附录C 狭义相对论

C.1 相对性

相对性原理指出，物理定律在所有刚性惯性参考系中都是相同的，因此处在不同惯性参考系的观察者在经过适当的坐标变换后应能够比较测量结果。

图 C.1显示了惯性坐标系$S$和以沿其共有$x$轴的恒定速度$v$运动的“标记”系统$S^{\prime }$。平面$y=0$和$z=0$总是与平面$y^{\prime }=0$和$z^{\prime }=0$重合，并且两个参考系中的时钟通过在$x=x^{\prime }$时刻设置$t=t^{\prime }=0$而同步。

图C.1:“事件”是局限于单个时空点的可观测现象。它在“非原点”惯性静止系 $S$ 中的坐标是 $(x,y,z,t)$，在以恒定速度 $v$ 向右运动的“原点”系 $S^{\prime }$ 中的坐标是 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$。$x$ 轴和 $x^{\prime }$ 轴总是重合，并且在两个参考系中静止的相同钟表在 $t=t^{\prime }=0$ 的瞬间被同步为 $x=x^{\prime }$。

事件是局限于单个时空点的可观测现象，例如相机闪光灯的闪烁。$S$ 和 $S^{\prime }$ 中的事件坐标分别是 $(x,y,z,t)$ 和 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$。

根据“日常生活中的”伽利略相对性，$S$ 中的事件坐标与 $S^{\prime }$ 中的坐标通过伽利略变换相关。

$$x=x^{\prime }+v{t}^{\prime },$$$$y=y^{\prime },z=z^{\prime },t=t^{\prime },$$$$x^{\prime }=x-vt,$$

$$y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=t.$$

(C.1) (C.2)

然而，对缓慢移动物体的日常经验不能外推到接近真空光速的速度$c$。日常经验表明$t=t^{\prime }$在所有惯性参考系中都是如此，因此艾萨克·牛顿相信“绝对的、真实的和数学的时间，本身及其自身的性质，而不参考任何外部事物。”如果$t=t^{\prime }$和$x=x^{\prime }+v{t}^{\prime }$，平行速度只是相加。在$S^{\prime }$系统中静止的闪光发出$+x^{\prime }$方向的光子的速度，将被$S$参考系中的观察者看到为

$$c_x=\frac{dx}{dt}=\frac{d(x^{\prime }+v{t}^{\prime })}{d{t}^{\prime }}=\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}+v=c_x^{\prime }+v.$$

(C.3)

因此，伽利略相对性与观测结果和麦克斯韦方程都是不一致的，麦克斯韦方程能够正确预测真空中光速对所有惯性参考系中的所有观察者都是相同的（$c_x=c_x^{\prime }$），无论它们的相对速度如何 $v$。显然，时间不是绝对的，在 $S$ 和 $S^{\prime }$ 参考系中的相同钟表不会以相同的速率运转：$t\ne t^{\prime }$。

洛伦兹变换是唯一既符合相对性又符合某种尚未明确的不变速度存在的坐标变换 $c$（例如，真空光速，甚至 $\mathrm{\infty }$）。假设存在某种不变速度实际上比假设 $t=t^{\prime }$ 更弱，因为事实证明 $c=\mathrm{\infty }$ 将洛伦兹变换简化为伽利略变换。

洛伦兹变换可以通过两个额外的假设推导出来（参见 Rindler [91，第 39 页] 或 Rindler [92，第 12 页]）：

1. 空间是均匀的，并且

2. 空间是各向同性的。

这些假设表明，物理定律在坐标系平移和旋转下是不变的。

同质性意味着，从一个惯性参考系到另一个惯性参考系的任何变换必须是线性的；也就是说，$y^{\prime }=Ay+B$，其中 $A$ 和 $B$ 是常数。添加非线性项（例如 $y^{\prime }=Ay+B+C{y}^2$）会导致变换本身在坐标平移下发生变化，因此在均匀空间中 $C=0$。因为坐标系的选择使得 $y=0$ 当 $y^{\prime }=0$ 时成立，线性性还要求 $B=0$，从而留下 $y^{\prime }=Ay$，其中 $A$ 是一个尚未指定的比例因子。

各向同性意味着两个参考系中的观察者同意它们之间的相对速度$|v|$，因为180°${}^{\circ }$的坐标旋转会交换两个参考系的角色。如果空间是各向同性的，那么这种旋转不应产生影响，因此$y^{\prime }=Ay$意味着$y=A^{\prime }{y}^{\prime }$，并且只有$A=A^{\prime }=\pm 1$与各向同性一致。负解$A=-1$可以被排除，因为即使$v=0$，它也意味着$y=-y^{\prime }$。这些论点也可以应用于$z$和$z^{\prime }$，因此$y$和$z$坐标的洛伦兹变换为

$$y=y^{\prime },z=z^{\prime },$$

(C.4)

这与伽利略变换（式 C.1）一致。

对于$x$坐标，线性要求为

$$x={\gamma }^{\prime }(x^{\prime }+v{t}^{\prime }),x^{\prime }=\gamma (x-vt),$$

(C.5)

其中 ${\gamma }^{\prime }$ 和 $\gamma$ 仍是未指定的常数比例因子。在伽利略相对论中，$\gamma ={\gamma }^{\prime }=1$。

调用各向同性并反转 $S$ 和 $S^{\prime }$ 的方向得到

$$x={\gamma }^{\prime }(x^{\prime }-v{t}^{\prime }),x^{\prime }=\gamma (x+vt)$$

(C.6)

并且交换两个参考系的角色得到

$$x=\gamma (x^{\prime }-v{t}^{\prime }),x^{\prime }={\gamma }^{\prime }(x+vt)\text{.}$$

(C.7)

式 C.6 和 C.7 共同暗示 $\gamma ={\gamma }^{\prime }$；也就是说，$S$ 和 $S^{\prime }$ 中的观察者对与它们相对速度 $v$ 相关的坐标比例因子 $\gamma$ 的值达成一致。

我们现在利用假设，即存在某个速度 $c$，在所有惯性系中都是相同的。麦克斯韦方程组和实验都表明 $c$ 是真空中的光速，但对于这个论证，不变速度可以是任意速度，甚至是 $c=\mathrm{\infty }$，在这种情况下，洛伦兹变换与伽利略变换恰好相同。然后 $x=ct$ 意味着 $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$，且式 C.5 意味着

$$ct=\gamma t^{\prime }(c+v),c{t}^{\prime }=\gamma t(c-v).$$

(C.8)

这两个方程的乘积

$$c^{2}t{t}^{\prime }={\gamma }^{2}t{t}^{\prime }(c+v)(c-v)$$

(C.9)

可以用来求解洛伦兹因子：

$$\boxed{{\displaystyle \gamma ={(1-\frac{v^2}{c^2})}^{-1/2}={(1-{\beta }^2)}^{-1/2},}}$$

(C.10)

其中无量纲速度 $\beta$ 定义为

$$\boxed{{\displaystyle \beta \equiv \frac{v}{c}.}}$$

(C.11)

同样，式 C.10 的负解可以被拒绝，因为它不符合物理。注意 $\gamma \ge 1$ 对所有可能的 $\beta \le 1$ 都成立。$x$ 坐标的洛伦兹变换变为

$$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),x^{\prime }=\gamma (x-vt).$$

(C.12)

从这对方程中消去 $x$ 或 $x^{\prime }$ 得到洛伦兹时间变换

$$t=\gamma (t^{\prime }+\beta x^{\prime }/c),t^{\prime }=\gamma (t-\beta x/c).$$

(C.13)

总之，狭义相对论的洛伦兹坐标变换为

$$\boxed{{\displaystyle x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),y=y^{\prime },z=z^{\prime },t=\gamma (t^{\prime }+\beta x^{\prime }/c),}}$$

(C.14)

$$\boxed{{\displaystyle x^{\prime }=\gamma (x-vt),y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=\gamma (t-\beta x/c).}}$$

(C.15)

请注意，在极限$\beta \to 0$（$v\ll c$）下，洛伦兹变换会简化为伽利略变换（方程C.1），这是必须的，以与涉及小速度的“日常”观测相一致。方程C.14和C.15也显示，对于任意有限的$v$，在极限$c\to \mathrm{\infty }$下，洛伦兹变换会简化为伽利略变换，因此假设存在某个不变速度并不具有限制性。

如果$(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }z,\mathrm{\Delta }t)$和$(\mathrm{\Delta }{x}^{\prime },\mathrm{\Delta }{y}^{\prime },\mathrm{\Delta }{z}^{\prime },\mathrm{\Delta }{t}^{\prime })$是两个事件之间的坐标差值，则微分洛伦兹变换为

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\gamma (\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }+v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }),\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }{y}^{\prime },\mathrm{\Delta }z=\mathrm{\Delta }{z}^{\prime },\mathrm{\Delta }t=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\beta \mathrm{\Delta }{x}^{\prime }/c),}}$$

(C.16)

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }x-v\mathrm{\Delta }t),\mathrm{\Delta }{y}^{\prime }=\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }{z}^{\prime }=\mathrm{\Delta }z,\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }t-\beta \mathrm{\Delta }x/c).}}$$

(C.17)

由于洛伦兹变换是线性的，$\mathrm{\Delta }$ 的差异可以是有限的。这使得微分洛伦兹变换易于应用于物理问题，例如测定尺子的长度。

C.2 时间膨胀与长度收缩

相对论性的时间膨胀现象源于微分时间变换 $\mathrm{\Delta }t=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\beta \mathrm{\Delta }{x}^{\prime }/c)$。如果在原点参照系下静止的时钟连续的指针跳动（因此 $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=0$）的时间间隔为 $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=1$，那么在未标记参照系下的时间间隔将为 $\mathrm{\Delta }t=\gamma \ge 1$。同样，当在原点参照系中观察时，静止于未标记参照系的时钟也会以相同的因子 $\gamma$ 显得走得较慢。

相对论的长度收缩也可以由式 C.16 推导出来。假设在原始坐标系（$\mathrm{\Delta }t=0$）中同时发出两次光闪的尺子，其在变换后的坐标系（$\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=1$）的单位长度的两端。变换后坐标系中两次光闪之间的时间 $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ 可以由 $\mathrm{\Delta }t=0=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }/c^2)$ 计算得出为 $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=-v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }/c^2$。在原始坐标系中，尺子的长度是两次光闪之间的距离。其长度缩短的因子为

$$\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}=\frac{\gamma (\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }+v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime })}{\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}=\gamma (1-{\beta }^2)=1/\gamma .$$

(C.18)

在原始坐标系中静止的尺子，当在变换后的坐标系中观察时，也会按因子 $1/\gamma$ 变短。

C.3 速度叠加公式

相对论速度不能线性相加。设粒子的速度在原始坐标系中为 $\overrightarrow{u}=(u_x,u_y,u_z)$，在变换后的坐标系中为 $\overrightarrow{u^{\prime }}=(u_x^{\prime },u_y^{\prime },u_z^{\prime })$:

$$u_x\equiv \frac{dx}{dt}=\frac{dx}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}.$$

(C.19)

微分洛伦兹变换 $dx=\gamma (d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime })$ 和 $dt=\gamma (d{t}^{\prime }+\beta d{x}^{\prime }/c)$ 得到

$$\frac{dx}{d{t}^{\prime }}$$$$=\gamma \left(\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}+v\right)=\gamma (u_x^{\prime }+v),$$$$\frac{dt}{d{t}^{\prime }}$$$$=\gamma \left(1+\frac{\beta }{c}\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}\right)=\gamma \left(1+\frac{v{u}_x^{\prime }}{c^2}\right),$$

(C.20) (C.21)

因此

$$\boxed{{\displaystyle u_x=\frac{u_x^{\prime }+v}{(1+v{u}_x^{\prime }/c^2)}}}$$

(C.22)

并且，通过对称性，

$$\boxed{{\displaystyle u_x^{\prime }=\frac{u_x-v}{(1-v{u}_x/c^2)}.}}$$

(C.23)

对于与 $v$ 垂直的速度分量，

$$u_y\equiv \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\frac{d{y}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt},$$

(C.24)

因此

$$\boxed{{\displaystyle u_y=\frac{u_y^{\prime }}{\gamma (1+v{u}_x^{\prime }/c^2)}and{u}_z=\frac{u_z^{\prime }}{\gamma (1+v{u}_x^{\prime }/c^2)},}}$$

(C.25)

同样，

$$\boxed{{\displaystyle u_y^{\prime }=\frac{u_y}{\gamma (1-v{u}_x/c^2)}and{u}_z^{\prime }=\frac{u_z}{\gamma (1-v{u}_x/c^2)}.}}$$

(C.26)

C.4 质量、能量与功率

一个运动物体的相对论质量$m$与其静质量$m_0$的比值可以通过Rindler [91]的一个思想实验得出。想象两个完全相同的电子，一个在未变帧中静止，另一个在以速度$v$运动的变帧中静止。让其中一个电子沿$y$轴稍微偏离另一个电子。在电子彼此经过的瞬间，它们的库仑排斥将使它们沿$\pm y$方向加速。因为$dy=d{y}^{\prime }$，两电子必须经历相同的$y$位移，但时间膨胀会使运动电子完成这一位移所需的时间延长$\gamma$倍。调用动量守恒，两位观察者得出结论：在运动帧中静止的电子的质量大$\gamma$倍：

$$m=\gamma m_0.$$

(C.27)

同样，它的总能量

$$E=m{c}^2=\gamma m_0{c}^2$$

(C.28)

已被乘以 $\gamma$。对质能转换应用链式求导法则，

$$P\equiv \frac{dE}{dt}=\frac{dE}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\frac{dE}{d{E}^{\prime }}\frac{d{E}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\gamma P^{\prime }{\gamma }^{-1}=P^{\prime }$$

(C.29)

表明功率是相对论不变量。