第4章 自由——自由辐射

4.1 热发射与非热发射

拉莫公式（式 2.143）

$$\begin{array}{}\text{(4.1)}& P=\frac{2q^2{\dot{v}}^2}{3c^3}\end{array}$$

指出，通过加速（或减速；因此德语名称bremsstrahlung意为“轫致辐射”）电荷 $q$ 可以产生功率为 $P$ 的电磁辐射。自由电荷粒子可以通过静电或磁力加速，而与之相比，重力加速度可以忽略不计。本章讨论静电轫致辐射，其磁性对应物magnetobremsstrahlung或“磁轫致辐射”（例如，同步辐射）将在第 5 章 讲解。

热辐射是由发射粒子处于局部热力学平衡（LTE）（见第 2.2.2 节）的源产生的；否则产生的是非热辐射。大多数天文静电轫致辐射的源是热的，因为辐射电子具有 LTE 粒子的麦克斯韦速度分布（见附录 B.8）。大多数天文磁轫致辐射的相对论电子具有幂律能量分布，因此不处于 LTE，因此同步辐射源通常被称为非热源。然而，静电和磁性轫致辐射并不分别等同于热辐射和非热辐射。例如，具有相对论性麦克斯韦能量分布的电子处于局部热平衡（LTE）状态，可以发射热同步辐射。还要记住，如果源的不透明度很小且发射系数依赖于频率，热源并不具有黑体谱。

4.2 Hii 区

静电力比引力强得多，以至于星际气体中的自由电荷会迅速重新排列，使电离云中自由电子的负电荷在大于德拜长度的所有尺度上中和离子的正电荷 ${\lambda }_D\le 1m$（式 4.46）。当一个电子（电荷 $-e\approx -4.8\times {10}^{-10}$ 静库仑）经过一个离子（电荷 $+Ze$，对于一个失去 $Z$ 个电子的原子），库仑力（式 2.134）会产生大小为

$$\begin{array}{}\text{(4.2)}& |\dot{v}|=\frac{F}{m_e}=\frac{Z{e}^2}{m_e{r}^2},\end{array}$$

其中 $m_e\approx 9.1\times {10}^{-28}$ g 是电子质量，$r$ 是电子与离子之间的距离。产生的辐射称为自由-自由辐射，因为电子在相互作用前后都是自由的；它不会被离子捕获。如果电离的星际云密度足够大，电子和离子相互作用的频率足够高，它们会迅速达到某一共同温度的局部热平衡（LTE），因此自由-自由辐射通常是热辐射。

星际气体主要是氢和氦，以及少量的较重元素，如碳、氮、氧、氖、硅和铁。天文学家将所有这些较重元素称为金属，意思是容易形成正离子的元素，尽管大多数元素在通常的意义上并非金属，即在室温下为固态、可延展、可拉伸且能导电。大部分星际氢以中性原子的形式存在（在天文学术语中称为Hi）或双原子分子的形式存在（H${}_2$），但也有一些是电离的。单电离氢原子H${}^{+}$在天文学中称为Hii，双电离氧O${}^{++}$称为Oiii，三电离碳C${}^{+++}$称为Civ，等等。

1939年，天文学家本特·斯特罗姆格伦（Bengt Strömgren）意识到星际介质可以分为不同的区域，其中氢要么（1）主要以原子或分子形式存在，几乎所有氢原子都处于基态电子状态，或者（2）几乎完全电离。此外，分隔这些Hi区和Hii区的边界非常薄。有时，围绕恒星的Hii区被称为斯特罗姆格伦球（Strömgren spheres）（见图 4.1），以纪念他早期的理论模型。这一图景的微观物理基础是什么？

图4.1:一个由氢电离形成的斯特罗姆格伦球（Hii），其具有斯特罗姆格伦半径$R_S$，外围是一层部分电离的氢（Hi + Hii），再外面是中性氢（Hi）。

处于基态的氢原子，其电子轨道围绕核质子是最小且最紧密结合的，这符合电子波函数的稳定性。（参见第7.2.1 节和图 7.1，以回顾氢原子的玻尔模型。）允许的电子能级由其主量子数$n=1,2,3,\dots ,$表示，其中$n=1$对应于基态。尽管量子力学禁止基态电子按照经典的拉莫公式辐射，但它允许从更高能级 $n=2,3,\dots ;$ 进行辐射衰变，而拉莫方程相当准确地预测了氢原子激发态的辐射寿命。电子在 $n$ 能级的轨道半径 $a_n$ 为 $a_n=n^2{a}_0$，其中 $a_0\approx 5.29\times {10}^{-9}$ 厘米被称为玻尔半径。应用拉莫方程表明，辐射寿命 $\tau$ 与 $a_n^3$ 成正比，因此也与 $n^6$ 成正比。因此，从 $n=1$ 基态辐射得到的（错误的）经典结果 $\tau \approx 5.5\times {10}^{-11}$ 秒可以通过比例缩放来估计激发态的辐射寿命。例如，$n=2$ 态的近似辐射寿命为 $\tau \approx 2^6\cdot 5.5\times {10}^{-11}s\approx 3\times {10}^{-9}$ 秒，与精确的量子力学结果 $\tau \approx 2\times {10}^{-9}$ 秒相当一致。激发态的氢原子通过发射辐射非常迅速地自发衰变到基态，因此，在任何时刻，几乎所有的中性原子都处于基态。

基态的氢原子可以被能量为 $E\ge 13.6$ 电子伏 (1 电子伏 = $\approx 1.60\times {10}^{-12}$ 尔格) 的光子电离。这样高能量的光子的频率高于里德伯频率$R_{\mathrm{\infty }}c=E/h\approx 3.29\times {10}^{15}Hz$ (式 7.11)，波长短于 $\lambda =912$ Å $=912\times {10}^{-10}$ 米，即远紫外 (UV) 波长。这些莱曼连续光子在温度高于 $T\sim 3\times {10}^4$ K 的恒星黑体辐射的维恩尾部产生大量。一个具有光谱亮度 $L_{\nu }$ 的恒星产生能够电离基态氢原子的光子的速率为 $Q_H$

$$\begin{array}{}\text{(4.3)}& Q_H={\int }_{R_{\mathrm{\infty }}c}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{L_{\nu }}{h\nu }\right)d\nu .\end{array}$$

如果一颗恒星每秒发射 $Q_H$ 个 Lyman 连续谱光子，它将在恒星周围的某个体积 $V$ 内使数密度为 $n_H$ 的氢原子发生光电离。混入氢中的氦通常可以忽略，因为它的电离势非常高，$E\approx 24.5$ 电子伏特，只有极高温的恒星才能电离显著数量的氦。

中性氢原子对能量略高于 13.6 eV 光子的吸收截面足够大，$\sigma \approx {10}^{-17}{cm}^2$，以至于每个电离光子在从电离的斯特罗姆格伦球进入周围 HI 区域后不久就被吸收并产生一个新的离子。环绕斯特罗姆格伦球的部分电离壳层的厚度 $\mathrm{\Delta }{R}_S$（图 4.1）是

$$\begin{array}{}\text{(4.4)}& \mathrm{\Delta }{R}_S\approx {(n_H\sigma )}^{-1}.\end{array}$$

例如，如果中性氢密度是 $n_H={10}^{3}atoms{cm}^{-3}$，那么

$$\begin{array}{}\text{(4.5)}& \mathrm{\Delta }{R}_S\approx {({10}^3{cm}^{-3}\times {10}^{-17}{cm}^2)}^{-1}\approx {10}^{14}cm\ll 1pc.\end{array}$$

光每小时传播 $\approx {10}^{14}$ 厘米，因此在这样的 Hi 云中，一个电离光子通常只能生存大约一小时，然后被吸收。

一旦从 Hi 电离成自由质子（H${}^{+}$ 离子）和电子，Hii 区对电离光子的光学厚度会大大降低。因此，在均匀密度的 Hi 云中开启的新电离恒星将完全电离一个球体，其 Strömgren 半径（图 4.1）随时间增长，直到电离和复合达到平衡。这有时被称为电离界限的 Hii 区。如果周围的 Hi 云足够小，恒星能够完全电离它，则该 Hii 区被称为物质界限或密度界限。

在 Hii 区域内，电子和质子偶尔会发生碰撞并以体积复合率${\dot{n}}_H$ 重新结合，其可以写成

$$\begin{array}{}\text{(4.6)}& {\dot{n}}_H\approx {\alpha }_H{n}_e{n}_p,\end{array}$$

其中 ${\dot{n}}_H$ 是单位时间单位体积内的复合次数（例如，${cm}^{-3}{s}^{-1}$），

$$\begin{array}{}\text{(4.7)}& {\alpha }_H\approx 3\times {10}^{-13}{cm}^3{s}^{-1}\end{array}$$

是氢的复合系数，并且单位体积内的碰撞率与电子密度和质子密度的乘积 $n_e{n}_p$ 成正比。例如，如果 $n_e=n_p={10}^3{cm}^{-3}$，

$$\begin{array}{}\text{(4.8)}& {\dot{n}}_H\approx 3\times {10}^{-13}{cm}^3{s}^{-1}\times {10}^3{cm}^{-3}\times {10}^3{cm}^{-3}\approx 3\times {10}^{-7}{cm}^{-3}{s}^{-1}.\end{array}$$

这个例子显示了复合时间

$$\begin{array}{}\text{(4.9)}& \tau \equiv \frac{n_e}{{\dot{n}}_H}\approx 3.3\times {10}^{9}s\approx {10}^{2}yr\end{array}$$

通常比电离恒星的$>{10}^6$年寿命要短得多。（一个有用的关系是1年$\approx {10}^{7.5}$秒。）电离界限的HII区的体积$V$会增长，直到斯特罗姆格伦球中的总电离率和复合率相等。在平衡状态下，

$$\begin{array}{}\text{(4.10)}& Q_H={\dot{n}}_{H}V={\alpha }_H{n}_e{n}_p\frac{4}{3}\pi R_S^3\end{array}$$

得出斯特罗姆格伦半径

$$\begin{array}{}\text{(4.11)}& R_S\approx {\left(\frac{3Q_H}{4\pi {\alpha }_H{n}_e^2}\right)}^{1/3}.\end{array}$$

例如，一颗O5星（非常热且光度极高）每秒发射$Q_H\approx 6\times {10}^{49}$个电离光子。如果$n_e\approx {10}^3{cm}^{-3}$，

$$R_S\approx {\left[\frac{3\cdot 6\times {10}^{49}{s}^{-1}}{4\pi \cdot 3\times {10}^{-13}{cm}^3{s}^{-1}{({10}^3{cm}^{-3})}^2}\right]}^{1/3}\approx 3.6\times {10}^{18}cm\approx 1.2pc.$$

这个例子说明了$R_S\gg \mathrm{\Delta }{R}_S$；也就是说，完全电离的斯特罗姆格伦球的半径远大于其部分电离外壳的厚度。

在我们的银河系中，有两类不同的恒星产生了大部分HII区：

1. 质量最大的 ($M\ge 15M_{\odot }$) 寿命短的 (寿命 $\le {10}^7$ 年) 主序星足够大 ($R\sim 10R_{\odot }$) 且足够热 ($T\ge 3\times {10}^4$ K)，因而是非常明亮的电离紫外光源。这些恒星是最近由含有中性气体和尘埃颗粒的星际云的引力塌缩和碎片化形成的。

2. 年老的低质量 ($1<M/M_{\odot }<8$) 恒星，其主序星寿命少于我们银河系的年龄 ($\approx {10}^{10}$ 年)，最终会成为红巨星，最后形成白矮星。年轻的白矮星体积小 ($R\sim {10}^{-2}{R}_{\odot }$)，但足够热以电离在红巨星阶段被抛射出的恒星包层物质，这些电离区被称为行星状星云，因为许多在早期使用小望远镜的天文学家看来像行星。

大多数电离恒星大约是黑体发射体，它们来自高频维恩尾部的电离光子，其能量仅比将氢原子从基态电离所需的最低 13.6 eV 略高。电离过程中动量守恒确保了几乎所有超过 13.6 eV 的光子能量都转化为逸出电子的动能。这些高温光电子之间，以及电子与离子之间的碰撞，会使电离气体热化，并逐渐将其带入局部热力学平衡（LTE）。因此，热化的电子具有麦克斯韦能量分布。最终，这种加热被辐射冷却所平衡。电子与“金属”离子的碰撞可以激发低能（几电子伏特）的能态，这些能态通过禁阻跃迁缓慢衰减，并发射可见光子，这些光子可能会逃离星云。可见冷却线的例子包括Oiii的绿色谱线，波长为$\lambda =4959$ Å和$5007$ Å，这些谱线最早在星云中被发现，并被称为星云素谱线，因为这些禁阻谱线在实验室中尚未观测到，人们曾认为它们来自仅存在于星云中的新元素（就像太阳光谱中的氦谱线曾被认为来自太阳中发现的新元素一样）。巴尔默氢重组线H$\alpha$，波长为$\lambda =6563$ Å，以及H$\beta$，波长为$\lambda =4861$ Å，也为Hii区的特征颜色做出贡献。

Hii 区的加热与冷却之间的热平衡通常在接近 $T\approx {10}^4$ K [77] 的温度下达到，这远高于中性星际气体的初始温度 $T<100$ K。加热后的气体膨胀，逆转任何向电离恒星的内落，并向周围的冷气体发送冲击波，从而既抑制又刺激该区域随后的恒星产生。典型的 Hii 区大小为 $\sim 1$ pc，电子数密度为 $\sim {10}^3{cm}^{-3}$，质量可达 ${10}^4{M}_{\odot }$。

来自HII区的自由-自由射电辐射是电子温度、电子密度和电离体积的追踪指标。它限制了电离光子的产生速率$Q_H$，并且结合对初始质量函数（IMF）（新生恒星的质量分布）的假设，可以估算HII区的总恒星形成速率。无线电数据对可靠的恒星形成定量估算非常重要，因为它们不受星际尘埃的消光影响。

超紧凑（UC）Hii 区[23] 是由 O 型星和 B 型星电离的小型（直径 $2R_S\le 0.03pc$）但密集（$n_e>{10}^4{cm}^{-3}$）的 Hii 区，这些恒星仍然年轻，以至于仍被其形成的尘埃分子云光学遮蔽。尘埃使它们成为强远红外源，而自由—自由射电发射能够穿透尘埃，因此可以在射电波段对其进行成像和研究。UC Hii 区是研究大质量恒星形成和早期演化及其与环境相互作用的重要追踪器。在更大尺度上，星系外超致密（UD）Hii 区[59] 由年轻的超巨星团（SSC）电离，这些星团密集且质量大，可能是长寿球状星团的前身，并且光度如此之高，以至于可能扰动矮星系的星际介质（ISM）。

行星状星云是围绕低质量 ($1<M_{\odot }<8$) 恒星的高温白矮星核心（最高可达 $T\sim {10}^5$ K）的 HII 区，这些恒星已通过恒星风抛射其外层包层。白矮星体积较小，大约与地球相当，因此它们的亮度远低于高质量 O 型星，而电离星云的质量仅为 $0.1<M/M_{\odot }<1$。尽管如此，行星状星云仍然是低质量恒星生命晚期阶段相当明亮的指标。它们有可能作为银河系低质量恒星形成历史的记录。然而，行星状星云的光学选取会受到尘埃消光的影响。远红外和射电选取可能避免这一限制。行星状星云并不是特别明亮的射电源，但它们是银河系中数量最多的紧凑型射电连续源。

4.3 Hii 区的自由--自由射电辐射

来自电离氢的热轫致辐射通常被称为自由--自由辐射，因为它是由自由电子与离子散射而产生的，而电子在散射过程中不会被捕获——电子在相互作用前是自由的，相互作用后仍然是自由的。来自天体物理 Hii 区的自由--自由射电辐射的基本特性是什么？尽管在第 4.2 节中引入了各种简化，这个问题仍然无法在没有若干额外近似的情况下解决。需要一定的天体物理“直觉”来区分重要效应与可忽略效应。例如，电子在与离子相互作用时损失的能量远小于其初始能量。可以忽略电子-电子碰撞和离子的辐射。通过对积分范围施加物理限制，可以避免对撞击参数进行形式上发散的积分，并且仍能得到相当准确（但不是精确）的结果。大多数天体物理条件与个人经验相去甚远（${10}^4$ K有多热？一秒差距和一棵树的高度相比有多大？$M_{\odot }\approx 2\times {10}^{33}$ g与一个人的质量相比是多少？），因此天体物理直觉依赖于熟悉相关参数的数值，这样就可以快速判断什么是重要的，什么可以忽略。正如赖纳斯·鲍林所说：“获取好主意的方法是产生大量想法，然后淘汰掉坏的想法。” 以下对HⅡ区的自由-自由辐射分析说明了解决“复杂”天体物理问题所使用的方法和技术。有关类似但替代的分析，请参阅Rybicki和Lightman [98]以及Wilson等人[116]中关于轫致辐射的章节。

为什么H II区会发射射电辐射呢？答案是，因为带电粒子在静电作用下被加速，而非相对论的自由加速电荷会根据拉莫尔公式（方程式 2.143）辐射能量。在H II区中，各种带电粒子之间会发生静电相互作用，但大多数不会发射显著的辐射。加速度的大小$\dot{v}$与粒子质量$m$成反比。最轻的离子是氢离子，其质量为质子质量$m_p\approx 1.66\times {10}^{-24}$ g，大约是$2\times {10}^3$倍的电子质量$m_e\approx 9.11\times {10}^{-28}$ g。在任何电子——离子碰撞中，电子因此至少会辐射出与离子相当的 ${(m_p/m_e)}^2\approx 4\times {10}^6$ 功率，因此可以忽略所有离子辐射。相同粒子之间的相互作用也不会显著辐射，因为两个粒子的加速度大小相等但方向相反：$\dot{v_1}=-\dot{v_2}$。它们辐射的电场大小相等但符号相反，因此在远大于碰撞冲击参数的距离上净辐射电场趋近于零（图 4.2），电子——电子碰撞的辐射可以忽略不计。关键结论是，只有电子——离子碰撞是重要的，并且只有电子显著辐射。

4.3.1 单个电子——离子相互作用的射电辐射

图 4.2显示了一颗电子经过一个质量远大于它的离子，其电荷为$Ze$，对于像氢这样的单离子化原子，$Z=1$。每一次电子--离子相互作用都会产生一个单一的辐射脉冲。本节将推导脉冲发射的总能量以及大致的频谱。单个脉冲的精确谱不需要，因为电子能量和冲击参数的广泛分布会在H II区的总谱中抹去谱细节。

图4.2:一颗轻、快速的电子经过一颗缓慢、重的离子旁边。低能无线电光子由电子在速度矢量 $\overrightarrow{v}$ 变化不大的弱散射中产生。最近距离 $b$ 称为冲击参数，时间间隔 $\tau =b/v$ 称为碰撞时间。

无线电光子由弱相互作用产生，因为无线电光子的能量 $E=h\nu$ 远小于 Hii 区电子的平均动能 $⟨E_e⟩$。下面的数值比较是一个例子，展示了天体物理“直觉”如何简化电子-离子散射问题。

温度为 $T$ 的等离子体中电子的平均能量为

$$\begin{array}{}\text{(4.12)}& ⟨E_e⟩=\frac{3kT}{2}.\end{array}$$

对于温度为 $T\sim {10}^4$ K 的 Hii 区，

$$\begin{array}{}\text{(4.13)}& ⟨E_e⟩\approx \frac{3\cdot 1.38\times {10}^{-16}erg{K}^{-1}\cdot {10}^{4}K}{2}\approx 2\times {10}^{-12}erg\approx 1eV.\end{array}$$

（这是另一个值得记住的有用换算因子：1 电子伏特是与温度 $T\approx {10}^4$ K 相关的典型粒子动能。）相比之下，频率为 $\nu =10$ GHz 的无线电光子的能量仅为

$$\begin{array}{}\text{(4.14)}& E=h\nu \approx 6.63\times {10}^{-27}ergs\cdot {10}^{10}Hz\approx 6.63\times {10}^{-17}erg\approx 4\times {10}^{-5}eV.\end{array}$$

产生无线电光子的弱相互作用仅使电子的轨迹偏转很小的角度（$\ll 1$ 弧度）。如图 4.2 所示，电子的路径可以近似为直线。

在相互作用过程中，电子将沿其几乎直线的路径方向及垂直方向受到静电加速：

$$F_{\parallel }$$$$=m_e{\dot{v}}_{\parallel }=\frac{-Z{e}^2}{r^2}\sin \psi =\frac{-Z{e}^2\sin \psi {\cos }^2\psi }{b^2},$$

$$\begin{array}{}\text{(4.15)}& F_{\mathrm{\perp }}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4.16)}& =m_e{\dot{v}}_{\perp }=\frac{Z{e}^2}{r^2}\cos \psi =\frac{Z{e}^2{\cos }^3\psi }{b^2},\end{array}$$

其中 $\cos \psi =b/r$ 和 $b$ 是相互作用的冲击参数，即电子与离子之间距离 $r$ 的最小值。

对于任何冲击参数$b$，这两个方程可以被求解，显示${\dot{v}}_{\parallel }$的最大值相当于${\dot{v}}_{\perp }$最大值的38%，不可忽略。即便如此，由${\dot{v}}_{\parallel }$产生的无线电辐射完全可以忽略。在相互作用过程中绘制${\dot{v}}_{\parallel }$和${\dot{v}}_{\perp }$随时间的变化显示出形状明显不同的脉冲（图 4.3）。

图4.3:电子被离子加速可以分解为垂直 ($\perp$) 于电子速度和平行 ($\parallel$) 于电子速度的分量。垂直加速度 (式 4.16) 产生一个大致的高斯脉冲，其功率谱延伸到低（无线电）频率。平行加速度 (式 4.15) 产生一个大致的正弦脉冲，没有“直流”分量，因此由此产生的辐射在高（红外）频率下最强，而在射电频率下非常弱。

脉冲持续时间与碰撞时间 $\tau \approx b/v$ 相当。${\dot{v}}_{\parallel }$ 脉冲大致是角频率为 $\omega \sim {\tau }^{-1}=v/b$ 的正弦波，其频率远高于所有相关冲击参数 $b$ 的射电频率（式 4.43）。平行加速会产生一些红外辐射，但射电辐射非常少。${\dot{v}}_{\perp }$ 脉冲是单峰，其频谱从零延伸到 $\sim v/b$，因为高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数（附录 B.4），因此它在射电频率下更强。

将式 4.16 中的 ${\dot{v}}_{\perp }$ 代入 Larmor 公式（式 2.143）可得电子速度垂直方向加速发射的瞬时功率：

$$\begin{array}{}\text{(4.17)}& P=\frac{2}{3}\frac{e^2{\dot{v}}_{\perp }^2}{c^3}=\frac{2e^2}{3c^3}\frac{Z^2{e}^4}{m_e^2}{\left(\frac{{\cos }^3\psi }{b^2}\right)}^2.\end{array}$$

由脉冲发出的总能量 $W$ 为

$$\begin{array}{}\text{(4.18)}& W={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Pdt.\end{array}$$

由于 $(\mathrm{\Delta }{E}_e)/E_e=E_{\gamma }/E_e\ll 1$ 对于无线电光子，电子速度几乎保持不变。图 4.2 中的相互作用示意图显示

$$\begin{array}{}\text{(4.19)}& v=\frac{dx}{dt}and\tan \psi =\frac{x}{b},\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(4.20)}& v=\frac{bd\tan \psi }{dt}=\frac{b{\sec }^2\psi d\psi }{dt}=\frac{bd\psi }{{\cos }^2\psi dt},\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(4.21)}& dt=\frac{b}{v}\frac{d\psi }{{\cos }^2\psi }.\end{array}$$

将式 4.17 和 4.21 代入 4.18 得到

$$\begin{array}{}\text{(4.22)}& W=\frac{2}{3}\frac{Z^2{e}^6}{c^3{m}_e^2{b}^4}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{b}{v}\frac{{\cos }^6\psi }{{\cos }^2\psi }d\psi =\frac{4}{3}\frac{Z^2{e}^6}{c^3{m}_e^2{b}^{3}v}{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^4\psi d\psi .\end{array}$$

式 4.22 中的积分在附录 B.7 中进行评估；其结果为

$$\begin{array}{}\text{(4.23)}& {\int }_0^{\pi /2}{\cos }^4\psi d\psi =\frac{3\pi }{16}.\end{array}$$

因此，由单个电子-离子相互作用发射的脉冲能量$W$，其特征由碰撞参数 $b$ 和速度 $v$ 描述

$$\begin{array}{}\text{(4.24)}& W=\frac{\pi Z^2{e}^6}{4c^3{m}_e^2}\left(\frac{1}{b^{3}v}\right).\end{array}$$

这种能量以持续时间为 $\tau \approx b/v$ 的单个脉冲形式发射，因此脉冲功率谱（附录 A.4）在所有频率 $\nu <{\nu }_{max}\approx {(2\pi \tau )}^{-1}\approx v/(2\pi b)$ 上几乎是平的，并且在较高频率下迅速下降。可以计算脉冲形状的实际傅里叶变换（图 4.4 中的实线曲线），但这样做只会给已经复杂的计算增加不必要的复杂性。描述 Hii 区中电子-离子相互作用的速度范围 $v$ 和碰撞参数 $b$ 很广，因此对所有碰撞参数求平均将会消除与任何特定 $v$ 和 $b$ 相关的光谱中的细节。

图4.4:由一次电子-离子相互作用产生的电磁脉冲的实际功率谱在频率 $\nu \approx v/(2\pi b)$ 之前几乎是平的，其中 $v$ 是电子速度，$b$ 是撞击参数，而在更高频率下则下降。对于所有 $\nu <v/(2\pi b)$ 和 $P_{\nu }=0$，在更高频率下的近似 $P_{\nu }=1$（虚线）在射电频率 $\nu \ll v/(2\pi b)$ 下相当准确。

在 $T\sim {10}^4$ K Hii 区的典型电子速度为 $v\approx 7\times {10}^{7}cm{s}^{-1}$，最小撞击参数为 $b_{min}\sim {10}^{-7}$ 厘米，因此 ${\nu }_{max}\approx {10}^{14}$ 赫兹，远高于射电频率。在将功率谱近似为在 $\nu ={\nu }_{max}$ 之前平坦，而在更高频率为零（图 4.4 的虚线）的假设下，单次相互作用中发射的平均每单位频率能量约为

$$\begin{array}{}\text{(4.25)}& W_{\nu }\approx \frac{W}{{\nu }_{max}}=\left(\frac{\pi Z^2{e}^6}{4c^3{m}_e^2{b}^{3}v}\right)\left(\frac{2\pi b}{v}\right),\end{array}$$

这简化为

$$\begin{array}{}\text{(4.26)}& W_{\nu }\approx \frac{{\pi }^2}{2}\frac{Z^2{e}^6}{c^3{m}_e^2}\left(\frac{1}{b^2{v}^2}\right),\nu <{\nu }_{max}\approx \frac{v}{2\pi b}\approx {10}^{14}Hz.\end{array}$$

4.3.2 HII 区的射电辐射

HII 区的射电发射的强度和光谱取决于电子速度的分布 $v$ 和碰撞冲击参数 $b$（图 4.2）。$v$ 的分布取决于电子温度 $T$。$b$ 的分布取决于电子数密度 $n_e$（cm${}^{-3}$）和离子数密度 $n_i$（cm${}^{-3}$）。

在 LTE 中，电子和离子的平均动能相等。电子质量远小于离子，因此其速度远高于离子，并且在相互作用过程中离子可以被认为几乎静止（图 4.5）。

图4.5:在时间间隔 $t$ 内，以速度 $v$ 到 $v+dv$ 经过静止离子且冲击参数在 $b$ 到 $b+db$ 范围内的电子数量等于在此处显示的圆柱壳中速度为 $v$ 到 $v+dv$ 的电子数量。

以单位时间通过任意离子的电子数量，其冲击参数在 $b$ 到 $b+db$ 范围且速度在 $v$ 到 $v+dv$ 范围内为

$$\begin{array}{}\text{(4.27)}& n_e(2\pi bdb)vf(v)dv,\end{array}$$

其中 $f(v)$ 是电子的归一化（$\int f(v)dv=1$）速度分布。每单位时间、单位体积、单位速度和单位冲击参数发生这种碰撞的数量为 ${\dot{n}}_c(v,b)$

$$\begin{array}{}\text{(4.28)}& {\dot{n}}_c(v,b)=(2\pi b)vf(v)n_e{n}_i.\end{array}$$

在频率 $\nu$ 下每单位体积各向同性发射的谱功率为 $4\pi j_{\nu }$，其中 $j_{\nu }$ 是由式 2.26 定义的发射系数。因此

$$\begin{array}{}\text{(4.29)}& 4\pi j_{\nu }={\int }_{b=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{v=0}^{\mathrm{\infty }}{W}_{\nu }(v,b){\dot{n}}_c(v,b)dvdb.\end{array}$$

将 $W_{\nu }(v,b)$（式 4.26）和 ${\dot{n}}_c(v,b)$（式 4.28）的结果代入式 4.29 得到

$$4\pi j_{\nu }$$

$$\begin{array}{}\text{(4.30)}& ={\int }_{b=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{v=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{{\pi }^2{Z}^2{e}^6}{2c^3{m}_e^2{b}^2{v}^2}\right)2\pi bdb{n}_e{n}_{i}vf(v)dv\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4.31)}& =\frac{{\pi }^3{Z}^2{e}^6{n}_e{n}_i}{c^3{m}_e^2}{\int }_{v=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(v)}{v}dv{\int }_{b=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{db}{b}.\end{array}$$

式 4.31 暴露了一个问题：积分

$$\begin{array}{}\text{(4.32)}& {\int }_{b=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{db}{b}\end{array}$$

会对数发散。必须对碰撞参数 $b$ 的范围存在有限的物理界 $b_{min}$ 和 $b_{max}$（待确定）以防止这种发散：

$$\begin{array}{}\text{(4.33)}& 4\pi j_{\nu }=\frac{{\pi }^3{Z}^2{e}^6{n}_e{n}_i}{c^3{m}_e^2}{\int }_{v=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(v)}{v}dv{\int }_{b_{min}}^{b_{max}}\frac{db}{b}.\end{array}$$

LTE 下电子速度的分布 $f(v)$ 是非相对论的麦克斯韦分布（其推导见附录 B.8）：

图4.6:LTE下粒子速度的非相对论麦克斯韦分布（式 4.34），其中 $v_{rms}={(3kT/m)}^{1/2}$ 是质量为 $m$、温度为 $T$ 的粒子的均方根速度。

$$\begin{array}{}\text{(4.34)}& \boxed{{\displaystyle f(v)=\frac{4v^2}{\sqrt{\pi }}{\left(\frac{m_e}{2kT}\right)}^{3/2}\exp (-\frac{m_e{v}^2}{2kT}).}}\end{array}$$

式 4.34 可用于计算式 4.33 中的电子速度积分：

$$\begin{array}{}\text{(4.35)}& {\int }_{v=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(v)}{v}dv=\frac{4}{\sqrt{\pi }}{\left(\frac{m_e}{2kT}\right)}^{3/2}{\int }_{v=0}^{\mathrm{\infty }}v\exp \left(-\frac{m_e{v}^2}{2kT}\right)dv.\end{array}$$

将 $x\equiv m_e{v}^2/(2kT)$ 代入则 $dx=m_{e}vdv/(kT)$ 得到

$${\int }_{v=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(v)}{v}dv$$

$$\begin{array}{}\text{(4.36)}& =\frac{4}{\sqrt{\pi }}{\left(\frac{m_e}{2kT}\right)}^{3/2}{\int }_{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{kT}{m_e}{e}^{-x}dx\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4.37)}& =\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\left(\frac{m_e}{2kT}\right)}^{1/2}{\int }_{x=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}dx\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4.38)}& ={\left(\frac{2m_e}{\pi kT}\right)}^{1/2}.\end{array}$$

总之，自由-自由发射系数可表示为

$$\begin{array}{}\text{(4.39)}& \boxed{{\displaystyle j_{\nu }=\frac{{\pi }^2{Z}^2{e}^6{n}_e{n}_i}{4c^3{m}_e^2}{\left(\frac{2m_e}{\pi kT}\right)}^{1/2}\ln \left(\frac{b_{max}}{b_{min}}\right).}}\end{array}$$

剩下的问题是估算最小和最大碰撞参数 $b_{min}$ 和 $b_{max}$。这些估算不需要非常精确，因为在式 4.39 中只出现它们的对数。

为了估算最小撞击参数$b_{min}$，注意在单次电子-离子相互作用过程中净冲量（动量变化）

$$\begin{array}{}\text{(4.40)}& m_e\mathrm{\Delta }v={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Fdt\end{array}$$

完全来自电力的垂直分量$F_{\mathrm{\perp }}$，因为$E_{\parallel }$的贡献在$t=0$周围是反对称的（图 4.3）。将式 4.16 中的$F_{\mathrm{\perp }}$代入式 4.40 得到

$$\begin{array}{}\text{(4.41)}& m_e\mathrm{\Delta }v={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{Z{e}^2\cos \psi }{r^2}\right)dt=Z{e}^2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\cos }^3\psi }{b^2}dt.\end{array}$$

利用式 4.21 将积分变量从$t$换成$\psi$ 得到

$$\begin{array}{}\text{(4.42)}& m_e\mathrm{\Delta }v=\frac{Z{e}^2}{bv}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\cos \psi d\psi =\frac{2Z{e}^2}{bv}.\end{array}$$

在自由-自由相互作用过程中可能的最大动量传递$m_e\mathrm{\Delta }v$是电子的初始动量$m_{e}v$的两倍，因此自由-自由相互作用的撞击参数不能小于

$$\begin{array}{}\text{(4.43)}& \boxed{{\displaystyle b_{min}\approx \frac{Z{e}^2}{m_e{v}^2}.}}\end{array}$$

该结果基于对相互作用的纯经典处理（详见Jackson [56第13.1节和问题13.1]）。不确定性原理（$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\simeq \hslash$）蕴含一个独立的量子力学极限

$$\begin{array}{}\text{(4.44)}& b_{min}=\frac{\hslash }{m_{e}v},\end{array}$$

但该下限通常低于Hii区域的经典极限，因此可以忽略。该主张可以通过计算电子速度的经典极限与量子极限的比值来验证$v={(3kT/m_e)}^{1/2}$：

$$\begin{array}{}\text{(4.45)}& \left(\frac{Z{e}^2}{m_e{v}^2}\right){\left(\frac{\hslash }{m_{e}v}\right)}^{-1}=\frac{Z{e}^2}{\hslash v}=\frac{Z{e}^2}{\hslash }{\left(\frac{m_e}{3kT}\right)}^{1/2}.\end{array}$$

在 Hii 区域 K 和 $Z=1$ $T\approx {10}^4$，该比值$\approx 3$，因此经典极限更强。只有在更冷（$T<{10}^3$ K）的等离子体中，量子力学极限才是重要的。

有两个效应可能决定冲击参数的上限 $b_{max}$。由于在小尺度上静电力总是主导重力，因此在几乎静止的离子附近的电子可以自由重新排列，以中和或屏蔽离子电荷。这种屏蔽的特征尺度长度称为德拜长度。根据 Jackson [56]，德拜长度为

$$\begin{array}{}\text{(4.46)}& {\lambda }_D\approx {\left(\frac{kT}{4\pi n_e{e}^2}\right)}^{1/2}.\end{array}$$

在典型的 HII 区低密度等离子体中，德拜长度相当大。例如，如果 $T\approx {10}^4$ K 且 $n_e\approx {10}^3{cm}^{-3}$，

$$\begin{array}{}\text{(4.47)}& {\lambda }_D\approx {\left[\frac{1.38\times {10}^{-16}erg{K}^{-1}\cdot {10}^{4}K}{4\pi \cdot {10}^3{cm}^{-3}\cdot {(4.8\times {10}^{-10}statcoulomb)}^2}\right]}^{1/2}\approx 22cm.\end{array}$$

对冲击参数的独立上限是能够在某个相关射频 $\nu$ 上产生显著功率的 $b$ 的最大值。回想一下，在角频率 $\omega \approx v/b$ 以上，每单位带宽的脉冲功率较小，因此

$$\begin{array}{}\text{(4.48)}& \boxed{{\displaystyle b_{max}\approx \frac{v}{\omega }=\frac{v}{2\pi \nu },}}\end{array}$$

是在频率 $\nu$ 下能够发射显著功率的最大冲击参数。

在任何特定情况下，控制上限 $b_{max}$ 是这两个上限中的较小者。对于在 $\nu =1$ GHz 观察到的典型 Hii 区，较低和较高的界限的数值在框中示例中给出，式 4.48 给出了较小的 $b_{max}\sim {10}^{-2}cm$。

示例。估算纯 Hii 区 ($Z=1$) 中的 $b_{min}$ 和 $b_{max}$，该区域温度为 $T\approx {10}^4$ K，在相当低的频率 $\nu =1$ GHz $={10}^9$ Hz 观察:

$$b_{min}$$$$\approx \frac{Z{e}^2}{m_e{v}^2}\approx \frac{e^2}{3kT}$$$$\approx \frac{{(4.8\times {10}^{-10}statcoulomb)}^2}{3\cdot 1.38\times {10}^{-16}erg{K}^{-1}\cdot {10}^{4}K}\approx 5.6\times {10}^{-8}cm,$$$$b_{max}$$$$\approx \frac{v}{2\pi \nu }\approx {\left(\frac{3kT}{m_e}\right)}^{1/2}{(2\pi \nu )}^{-1}$$$$\approx {\left(\frac{3\cdot 1.38\times {10}^{-16}erg{K}^{-1}\cdot {10}^{4}K}{9.1\times {10}^{-28}g}\right)}^{1/2}{(2\pi \times {10}^9{s}^{-1})}^{-1}$$$$\approx 1.1\times {10}^{-2}cm.$$

在这个频率下能够产生功率的最大撞击参数远小于电子密度为 $n_e\approx {10}^3$ cm${}^{-3}$ 的 Hii 区的 ${\lambda }_D\approx 22$ cm Debye 长度（式 4.47），所以 Debye 长度无关紧要。一个 $T={10}^4$ K 的电子移动 22 厘米需要很长时间，它发出的频率会低到无法观测 $\nu <1$ MHz。Debye 长度只在密度更高的等离子体中才变得相关，例如太阳色球层（$n_e\approx {10}^{12}$ cm ${}^{-3}$）。

我们对比值的简单估算

$$\begin{array}{}\text{(4.49)}& \frac{b_{max}}{b_{min}}\approx {\left(\frac{3kT}{m_e}\right)}^{1/2}{(2\pi \nu )}^{-1}\left(\frac{3kT}{Z{e}^2}\right)\approx {\left(\frac{3kT}{m_e}\right)}^{3/2}\frac{m_e}{2\pi Z{e}^2\nu }\end{array}$$

与 Oster [76] 中的非常详细的推导结果非常接近。比值 $(b_{max}/b_{min})$ 的数量级为 ${10}^5$，远大于 Maxwell 速度分布中的分数速度范围 ${\sigma }_v/v\approx 1$（图 4.6）。另外请注意

$$\begin{array}{}\text{(4.50)}& \ln \left(\frac{b_{max}}{b_{min}}\right)\sim 12\end{array}$$

随着$b_{max}$或$b_{min}$的变化缓慢变化，因此这些限值的小不确定性对Hii区的计算发射系数几乎没有影响。

由于Hii区在某温度$T$下处于局部热力学平衡（LTE），基尔霍夫定律（方程式2.30）立即给出吸收系数$\kappa$（方程式2.18），其表示形式为发射系数和黑体亮度$B_{\nu }(T)$：

$$\begin{array}{}\text{(4.51)}& \kappa =\frac{j_{\nu }}{B_{\nu }(T)}\approx \frac{j_{\nu }{c}^2}{2kT{\nu }^2}\end{array}$$

在瑞利-金斯极限下。因此

$$\begin{array}{}\text{(4.52)}& \boxed{{\displaystyle \kappa =\frac{1}{{\nu }^2{T}^{3/2}}\left[\frac{Z^2{e}^6}{c}{n}_e{n}_i\frac{1}{\sqrt{2\pi {(m_{e}k)}^3}}\right]\frac{{\pi }^2}{4}\ln \left(\frac{b_{max}}{b_{min}}\right).}}\end{array}$$

极限$b_{max}$（方程式4.48）与频率成反比，因此吸收系数并不完全与${\nu }^{-2}$成正比。一个好的数值近似是$\kappa (\nu )\propto {\nu }^{-2.1}$。

一个HII区的总不透明度$\tau$是沿视线积分$-\kappa$的结果，如图 4.7所示：

图4.7:天文学家通常用其轴线与视线重合的均匀圆柱体来近似HII区，因为这种粗略的简化可以简化辐射传输问题。天文学家常常出现在笑话中以“考虑一个球形奶牛……”开头也是有充分理由的。

$$\begin{array}{}\text{(4.53)}& \tau =-{\int }_{los}\kappa ds\propto \int \frac{n_e{n}_i}{{\nu }^{2.1}{T}^{3/2}}ds\approx \int \frac{n_e^2}{{\nu }^{2.1}{T}^{3/2}}ds.\end{array}$$

在低频率下，$\tau \gg 1$，HII区变得不透明，其光谱接近黑体，并且亮温度接近电子温度（$T_b\approx T\sim {10}^4$ K），其光通量密度遵循Rayleigh--Jeans近似$S\propto {\nu }^2$。在非常高的频率下，$\tau \ll 1$，HII区几乎是透明的，并且

$$\begin{array}{}\text{(4.54)}& S\propto \frac{2kT{\nu }^2}{c^2}\tau (\nu )\propto {\nu }^{-0.1}.\end{array}$$

在对数-对数图上，均匀Hii区的整体谱看起来如图 4.8，谱断裂对应的频率是$\tau \approx 1$。

图4.8:Hii区的射电谱。在低频下，它是一个黑体，如果是如图 4.7所示的均匀圆柱，斜率为2，否则为$<2$。在某个频率$\nu$，光学深度为$\tau =1$，在更高频率下，谱斜率变为$\approx -0.1$，因为不透明系数为$\kappa (\nu )\propto {\nu }^{-2.1}$。低频下的源亮度等于电子温度。高频下亮度与Hii区的发射量（方程4.57）成正比。

在对数-对数图上，频谱斜率通常被称为频谱指数，用 $\alpha$ 表示，其符号定义存在歧义：

$$\begin{array}{}\text{(4.55)}& \alpha \equiv \pm \frac{d\log S}{d\log \nu }.\end{array}$$

注意 $\pm$ 的符号！ 不幸的是，文献中可以找到两种符号约定，因此你必须仔细查看每篇论文以确定使用的是哪一种。在 $+$ 符号约定下，均匀 Hii 区的低频频谱指数为 $\alpha =+2$。$-$ 符号约定是在射电天文学早期引入的，因为在低频下发现的大多数源在低频下比在高频下更强。因此 $\alpha =+0.7$ 可能意味着

$$\begin{array}{}\text{(4.56)}& \frac{d\log S}{d\log \nu }=-0.7.\end{array}$$

任何非均质 Hii 区的 ($+$) 谱指数在断裂频率以上会明显高于 $\alpha \approx -0.1$，但断裂会更为平缓，断裂以下的低频斜率会稍微低于 $+2$。例如，恒星的电离风相当非均质。在恒速、等温球形风中，质量守恒意味着电子密度与恒星距离的平方成反比：$n_e\propto r^{-2}$。这样风产生的自由-自由发射的低频谱指数更接近 $+0.6$，而不是 $+2$。

Hii 区的发射测量(EM) 定义为沿视线积分 $n_e^2$，并以天文学上方便的单位表示：

$$\begin{array}{}\text{(4.57)}& \boxed{{\displaystyle \frac{EM}{pc{cm}^{-6}}\equiv {\int }_{los}{\left(\frac{n_e}{{cm}^{-3}}\right)}^{2}d\left(\frac{s}{pc}\right).}}\end{array}$$

由于$\kappa$与发射$n_e{n}_i\approx n_e^2$成正比，光学深度$\tau$与发射测量成正比。发射度量通常用于用天文学上方便的单位对$\tau$进行参数化：

$$\begin{array}{}\text{(4.58)}& \tau \approx 3.014\times {10}^{-2}{\left(\frac{T}{K}\right)}^{-3/2}{\left(\frac{\nu }{GHz}\right)}^{-2}\left(\frac{EM}{pc{cm}^{-6}}\right)⟨g_{ff}⟩,\end{array}$$

其中自由--自由冈特因子[18] $⟨g_{ff}⟩$是一个参数，吸收了与对数项相关的弱频率依赖性，$\kappa$：

$$\begin{array}{}\text{(4.59)}& ⟨g_{ff}⟩\approx \ln \left[4.955\times {10}^{-2}{\left(\frac{\nu }{GHz}\right)}^{-1}\right]+1.5\ln \left(\frac{T}{K}\right).\end{array}$$

Mezger和Henderson [73]找到了一个非常好的近似，用于自由--自由不透明度$\tau$，且易于数值计算：

$$\begin{array}{}\text{(4.60)}& \boxed{{\displaystyle \tau \approx 3.28\times {10}^{-7}{\left(\frac{T}{{10}^{4}K}\right)}^{-1.35}{\left(\frac{\nu }{GHz}\right)}^{-2.1}\left(\frac{EM}{pc{cm}^{-6}}\right).}}\end{array}$$

Mezger 和 Henderson [73，表6]列出了该近似在宽范围温度和频率下引入的误差。

示例。我们银河系的星际介质包含一种弥散的电离成分，其中一部分是“温”态（$T\approx {10}^4$ K），另一部分是“热”态（$T\approx {10}^6$ K）。这两种相大致处于压力平衡状态，因此热介质的密度低一个 $\sim {10}^2$ 倍。热相的高 $T_e$ 和低 $n_e$ 的结合意味着只有温相对星际介质的自由-自由不透明度有显著贡献。温电离气体主要局限于我们居住的银河系盘面。一定存在某个频率 $\nu$ 以下，该盘面会变得不透明，即使沿垂直于盘面的方向，我们也无法看到银河系之外的区域。从垂直于盘方向观测到的亮度谱中，Cane [21] 发现 $\tau \approx 1$ 在 $\nu \approx 2$ 兆赫。这一结果可以代入式 4.60 来估算温暖星际介质中的均方根电子密度：

$$1\approx 3.28\times {10}^{-7}\cdot {(1)}^{-1.35}\cdot {0.002}^{-2.1}\cdot ⟨n_e^2⟩\cdot 1000pc,$$$${⟨n_e^2⟩}^{1/2}\approx {\left(\frac{{0.002}^{2.1}}{3.28\times {10}^{-4}}\right)}^{1/2}\approx 0.08{cm}^{-3}.$$

根据光学深度 $\tau$ 和电子温度 $T$，可以计算亮温度

$$\begin{array}{}\text{(4.61)}& T_b=T(1-e^{-\tau })\end{array}$$

自由-自由辐射的。Hii 区的视线结构通常未知，因此通常将 Hii 区的几何形状近似为沿视线方向的圆柱体，其轴长等于直径。进一步假设该体积内的温度和密度是恒定的。那么，一旦 Hii 区的距离已知，就可以非常容易地从观测到的射电谱估算 Hii 区的物理参数（例如，电子密度、温度、发射度、电离光子的产生率 $Q_H$）。

一个有用的近似公式将电离光子的产生率与高频处的自由-自由谱亮度$L_{\nu }$ 联系起来，其中 $\tau \ll 1$ 的 Hii 区在电离平衡下的状态为 [95]。

$$\begin{array}{}\text{(4.62)}& \boxed{{\displaystyle \left(\frac{Q_H}{s^{-1}}\right)\approx 6.3\times {10}^{52}{\left(\frac{T}{{10}^{4}K}\right)}^{-0.45}{\left(\frac{\nu }{GHz}\right)}^{0.1}\left(\frac{L_{\nu }}{{10}^{20}W{Hz}^{-1}}\right).}}\end{array}$$

例子。假设一个理想化的 Hii 区，其温度为 $T={10}^4$ K，距离为 $d=10$ kpc，产生如图 4.8 所示的射电谱，其中 $S$ 单位为 Jy，$\nu$ 单位为 GHz。该谱对 Hii 区提供了哪些约束？在低频率 $\nu \ll 1$ GHz 时，Hii 区是光学厚的，因此它是一个黑体辐射源，并遵循雷利-金斯近似，从中可以导出源的立体角。从图 4.8 中，$S\approx 0.1$ Jy 在 $\nu =0.3$ GHz ($\lambda =1$ 米) 时，因此

$$\mathrm{\Omega }=\frac{{\lambda }^{2}S}{2kT}\approx \frac{{(1m)}^2\cdot 0.1\times {10}^{-26}W{m}^{-2}{Hz}^{-1}}{2\cdot 1.38\times {10}^{-23}J{K}^{-1}\cdot {10}^{4}K}\approx 3.6\times {10}^{-9}sr.$$

因此 Hii 区的角直径为

$$\theta \approx {\left(\frac{4\mathrm{\Omega }}{\pi }\right)}^{1/2}\approx 7\times {10}^{-5}rad$$

其线性直径约为 0.7 秒差距。在高频段 $\nu \gg 1$ GHz，光学厚度为 $\tau \ll 1$，因此观测到的流量密度与黑体流量密度的比值为 $\approx \tau$。在 $\nu =10$ GHz，观测到的流量密度为 $S\approx 0.8$ Jy，而Rayleigh-Jeans外推的流量密度为

$$S\approx 0.1Jy{\left(\frac{\nu }{0.3GHz}\right)}^2\approx 110Jy,$$

所以在 10 GHz 的光学深度为 $\tau \approx 0.8/110\approx 0.007$。

自由-自由辐射在大多数螺旋星系中约占1 GHz连续谱光度的10%。它是在$\nu \approx 30$ GHz到$\nu \approx 200$ GHz频率范围内最强的组分，而在此频率以上，来自冷尘粒子的热辐射占主导地位（图 2.24）。自由-自由吸收会使螺旋星系的低频光谱变平，而$\tau \approx 1$的频率在高星形成率的星系中更高，尤其是当星形成局限于靠近核心的紧凑区域时。如果来自暴星形成星系的自由-自由辐射和同步辐射大致空间重合，其在$\nu <100$ GHz频率下的无线电亮温为[30]。

$$\begin{array}{}\text{(4.63)}& T_b\sim T[1-\exp (-\tau )]\left[1+10{\left(\frac{\nu }{GHz}\right)}^{0.1+\alpha }\right],\end{array}$$

其中 $T\approx {10}^4$ K 和 $\alpha \approx -0.8$ 是同步辐射的谱指数。同步辐射的自由-自由吸收将最大亮温度限制在频率 $\nu \ge 1$ GHz 下的 $T_b\le {10}^5$ K。这个限制可以用来识别为银河系中心的紧凑射电源提供能量的能量源：如果其亮温度明显高于 ${10}^5$ K，则由活动星系核（AGN）提供能量，而不是由紧凑型暴星区域提供。