线）*之间经过的时间为

$$\mathrm{\Delta }t$$

$$\begin{array}{}\text{(5.137)}& =t_2+\frac{(x_2-x_1)}{c}\cos \theta -t_1\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.138)}& =\gamma t_2^{\prime }+\frac{(\gamma v{t}_2^{\prime }-\gamma v{t}_1^{\prime })}{c}\cos \theta -\gamma t_1^{\prime }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.139)}& =(t_2^{\prime }-t_1^{\prime })[\gamma (1+\beta \cos \theta )],\end{array}$$

其中 $\beta \equiv v/c$。在电子参考系中被两个光子击中的时间间隔为 $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=t_2^{\prime }-t_1^{\prime }$，所以

$$\begin{array}{}\text{(5.140)}& \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }[\gamma (1+\beta \cos \theta )].\end{array}$$

相对论多普勒方程可以直接从式 5.140 推出。设 $\mathrm{\Delta }t$ 为在观察者参考系中频率为 $\nu ={(\mathrm{\Delta }t)}^{-1}$、在运动参考系中频率为 ${\nu }^{\prime }={(\mathrm{\Delta }{t}^{\prime })}^{-1}$ 的波的两个相邻周期到达的时间间隔。那么

$$\begin{array}{}\text{(5.141)}& {\nu }^{-1}={({\nu }^{\prime })}^{-1}[\gamma (1+\beta \cos \theta )]\end{array}$$

或者

$$\begin{array}{}\text{(5.142)}& \boxed{{\displaystyle {\nu }^{\prime }=\nu [\gamma (1+\beta \cos \theta )].}}\end{array}$$

在电子参考系中，每个光子的频率 ${\nu }^{\prime }$ 和能量 $E^{\prime }=h{\nu }^{\prime }$ 都乘以 $[\gamma (1+\beta \cos \theta )]$。同时，连续光子到达的速率也乘以相同的因子。如果 $n_{\gamma }$ 是观察者参考系中的光子数密度，那么 $n_{\gamma }^{\prime }=n_{\gamma }[\gamma (1+\beta \cos \theta )]$。在观察者参考系中，辐射能量密度为

$$\begin{array}{}\text{(5.143)}& U_{rad}=n_{\gamma }h\nu .\end{array}$$

在电子参考系

$$\begin{array}{}\text{(5.144)}& U_{rad}^{\prime }=n_{\gamma }^{\prime }h{\nu }^{\prime }=n_{\gamma }[\gamma (1+\beta \cos \theta )]h\nu [\gamma (1+\beta \cos \theta )]=U_{rad}{[\gamma (1+\beta \cos \theta )]}^2.\end{array}$$

因此，$U_{rad}$ 与 $U_{rad}^{\prime }$ 之间的转换取决于 $\theta$ 角，即平面波中光子的方向与电子运动方向之间的角度。

对于观察者参考系中各向同性的总能量密度为 $U_{rad}$ 的辐射场，每单位立体角的能量密度为 $U_{rad}/4\pi$，电子参考系中的总能量密度可以通过对公式 5.144 在所有方向上积分得到：

$$\begin{array}{}\text{(5.145)}& U_{rad}^{\prime }=\frac{U_{rad}}{4\pi }{\int }_{\varphi =0}^{2\pi }{\int }_{\theta =0}^{\pi }{[\gamma (1+\beta \cos \theta )]}^2\sin \theta d\theta d\varphi ,\end{array}$$

其中 $\varphi$ 是绕 $x$ 轴的方位角。因此

$$\begin{array}{}\text{(5.146)}& U_{rad}^{\prime }=\frac{U_{rad}{\gamma }^2}{2}{\int }_{\theta =0}^{\pi }{(1+\beta \cos \theta )}^2\sin \theta d\theta .\end{array}$$

为了计算此积分，将 $z\equiv \cos \theta$ 代入，使 $dz=-\sin \theta d\theta$，并用 $\gamma$ 代替 $\beta$：

$$U_{rad}^{\prime }$$

$$\begin{array}{}\text{(5.147)}& =\frac{U_{rad}{\gamma }^2}{2}{\int }_1^{-1}{(1+\beta z)}^2(-1)dz=U_{rad}{\gamma }^2(1+{\beta }^2/3)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.148)}& =U_{rad}\left[{\gamma }^2+\frac{{\gamma }^2}{3}-\left(\frac{{\gamma }^2}{3}-\frac{{\gamma }^2{\beta }^2}{3}\right)\right]=U_{rad}\left[\frac{4{\gamma }^2}{3}-\frac{1}{3}{\gamma }^2(1-{\beta }^2)\right].\end{array}$$

回想 ${\gamma }^2(1-{\beta }^2)=1$，因此

$$\begin{array}{}\text{(5.149)}& U_{rad}^{\prime }=U_{rad}\frac{4({\gamma }^2-1/4)}{3}.\end{array}$$

将此结果 $U_{rad}^{\prime }$ 代入式 5.134 得到

$$\begin{array}{}\text{(5.150)}& P=\frac{4}{3}{\sigma }_{T}c{U}_{rad}({\gamma }^2-1/4)\end{array}$$

用于低能光子反康普顿散射后的总辐射功率。这些光子的初始功率为 ${\sigma }_{T}c{U}_{rad}$，因此反康普顿散射给辐射场增加的净功率为

$$\begin{array}{}\text{(5.151)}& P_{IC}=\frac{4}{3}{\sigma }_{T}c{U}_{rad}\left({\gamma }^2-\frac{1}{4}\right)-{\sigma }_{T}c{U}_{rad}=\frac{4}{3}{\sigma }_{T}c{U}_{rad}({\gamma }^2-1).\end{array}$$

将 $({\gamma }^2-1)$ 替换为 ${\beta }^2{\gamma }^2$ 得到最终结果

$$\begin{array}{}\text{(5.152)}& \boxed{{\displaystyle P_{IC}=\frac{4}{3}{\sigma }_{T}c{\beta }^2{\gamma }^2{U}_{rad}}}\end{array}$$

用于辐射场获得的净反康普顿功率，以及电子损失的功率。将其除以相应的同步辐射功率（式 5.42）

$$\begin{array}{}\text{(5.153)}& P_{syn}=\frac{4}{3}{\sigma }_{T}c{\beta }^2{\gamma }^2{U}_B\end{array}$$

显示了极其简单的反康普顿与同步辐射损失的比率：

$$\begin{array}{}\text{(5.154)}& \boxed{{\displaystyle \frac{P_{IC}}{P_{syn}}=\frac{U_{rad}}{U_B}.}}\end{array}$$

IC 损失与辐射能量密度成正比，而同步辐射损失与磁能量密度成正比。注意，同步辐射和逆康普顿损失在电子能量上的依赖关系相同（$dE/dt\propto {\gamma }^2$），因此它们对射电频谱的影响（式 5.128）是无法区分的。

5.5.2 单电子的 IC 光谱

逆康普顿辐射的光谱是什么？假设观测者参考系中的环境辐射场仅包含频率为 ${\nu }_0$ 的光子，并考虑一个沿 $x$ 轴以超相对论速度 $+v$ 运动的电子的散射。在随电子运动的惯性参考系中，相对论性视差使大部分光子几乎正面来临。相对论性多普勒式 5.142 给出了一个接近 $x$ 轴（$\theta \ll 1$）的光子在电子参考系下的频率 ${\nu }_0^{\prime }$；它是

$$\begin{array}{}\text{(5.155)}& {\nu }_0^{\prime }={\nu }_0[\gamma (1+\beta \cos \theta )]\approx {\nu }_0[\gamma (1+\beta )].\end{array}$$

在电子参考系中，汤姆逊散射产生与入射辐射具有相同频率的辐射：散射光子具有 ${\nu }^{\prime }={\nu }_0^{\prime }$。在观察者参考系中，相对论性像差将散射光子汇聚到电子运动的方向上，并且沿着 $+x$ 方向（$\theta \approx 0$）近似散射的辐射频率 $\nu$ 由相对论多普勒公式给出：

$$\begin{array}{}\text{(5.156)}& \nu ={\nu }^{\prime }[\gamma (1+\beta \cos \theta )]\approx {\nu }^{\prime }[\gamma (1+\beta )]\approx {\nu }_0{[\gamma (1+\beta )]}^2.\end{array}$$

在超相对论极限下 $\beta \to 1$，

$$\begin{array}{}\text{(5.157)}& \boxed{{\displaystyle \frac{\nu }{{\nu }_0}\approx 4{\gamma }^2.}}\end{array}$$

这是观察者参考系中被上转换辐射的最大频率。

斜碰撞 ($\theta >0$) 会导致较低的频率 $\nu$。对于观察者参考系中的各向同性辐射场，散射光子的平均能量 $⟨E⟩$ 等于每个电子的平均散射功率 $P_{IC}$ 除以 ${\dot{N}}_{IC}$，即每个电子每秒散射的光子数量。该速率是观察者参考系中光子能量下的散射功率，或者

$$\begin{array}{}\text{(5.158)}& {\dot{N}}_{IC}=\frac{{\sigma }_{T}c{U}_{rad}}{h{\nu }_0}.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(5.159)}& ⟨E⟩=h⟨\nu ⟩=\frac{P_{IC}}{{\dot{N}}_{IC}}=\frac{4}{3}{\sigma }_{T}c{\beta }^2{\gamma }^2{U}_{rad}\left(\frac{h{\nu }_0}{{\sigma }_{T}c{U}_{rad}}\right)\end{array}$$

并且被上散射光子的平均频率$⟨\nu ⟩$ 为

$$\begin{array}{}\text{(5.160)}& \boxed{{\displaystyle \frac{⟨\nu ⟩}{{\nu }_0}=\frac{4}{3}{\gamma }^2.}}\end{array}$$

例如，频率为 ${\nu }_0=1$ GHz 的各向同性无线电光子，经电子 $\gamma ={10}^4$ 的IC散射后，将被上散射到平均频率

$$⟨\nu ⟩={10}^{9}Hz\frac{4}{3}{({10}^4)}^2\approx 1.3\times {10}^{17}Hz$$

对应于 X 射线辐射。逆康普顿散射的主要天文学效应是从产生射电辐射的宇宙射线电子中提取能量，并将其用于产生 X 射线辐射。

由于最大频率（式 5.157）仅是平均频率（式 5.160）的三倍，因此 IC 光谱必须在平均频率附近急剧峰值。各向同性单频辐射场产生的详细康普顿散射光谱已被计算（Blumenthal 和 Gould [13]；另见 Pacholczyk [78]）。正如图 5.16 所示，它确实在最大值以下形成了急剧的峰值 $\nu /{\nu }_0=4{\gamma }^2$。

图5.16:能量为 $\gamma$ 的电子在频率为 ${\nu }_0$ 的光子照射下的反康普顿光谱。对数-对数功率随对数频率变化的图（右）更清楚地显示了光谱的峰值程度。

这个光谱比单能电子的同步辐射光谱的峰值更明显。因此，对于含有幂律分布相对论电子的天体源，计算反康普顿光谱时并不需要使用单能电子的详细康普顿散射光谱。如果电子能量分布为 $n(E)\propto E^{-\delta }$，反康普顿光谱也将是一个幂律，其谱指数为

$$\begin{array}{}\text{(5.161)}& \boxed{{\displaystyle \alpha =\frac{\delta -1}{2},}}\end{array}$$

这是与式 5.79 对同一功率律分布电子能量发出的同步辐射给出的谱指数相同的指数。

5.5.3 同步辐射自康普顿辐射

同步辐射自康普顿辐射是由产生同步辐射的相对论电子对同步辐射进行逆康普顿散射形成的。式 5.154,

$$\begin{array}{}\text{(5.162)}& \frac{P_{IC}}{P_{syn}}=\frac{U_{rad}}{U_B},\end{array}$$

意味着将相对论电子的密度乘以某个因子 $f$ 会使同步辐射功率及其对 $U_{rad}$ 的贡献同时乘以 $f$，因此同步辐射自康普顿功率与 $f^2$ 成正比。

自康普顿辐射也对$U_{rad}$有贡献，并且当紧凑源中的同步加速自康普顿贡献接近同步辐射贡献时，会导致显著的二次散射。这种失控的正反馈是源亮温度的一个非常敏感的函数，因此，如果源的亮温度在源的静止参考系中超过$T_b\sim {10}^{12}$ K，逆康普顿损失会非常强烈地冷却相对论电子。亮温度明显高于的射电源

$$\begin{array}{}\text{(5.163)}& \boxed{{\displaystyle T_{max}\sim {10}^{12}K}}\end{array}$$

在观察者的参照系中，要么是多普勒增强的，要么不是非相干的同步辐射源（例如，脉冲星是相干的射电源）。活动星系Markarian 501发射强烈的同步自康普顿辐射，其射电辐射接近非相干同步辐射的此参照系亮度极限。Mrk 501的同步辐射和同步自康普顿谱如图 5.17所示。

图5.17:Mrk 501 的同步辐射（峰值约在 ${10}^{19}$ Hz）和同步自康普顿（峰值约在 ${10}^{27}$ Hz）谱 [61]。细曲线显示最佳拟合的同步自康普顿模型，粗点表示 X 射线数据，$\gamma$ 射线数据以带误差棒的点表示。该图的纵坐标 $\nu F_{\nu }$ 与每单位对数频率范围的通量密度成正比，因此两个峰值的相对高度表示它们对 $U_{rad}$ 的相对贡献。

5.6 银河系外射电源

5.6.1 相对论性整体运动

上述结果仅适用于相对于观察者不以相对论速度移动的发射射电波的等离子体。明亮的射电源组成部分（亮度增强的离散区域）通常被观察到以表观横向速度移动，其超过光速。如果这些组成部分以相对论速度斜向接近观察者移动，如图 5.18 所示，就会出现超光速速度的错觉。

图5.18:一个以速度 $v<c$ 并以与视线成角度 $\theta <\pi /2$ 移动的源，在投影到天空时可能看起来以超过 $c$ 的速度移动，因为在时间 $t$ 内，光的传播时间由于 $vt\cos \theta /c$ 而减少。

假设发射无线电的组件以恒定速度 $v=\beta c$ 朝观察者运动，其运动方向与视线的夹角为 $\theta$。考虑组件中发生的两个“事件”，第一个事件发生在距观察者 $r$ 的位置，时间为 $t=0$，第二个事件发生的时间为 $t$。来自第一个和第二个事件的辐射将分别在时间

$$\begin{array}{}\text{(5.164)}& t_1=r/cand{t}_2=\frac{r-vt\cos \theta }{c}+t,\end{array}$$

被接收。这些时间之间的差值为

$$\begin{array}{}\text{(5.165)}& t_2-t_1=t[1-(v\cos \theta )/c].\end{array}$$

移动组件的视向横向速度是实际横向距离在时间 $t$ 内覆盖的距离除以视向时间间隔 $(t_2-t_1)$：

$$\begin{array}{}\text{(5.166)}& v_{\mathrm{\perp }}(apparent)=\frac{vt\sin \theta }{t_2-t_1}=\frac{vt\sin \theta }{t[1-(v\cos \theta )/c]},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.167)}& {\beta }_{\mathrm{\perp }}(apparent)=\frac{\beta \sin \theta }{1-\beta \cos \theta }.\end{array}$$

对于每一个速度 $\beta$，存在一个角度 ${\theta }_m$ 使 ${\beta }_{\mathrm{\perp }}(apparent)$ 最大化。该角度满足

$$\begin{array}{}\text{(5.168)}& \frac{\partial {\beta }_{\mathrm{\perp }}(apparent)}{\partial \theta }=0=\frac{(1-\beta \cos {\theta }_m)\beta \cos {\theta }_m-{(\beta \sin {\theta }_m)}^2}{{(1-\beta \cos {\theta }_m)}^2},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.169)}& \beta \cos {\theta }_m-{\beta }^2{\cos }^2{\theta }_m-{\beta }^2{\sin }^2{\theta }_m=\beta \cos {\theta }_m-{\beta }^2=0.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(5.170)}& \boxed{{\displaystyle \cos {\theta }_m=\beta }}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(5.171)}& \boxed{{\displaystyle \sin {\theta }_m={(1-{\cos }^2{\theta }_m)}^{1/2}={(1-{\beta }^2)}^{1/2}={\gamma }^{-1}.}}\end{array}$$

将 $\cos \theta =\beta$ 和 $\sin \theta ={\gamma }^{-1}$ 代入式 5.167 以求 ${\beta }_{\mathrm{\perp }}(apparent)$，得到实际速度为 $\beta$ 的源的最高表观横向速度：

$$\begin{array}{}\text{(5.172)}& \boxed{{\displaystyle max[{\beta }_{\mathrm{\perp }}(apparent)]=\frac{\beta {(1-{\beta }^2)}^{1/2}}{1-{\beta }^2}=\beta \gamma .}}\end{array}$$

图5.19:类星体 3C 279 [82] 中无线电构件的表观超光速运动。

图 5.19 显示了类星体 3C 279 的五幅连续高分辨率无线电图像。左侧的明亮部件被认为是固定的无线电核心，而右侧的明亮点似乎在 1991 年至 1998 年之间在天空平面上移动了 25 光年，相当于 7 年内的表面超光速运动：${\beta }_{\mathrm{\perp }}(apparent)\approx 3.6$。与这些图像一致的最小部件速度是多少 $\beta$？与视线之间的相应角度是多少 ${\theta }_m$？根据上述结果，

$$\begin{array}{}\text{(5.173)}& \beta \gamma =\frac{\beta }{{(1-{\beta }^2)}^{1/2}}\ge {\beta }_{\mathrm{\perp }}(apparent),\end{array}$$

因此

$$\beta$$$$\ge {\left[\frac{{\beta }_{\mathrm{\perp }}^2(apparent)}{1+{\beta }_{\mathrm{\perp }}^2(apparent)}\right]}^{1/2},$$

$$\begin{array}{}\text{(5.174)}& \beta \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.175)}& \ge {\left[\frac{{(25/7)}^2}{1+{(25/7)}^2}\right]}^{1/2}\approx 0.96.\end{array}$$

相应的 ${\theta }_m$ 由下式给出

$$\begin{array}{}\text{(5.176)}& \cos {\theta }_m=\beta \approx 0.96,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.177)}& {\theta }_m\approx 0.28rad\approx {16}^{\circ }.\end{array}$$

相对论多普勒公式 (5.142) 将分量参考系发射的频率 ${\nu }^{\prime }$ 与观测到的频率 $\nu$ 联系起来。注意，我们在当前分析中将 $\theta$ 替换为 ($\pi -\theta$) 弧度，称之为视线与一个接近分量速度之间的角度，因此

$$\begin{array}{}\text{(5.178)}& \nu =\frac{{\nu }^{\prime }}{\gamma (1-\beta \cos \theta )},\end{array}$$

其中 $\theta =0$ 现在对应于直接朝向观察者运动的无线电分量。该量

$$\begin{array}{}\text{(5.179)}& \delta \equiv {[\gamma (1-\beta \cos \theta )]}^{-1}=\frac{\nu }{{\nu }^{\prime }}\end{array}$$

被称为多普勒因子。如果 $\theta =\pi /2$，将会有一个横向多普勒频移

$$\begin{array}{}\text{(5.180)}& \boxed{{\displaystyle \delta =\frac{\nu }{{\nu }^{\prime }}={\gamma }^{-1}.}}\end{array}$$

横向多普勒位移在非相对论中没有对应现象，因为光源的速度没有沿视线的分量；它存在的唯一原因是运动的钟表走得更慢，慢了一个因子 $\gamma$。与给定光源速度 $\beta$ 相关的多普勒因子范围从

$$\begin{array}{}\text{(5.181)}& \delta \ge {(2\gamma )}^{-1}\end{array}$$

用于直接远离的 ($\theta =\pi$ 弧度) 光源到

$$\begin{array}{}\text{(5.182)}& \delta \le 2\gamma \end{array}$$

用于直接接近的 ($\theta =0$) 光源。例如，在 3C 279 ($\beta =0.96$, $\cos \theta =\beta$) 中，观测频率与发射频率的比值 $\nu /{\nu }^{\prime }$ 为

$$\frac{\nu }{{\nu }^{\prime }}$$$$={[\gamma (1-\beta \cos \theta )]}^{-1}={[\gamma (1-{\beta }^2)]}^{-1}=\gamma$$$$={(1-{\beta }^2)}^{-1/2}\approx 3.6.$$

相对论运动分量在其静止参考系中各向同性发射的观测通量密度 $S$ 关键依赖于其多普勒因子 $\delta$。由相对论光束效应引起的多普勒增强的确切数值在一定程度上依赖于模型 [101]，但很可能位于范围内

$$\begin{array}{}\text{(5.183)}& \boxed{{\displaystyle {\delta }^{2+\alpha }<\frac{S}{S_0}<{\delta }^{3+\alpha },}}\end{array}$$

其中 $S_0$ 是如果源静止时的观测通量密度，而 $\alpha =-d\log S/d\log \nu$ 是（负的）谱指数。如果 $\gamma \sim 5$，则 $0.1<\delta <10$ 取决于角度 $\theta$。以角度 $\theta <{\gamma }^{-1}$ 接近的相对论分量，相对于在天球平面运动或远离我们的分量，很容易被增强 $>{10}^3$ 倍。例如，3C 279 的接近喷流（$\delta =\nu /{\nu }^{\prime }\approx 3.6$ 和 $\alpha \approx 0.7$）通过多普勒效应被增强

$${\delta }^{2+\alpha }<\frac{S}{S_0}$$$$<{\delta }^{3+\alpha },$$$${3.6}^{2.7}<\frac{S}{S_0}$$$$<{3.6}^{3.7},$$$$32<\frac{S}{S_0}$$$$<114.$$

后退的对喷流也因类似的因素而变暗，因此3C 279观测到的喷流/对喷流通量密度比可能是$>{10}^3$。

多普勒增益强烈偏向接近的相对论性喷流和成分，并在受通量限制的致密射电源样本中不利于那些$\theta >{\gamma }^{-1}$的喷流。射电类星体并不是广布于宇宙的各向同性光源；它们是有方向的闪光灯。最亮的不一定是最发光的；它们只是指向我们的方向。对于我们能看到的每一个闪光灯，在同一空间体积中还有许多我们看不到的闪光灯，仅仅因为它们没有指向我们。

图5.20:射电星系 3C 31 [65] 的内部喷流。如果喷流接近平面的天空并且在远离核心时从相对论速度减速，只有喷流的内部部分会因多普勒效应而变暗。图片来源：NRAO/AUI/NSF。http://www.cv.nrao.edu/~abridle/3c31free/3c31anim_const_sen_flame.htm 的模拟显示了 3C 31 在不同角度 $\theta$（喷流与视线之间）下的外观。与数据的最佳拟合发生在 $\theta ={52}^{\circ }$。图片来源：NRAO/AUI/NSF。研究人员：Alan Bridle 与 Robert Laing。

图5.21:这张VLA拍摄的强射电类星体3C 175图像显示了核心、一个表面上的单侧射流，以及两个具有可比通量密度的射电射流尾和热点。该射流本质上是双侧的，但由于相对论效应，多普勒增亮使靠近的射流变亮，而远离的射流变暗。两个射流尾及其热点亮度相当，因此它们的运动不是相对论性的。图片来源：NRAO/AUI/NSF 研究人员：Alan Bridle、David Hough、Colin Lonsdale、Jack Burns 和 Robert Laing。

像 Cyg A（图 5.12）和 3C 348（图 8.14）这样非常扩展的射电源的两个射电尾部通常具有通量比 $<2$，这一事实表明这些尾部以速度 $v\ll c$ 向外移动。为几乎等大的尾部提供能量的射电喷流往往显得不对称，其中一条喷流非常强，而另一条几乎无法探测。非常明亮的射电源的喷流通常会在尾部形成明亮的热点。

由于喷流为叶片提供物质，叶片的对称性表明喷流本质上是相似的，但接近的喷流被增强，而远离的反喷流则被减弱。许多射电喷流的另一个特征是核心附近存在间隙。如果喷流在核心处以相对论速度启动，并且与视线的夹角大于$\theta \sim {\gamma }^{-1}$，两者都会发生多普勒减弱。如果它们以恒定的$\theta$前进，但随着远离核心逐渐减速，在$\gamma \sim {\theta }^{-1}$点之外，一个或两个喷流可能会变得可见。

具有喷流和尾迹的星系际射电源可以分为两种形态类别：(1) 类似 3C 31（图 5.20）的射电源，其亮度在距中心较远的地方逐渐减弱；(2) 类似 3C 175（图 5.21）的射电源，其尾迹边缘较亮。这类射电源分别称为FR I和FR II射电源，以 Fanaroff 和 Riley [38] 的名字命名，他们首先进行了这种分类，并指出 FR I 射电源的亮度通常低于 FR II 射电源，其分界线在 1.4 GHz 时为 $L_{\nu }\sim {10}^{24}W{Hz}^{-1}$。FR I 射电源通常具有较低的均分能量密度，因此其均分压力也较低。FR I 型源的喷流在距离核心几千秒差距以上的地方相当对称，这表明低光度喷流会迅速减速至非相对论速度。低能的 FR I 喷流容易受到环境物质的影响。低光度星系在穿越星系团的星团间介质时，经常呈现弯曲的头尾射电形态，类似于移动中的船只尾迹。

5.6.2 统一模型

方向依赖的光束效应和尘埃阻挡的结合导致了各种统一模型（图 5.22）用于描述活动星系核 (AGN)。

图5.22:这幅示意图显示了活动星系核“统一模型”的主要特征 [109]。图片来源：Robert Findlay。

这些模型将观察到的不同天体之间的一些或所有差异归因于其喷流相对于视线的倾角。如果倾角较小，靠近观察者一侧的喷流基底将经历强烈的多普勒增益，而紧凑的光学宽谱线区和内部的吸积盘将不会被位于喷流法线平面上的较大尘埃吸积环遮挡。观测到的射电辐射将以单侧喷流为主，这种喷流的强度可能可变，并且表观超光速。来自吸积盘内部区域的热辐射可能在光学/紫外光谱中表现为大蓝峰，而来自小型（$<1$ 秒差距）宽谱线区的多普勒展宽发射线则不会被遮挡。如果光学AGN的发射远比宿主星系的恒星光亮，该天体将被称为类星体（QSO），否则则称为塞弗特I型星系。在极端情况下，光学同步辐射可能主导大蓝凸和发射线。具有无谱线幂律光学谱的天体通常被称为BL Lac天体，以其原型BL盾牌星命名，该天体最初被认为是银河系内的一颗恒星（因此以星座命名）。如果倾斜角大约超过45度，光学核心可能会被尘埃环挡住，高度相对论性的射电喷流可能会因多普勒效应而变暗，我们将会看到双叶射电星系或塞弗特II型星系（一种仅能直接观测到窄发射线的塞弗特星系）。关于统一模型的持续争论并不是关于相对论定向和尘埃遮挡是否影响活动星系核的外观，而是讨论影响有多大。

5.6.3 普通星系的射电辐射

普通星系的射电辐射不是由活动星系核提供能量的。普通星系的连续射电辐射主要由以下几种因素共同决定：

1. 由大质量主序星（$M>15M_{\odot }$）电离的H II区的自由-自由发射，

2. 来自宇宙射线电子的同步辐射，其中大多数电子在大质量（$M>8M_{\odot }$）恒星的超新星遗迹（SNRs）中被加速。

质量大于$\sim 8M_{\odot }$的恒星，其主序星寿命为$\tau <3\times {10}^7$年，远小于我们银河系$>{10}^{10}$年的年龄。此外，在典型的星际磁场中，宇宙射线电子的同步寿命为$\tau <{10}^8$年。因此，来自正常星系的当前射电连续谱发射是近期恒星形成的无消光示踪器，不会被来自老年恒星的发射混淆。射电发射大致与恒星形成的位置一致，覆盖大多数螺旋星系的恒星盘。

巨星在尘埃分子云中通过引力塌缩形成。尘埃吸收它们大部分的可见光和紫外辐射，被加热到几十开尔文的温度，并在远红外（FIR）波长重新发射输入的能量 $\lambda \sim 100\mu$m。分子云在远红外波长下并不不透明，因此远红外亮度是当前恒星形成速率的良好定量指标。值得注意的是，普通星系的射电亮度与它们的远红外亮度高度相关。

图5.23:普通星系的远红外/射电（1.4 GHz）相关性 [24]。

这一著名的远红外/射电相关性（图 5.23）的物理起源尚不清楚，特别是在低频率下，大部分射电辐射是同步辐射。在远红外和自由-自由射电通量相关并不令人惊讶，因为两者大致上都与大质量年轻恒星的电离光度成比例。然而，在低频率 $\nu \ll 30$ GHz 下，自由-自由发射仅占总射电光度的一小部分。邻近的星暴星系 M82（图 2.24）的远红外/射电谱是典型的。

在 $\nu \approx 1$ GHz，大约 90% 的射电通量是由同步辐射产生的，但 FIR/射电光度比被限制在一个非常狭窄的范围内。如果一个星系的恒星形成率（SFR）在长于 $3\times {10}^7$ 年的时间尺度上相对恒定，那么年轻超新星遗迹（SNRs）的数量将与当前大质量恒星的数量成比例，因此目前宇宙射线电子的产生率可能与当前的恒星形成率成比例。然而，大多数来自普通星系的同步辐射并不来源于超新星遗迹本身，而是来自已扩散到星际介质（ISM）中的宇宙射线电子。每个电子辐射的功率与星际介质（ISM）中的磁能密度 $U_B=B^2/(8\pi )$ 成正比。普通星系中的等分场从非常低的数值到像我们这样的典型螺旋星系的 $B\sim 5\mu$G，在 M82 为 $B\sim 100\mu$G，在一个特别紧凑且明亮的星爆星系如 Arp 220 中可达 $B\sim 1000\mu$G。因此，每个宇宙射线电子辐射的功率在不同星系之间必须变化数个数量级，然而所有这些星系都遵循相同的 FIR/无线电相关关系。

量热计模型[112] 被设计用来解释 FIR/无线电比率如何可以独立于 $U_B$。每个电子发射的总无线电能量如果电子的寿命与 $U_B^{-1}$ 成正比，则可能独立于 $U_B$。因此，处于强磁场中的宇宙射线电子会在短时间内发射高功率，而处于弱磁场中的电子会以相对较长的时间发射较低功率。对于给定的宇宙射线电子产生率，平均同步辐射功率将独立于 $U_B$。量热计模型在解释远红外/射电相关性方面效果良好，只要电子能量中用于同步辐射的比例在所有正常星系中大致相同。然而，还存在许多其他能量损失途径。一种是通过宇宙微波背景、恒星光、远红外辐射等进行的反康普顿散射。另一种是从星系磁场中扩散——一些电子悄无声息地逃入星际空间。电子还可能通过与星际介质中的原子碰撞而损失能量。

银河系——银河系的碰撞可以在银河中心几百秒差距范围内触发强烈的星爆（星形成的阶段非常剧烈，以至于它们将在远短于${10}^{10}$年的时间尺度上耗尽可用的星际介质），并产生紧凑的中心源。在像Arp 220这样的紧凑星爆星系中，辐射能量密度可以达到$U_{rad}\sim {10}^{-6}erg{cm}^{-3}$，但Arp 220仍然遵循远红外/射电相关性。逆康普顿冷却不会严重耗尽发射同步辐射电子的事实，通过方程5.154对星际磁能量密度$U_B=B^2/(8\pi )\sim U_{rad}$设置了下限。在星系Arp 220中，这个限值是$B\sim 1000\mu G$ [29]。

尽管其理论基础不确定，FIR/射电相关性使得正常星系的射电连续谱发射成为一个非常有用的、可量化的、且无消光效应的指标，用于衡量大质量恒星的形成速率。某星系中质量为 $M>5M_{\odot }$ 的恒星形成速率（以每年太阳质量为单位测量）可以通过热（自由-自由）和非热（同步辐射）光谱光度按以下方程 [30] 估算：

$$\begin{array}{}\text{(5.184)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{L_T}{W{Hz}^{-1}}\right)\approx 5.5\times {10}^{20}{\left(\frac{\nu }{GHz}\right)}^{-0.1}\left[\frac{SFR(M>5M_{\odot })}{M_{\odot }{yr}^{-1}}\right],}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5.185)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{L_{NT}}{W{Hz}^{-1}}\right)\approx 5.3\times {10}^{21}{\left(\frac{\nu }{GHz}\right)}^{-0.8}\left[\frac{SFR(M>5M_{\odot })}{M_{\odot }{yr}^{-1}}\right].}}\end{array}$$

5.6.4 星际外射电源群体及宇宙学演化

对离散射电源的调查已经在天空的大面积区域以及从 38 MHz 到 857 GHz 的多种频率上进行。最广泛的天空调查是 NRAO VLA 天空调查 (NVSS) [28]，它覆盖了赤纬（天球上的纬度）$\delta =-{40}^{\circ }$ 以北的整个天空，并在 1.4 GHz 探测到近 $2\times {10}^6$ 个强于 $S\approx 2.3$ mJy 的源。覆盖更小区域的极高灵敏度天空调查已达到 $S\sim 5\mu$ Jy 的流量密度。通过盲测调查在天空代表性区域探测到的源为我们提供了射电源群体的无偏统计样本。

天空上离散源的分布极其各向同性，如图 5.24 所示。这种各向同性表明，在通量受限的样本中几乎所有的射电源都是银河系外的——银河系中心几乎不可见，仅在上面板的左侧作为弯曲的带出现。在光学或近红外波长选择的最亮的星系的类似图中，比射电图要更加聚集，因为星系在 $\sim 10$ Mpc 尺度上会聚类。造成这种差异的原因是，最强的银河系外射电源距离要比光学最亮的星系远得多。射电星系的聚集程度至少与光学星系一样，但射电星系之间的平均距离远大于 10 兆秒差距，因此它们的聚集只能通过敏感的统计检测来发现。实际上，天空中射电源的分布是如此均匀，以至于由于地球相对于由远处星系定义的参考系运动而产生的多普勒增益导致的源密度微小（$<1$%）的偶极各向异性已经被探测到。从这种各向异性推导出的地球速度，与从由热大爆炸产生的宇宙微波背景辐射中相应各向异性推导出的运动一致（[11]）。

图5.24:这两个等面积图显示了在北纬 $\delta =-{40}^{\circ }$ 以北的 82% 天空中，1.4 GHz 频率下强于 $S=100$ mJy 的离散源的天空分布（上图），以及在北纬 $\delta =+{75}^{\circ }$ 以北的 1.70% 天空中，1.4 GHz 频率下强于 $S=2.5$ mJy 的源的天空分布（下图）。

在一个通量受限的样本中，只有一小部分（$\sim 1$%）的射电源距离小于约100 Mpc。通过将这些射电源与亮星系匹配并确定它们的哈勃距离，我们可以确定附近射电源的空间密度与射电谱光度的关系；这被称为局域光度函数。局域光度函数可以进一步细分，通过分别指定由活动星系核（AGN）驱动的射电源和由含有Hii区、超新星遗迹（SNR）等的恒星形成星系驱动的射电源的空间密度（图 5.25）。

图5.25:正常恒星形成星系（实心符号）和AGN（空心符号）的1.4 GHz局域光度函数 [26]。

在给定的空间体积中，恒星形成星系中的射电源数量比包含活动星系核（AGN）的射电星系多一个数量级。然而，较稀有的AGN产生了所有最亮的射电源，因此它们占离散射电源产生的总射电辐射的一半以上。

如果我们假设在膨胀的宇宙中，射电源的共动空间密度与时间无关，我们可以使用局部光度函数来计算每单位天球立体角的射电源总数，作为流密度的函数。得到的源计数通常以微分形式列出：$n(S)dS$ 是流密度在 $S$ 与 $S+dS$ 之间的每立体角的源数量。在一个静态的欧几里得宇宙中，距离为 $r$ 的任何源的通量密度与 $r^{-2}$ 成正比，而球体所包围的体积与 $r^3$ 成正比，因此强于任意给定通量密度 $S$ 的源的积分数 $N(>S)$ 应该与 $S^{-3/2}$ 成正比，而每单位通量密度的微分数 $n(S)$ 应该是 $n(S)\propto S^{-5/2}$。在静态欧几里得宇宙中，将归一化的微分源计数 $n(S)\times S^{5/2}$ 绘制为 $S$ 的函数，应得到一条水平线。

在图 5.26 中显示了1.4 GHz 选取的源的实际分布。源计数与静态的欧几里得宇宙不一致，因此大多数射电源不可能是“局部”的星系际源。在具有恒定随同源密度的膨胀宇宙中，远距离源会因多普勒效应而变暗，并且归一化的源计数在低流量密度下应单调下降。但情况也不是这样；归一化计数在 $S\sim 500$ mJy 附近有一个明显的峰值。这个峰值表明射电源必须在宇宙学时间尺度上演化；也就是说，它们的随同空间密度随时间变化，并且在过去某个时间点曾经更高。射电源演化的发现被用作反对宇宙稳态模型的证据 [100]，这发生在宇宙微波背景辐射被发现并决定性地确认热大爆炸模型的多年之前。

已经构建了与局部光度函数、射电源计数以及与星系和类星体相关的射电源红移分布一致的详细模型，以测量演化的程度。结果实际上相当简单:宇宙学演化非常强，以至于在通量受限样本中大多数射电源的红移接近中值$⟨z⟩\sim 0.8$。对于射电天文学家来说，宇宙看起来像一个几乎空心的球壳，以地球为中心。这一观察结果并不与哥白尼原理相冲突，该原理指出地球在宇宙中心并不处于特殊位置；它仅要求宇宙随时间演化。今天看到的大多数射电源的距离为 5 到 $10\times {10}^9$ 光年，它们的主导地位反映了 5 到 10 亿年前更高的活动星系核（AGN）和恒星形成活动。对于位于薄壳内的源，通量密度与平均距离之间几乎没有相关性；相反，如图 5.26 中下部和上部横坐标的标注所示，通量密度与绝对光度的相关性更强。因此，射电星系和类星体中的射电亮 AGN（图 5.26 中的虚线曲线）占据了 1.4 GHz 频率下大于 $S\sim 0.1$ mJy 的大多数源，而数量众多但光度较低的恒星形成星系（图 5.26 中的点线曲线）则主导微微焦耳（microJy）射电源群体。

图5.26:1.4 GHz 欧几里得归一化光度函数 $\varphi$ 以及源计数 $S^{5/2}n(S)$ [27] 与所有银河系外射电源的强光度演化 ($\sim 10\times$) 相一致。虚线和点线分别表示活动星系核（AGN）和恒星形成星系对总源计数的贡献。