第3章 射电望远镜与辐射计

3.1 天线基础

天线是一种被动装置，可将空间中的电磁辐射转换为导体中的电流，反之亦然，这取决于其是用于接收还是用于发射。射电望远镜是接收天线，而雷达望远镜也是发射天线。通常，计算发射天线的特性更容易，而测量接收天线的特性也更容易。幸运的是，当发射天线用于接收时，其大多数特性（例如其辐射模式）保持不变，因此对发射天线的任何分析都可以应用于用于射电天文学的接收天线，对接收天线的任何测量也可以应用于该天线用于发射时。

3.1.1 短偶极天线（赫兹偶极）辐射

图3.1:用于描述由频率为 $\nu$ 的电流源驱动的短总长度为 $l\ll \lambda$ 偶极天线辐射的坐标系。

最简单的天线是一种短（总长度远小于一个波长的）偶极天线，如图 3.1所示，由两个共线的导体（例如，导线或导电杆）组成。当它们在中间的小间隙处由振荡电流源（发射机）驱动时，流入下方导体的电流与流入上方导体的电流相位相差180度。偶极天线的辐射依赖于发射机频率，因此考虑一个角频率为的正弦驱动电流:

$$\begin{array}{}\text{(3.1)}& I=I_0\cos (\omega t),\end{array}$$

其中 $I_0$ 是流入偶极子每一半的峰值电流。用其复指数等价物（附录 B.3）代替三角函数 $\cos (\omega t)$ 在计算上是方便的，其实部为

$$\begin{array}{}\text{(3.2)}& \boxed{{\displaystyle e^{-i\omega t}=\cos (\omega t)-i\sin (\omega t),}}\end{array}$$

所以驱动电流可以重写为

$$\begin{array}{}\text{(3.3)}& I=I_0{e}^{-i\omega t}\end{array}$$

并隐含理解为只有 $I$ 的实部表示实际电流。驱动电流加速天线导线中的电荷，因此可以使用拉莫尔公式通过将电荷和加速度转换为随时间变化的电流来计算天线的辐射。

导线中的电流定义为沿导线流动的电荷流率：

$$\begin{array}{}\text{(3.4)}& \boxed{{\displaystyle I\equiv \frac{dq}{dt}.}}\end{array}$$

对于 $z$ 轴上的导线，

$$\begin{array}{}\text{(3.5)}& I=\frac{dq}{dt}=\frac{dq}{dz}\frac{dz}{dt}=\frac{dq}{dz}v,\end{array}$$

其中 $v$ 是电荷的瞬时流速。

许多人错误地认为，导线中单个电子的速度与光速相当，因为电信号确实以接近光速沿导线传播。然而，充满电子的导线就像一根已经充满水的花园软管，这种流体几乎不可压缩。当打开水龙头时，即使单个水分子只沿软管移动了很短的距离，水也几乎立即从软管的另一端流出。上述例子表明，电子在导线中移动得非常慢，以至于拉莫非相对论方程可以准确预测天线的辐射。

示例。估算通过横截面积为 $\sigma =1$ mm${}_{}^2={10}^{-6}$ m${}^2$ 的铜线并携带 1 安培电流的电子流速。自由电子的数密度大约等于铜线中铜原子的数密度，$n\approx {10}^{29}$ m${}^{-3}$。在 MKS 单位中，电子的电荷为

$$-e\approx 4.80\times {10}^{-10}statcoul\times \frac{1coul}{3\times {10}^{9}statcoul}\approx 1.60\times {10}^{-19}coul.$$

一安培定义为每秒一库仑，因此在一秒内通过导线上任意一点的电子数为

$$\dot{N}=\frac{I}{|e|}\approx \frac{1coul{s}^{-1}}{1.60\times {10}^{-19}coul}\approx 6.25\times {10}^{18}{s}^{-1}.$$

平均电子速度仅为

$$v\approx \frac{\dot{N}}{\sigma n}\approx \frac{6.25\times {10}^{18}{s}^{-1}}{{10}^{-6}{m}^2\cdot {10}^{29}{m}^{-3}}\approx 6\times {10}^{-5}m{s}^{-1}\ll c.$$

因此可以安全地使用非相对论拉莫尔方程来计算来自导线的辐射。

从拉莫尔公式推导出的式 2.136

$$E_{\mathrm{\perp }}=\frac{q\dot{v}\sin \theta }{r{c}^2}$$

可以应用于产生由每个长度为 $dz$ 的无穷小偶极子段贡献的 $d{E}_{\mathrm{\perp }}$。如果偶极子很短（$l\ll \lambda$），所有这些电场都是同相的，并直接相加得到偶极子产生的总 $E_{\mathrm{\perp }}$：

$$\begin{array}{}\text{(3.6)}& E_{\mathrm{\perp }}={\int }_{z=-l/2}^{+l/2}\frac{dq}{dz}dz\frac{\dot{v}\sin \theta }{r{c}^2}.\end{array}$$

在距离 $r\gg l$ 处，（$1/r$）在整个天线范围内几乎是恒定的，可以移到积分符号外。对于正弦驱动电流，$\dot{v}=-i\omega v$ 和

$$\begin{array}{}\text{(3.7)}& E_{\mathrm{\perp }}=\frac{-i\omega \sin \theta }{r{c}^2}{\int }_{-l/2}^{+l/2}\frac{dq}{dz}vdz=\frac{-i\omega \sin \theta }{r{c}^2}{\int }_{-l/2}^{+l/2}Idz.\end{array}$$

也就是说，辐射电场强度 $E_{\mathrm{\perp }}$ 与沿天线的电流分布的积分成正比。天线中心的电流是驱动电流 $I=I_0{e}^{-i\omega t}$，并且电流在天线的两端必须下降到零，因为那里的电导率变为零。短偶极子沿线的电流分布是驻波正弦波的尾端，从中心的驱动电流到末端几乎线性下降：

$$\begin{array}{}\text{(3.8)}& I(z)\approx I_0{e}^{-i\omega t}\left[1-\frac{|z|}{(l/2)}\right].\end{array}$$

那么

$$\begin{array}{}\text{(3.9)}& {\int }_{-l/2}^{+l/2}Idz\approx \frac{I_{0}l}{2}{e}^{-i\omega t}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(3.10)}& E_{\mathrm{\perp }}\approx \frac{-i\omega \sin \theta }{r{c}^2}\frac{I_{0}l}{2}{e}^{-i\omega t}.\end{array}$$

代入 $\omega =2\pi c/\lambda$ 得到

$$\begin{array}{}\text{(3.11)}& E_{\mathrm{\perp }}\approx \frac{-i2\pi c\sin \theta }{\lambda r{c}^2}\frac{I_{0}l}{2}{e}^{-i\omega t}=\frac{-i\pi \sin \theta }{c}\frac{I_{0}l}{\lambda }\frac{e^{-i\omega t}}{r}.\end{array}$$

时间平均的浦[Poynting]通量（单位面积的功率）由式 2.139 得出；它是

$$\begin{array}{}\text{(3.12)}& ⟨S⟩=\frac{c}{4\pi }⟨E_{\mathrm{\perp }}^2⟩.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(3.13)}& ⟨S⟩=\frac{c}{4\pi }\left(\frac{1}{2}\right){\left(\frac{I_{0}l}{\lambda }\frac{\pi }{c}\right)}^2\frac{{\sin }^2\theta }{r^2},\end{array}$$

其中因子 $(1/2)$ 反映了 $⟨{\sin }^2(\omega t)⟩=⟨{\cos }^2(\omega t)⟩=1/2$ 的事实。（这是一个值得记住并且容易推导的关系，因为 ${\sin }^2(\omega t)+{\cos }^2(\omega t)=1$ 和 $⟨{\sin }^2(\omega t)⟩=⟨{\cos }^2(\omega t)⟩$。）

发射天线的功率方向图是其辐射功率的角分布，通常在峰值处归一化为1。从式 3.13，短偶极子的归一化功率方向图为

$$\begin{array}{}\text{(3.14)}& \boxed{{\displaystyle P\propto {\sin }^2\theta .}}\end{array}$$

短偶极子的辐射具有与加速电荷的拉莫尔辐射相同的极化方式和相同的甜甜圈形功率模式，因为短偶极子中的所有电荷都沿远小于一个波长的一条直线加速。从观察者的角度看，接收到的功率仅取决于偶极子在视线垂直方向上的投影长度$l\sin \theta$。接收到的电场强度与偶极子的表观长度成正比，偶极子的辐射沿投影的偶极子方向线性极化。发射的时均总功率可通过在以天线为中心、任意半径的球面上积分庞廷 flux 来得到：

$$⟨P⟩=\int ⟨S⟩dA$$

$$\begin{array}{}\text{(3.15)}& =\frac{c}{4\pi }\left(\frac{1}{2}\right){\left(\frac{I_{0}l}{\lambda }\frac{\pi }{c}\right)}^2{\int }_{\varphi =0}^{2\pi }{\int }_{\theta =0}^{\pi }\frac{{\sin }^2\theta }{r^2}r\sin \theta d\varphi rd\theta \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.16)}& =\frac{c}{4\pi }\left(\frac{1}{2}\right){\left(\frac{I_{0}l}{\lambda }\frac{\pi }{c}\right)}^{2}2\pi {\int }_{\theta =0}^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta .\end{array}$$

回想起 ${\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta =4/3$，因此短偶极子发射的时均功率是

$$\begin{array}{}\text{(3.17)}& \boxed{{\displaystyle ⟨P⟩=\frac{{\pi }^2}{3c}{\left(\frac{I_{0}l}{\lambda }\right)}^2,}}\end{array}$$

其中 $I_0\cos (\omega t)$ 是驱动电流，$l/\lambda$ 是偶极子在波长单位下的总长度。

大多数实际的偶极子是半波偶极子（$l\approx \lambda /2$），因为半波偶极子是谐振的，这意味着它们为发射器提供近似于电阻性的负载。当偶极子的每一半长为 $\lambda /4$ 时，驻波电流在中心处最高，并自然地沿着 $I=I_0\cos (2\pi z/\lambda )$ 下降至导体末端的零。

图3.2:接地平面垂直接收天线只是置于导电平面上的偶极天线的一半。偶极天线的下半部分是由导电“接地平面”提供的镜子中垂直部分的反射。镜像垂直与真实垂直相位相差 180 度。在接地平面上方，接地平面垂直天线的辐射与偶极天线的辐射完全相同。

地面平面垂直天线如图 3.2 所示，与偶极天线非常相似。地面平面垂直天线是在导电平面上方的偶极天线的一半，这个导电平面被称为“地面平面”，因为历史上垂直天线的导电平面是地球表面。发射机连接在垂直天线的底部（与地面绝缘）与底部附近的地面平面之间。许多 AM 广播发射天线都很高（在 $\nu \sim 1$ MHz 时，$\lambda \sim 300$ 米，而 $\lambda /4$ 的垂直天线大约 75 米高），绝缘塔作为四分之一波长的垂直天线使用。导电地面平面起到镜像作用，创建偶极天线的下半部分，作为上半部分的镜像。由垂直天线产生的电场在导电平面中感应电流，使得导体上的电场水平分量为零。来自图像垂直线的虚拟电场具有相同的振幅，但相位相差180度，就像半波偶极子一样。因此，接地平面垂直天线的辐射场在接地平面上方的半空间与偶极子相同，而在接地平面下方为零。

图3.3:大多数高频馈电是位于波导喇叭内的四分之一波长接地平面垂直天线。该图中唯一的真正天线是$\lambda /4$接地平面垂直天线，它将波导中的电磁波转换为沿波导延伸至同轴电缆中的电流。

根据天线严格定义，即作为在空间的电磁波和导体中的电流之间转换的装置，大多数射电望远镜中唯一的天线是半波振子及其衍生形式——四分之一波长的地面平面垂直天线。射电望远镜的大型抛物面反射器仅用于将平面波聚焦到馈电天线上。（“馈电”一词来源于用于发射的雷达天线；“馈电”天线将发射机功率馈送到主反射器。射电天文学中使用的接收天线则相反，“馈电”实际上是从反射器收集辐射。）

实际的半波偶极子，背后有大约 $\lambda /4$ 的小反射器，用于将偶极子模式聚焦到主盘的方向，通常在低频（$\nu <1$ GHz）或长波长（$\lambda >0.3$ m）时用作馈源，因为它们相对较小的尺寸。然而，背后带有小反射器的半波偶极子的辐射模式与大多数抛物面天线不匹配，因此其性能不够理想。

对于较短的波长，几乎所有的射电望远镜馈源都是放置在波导喇叭内的四分之一波长接地平面垂直天线。进入锥形喇叭较大的（尺寸 $>\lambda$）矩形或圆形孔径的辐射，会被集中到具有平行导电墙的矩形或圆形波导中。在其横截面如图 3.3 所示的矩形波导的情况下，侧壁的间距略大于 $\lambda /2$，以便垂直电场可以低损耗地沿波导传播。顶部和底部墙之间的间距略小于 $\lambda /2$，因此只有具有垂直电场的模式可以传播（第 3.4 节）。$\lambda /4$ 垂直天线通过底壁的小孔插入，收集大部分这种垂直极化的辐射，并将其转换为沿同轴电缆传输到接收器的电流。距离偶极子约为导波管波长的 1/4 ${\lambda }_w$ （式 3.144）处的背短墙确保偶极子只接收到来自喇叭开口方向的辐射。

偶极子和四分之一波垂直天线都是线性极化馈电。线性极化馈电对线性极化源的电压响应与 $\cos \mathrm{\Delta }$ 成正比，其中 $\mathrm{\Delta }$ 是馈电与源电场之间的角度，功率响应与 ${\cos }^2\mathrm{\Delta }=[\cos (2\mathrm{\Delta })+1]/2$ 成正比。因此，通过在跟踪源时旋转射电望远镜的线性极化馈电，可以测量部分线性极化射电源的极化度和极化位置角。部分线性极化源的极化度 $p$，由式 2.58 定义，为

$$\begin{array}{}\text{(3.18)}& p\equiv \frac{I_p}{I}=\frac{I_p}{I_p+I_u},\end{array}$$

其中 $I_p$ 是极化通量密度，$I=I_p+I_u$ 是源的总通量密度。当馈源和源的极化方向平行时（$\mathrm{\Delta }=0$），馈源 $R(\mathrm{\Delta })\propto I_p{\cos }^2\mathrm{\Delta }+I_u/2$ 的功率响应为 $R_{\parallel }\propto I_p+I_u/2$；当它们垂直时（$\mathrm{\Delta }=\pi /2$），功率响应为 $R_{\perp }=I_u/2$。以可观测量 $R_{\parallel }$ 和 $R_{\perp }$ 表示，极化度为

$$\begin{array}{}\text{(3.19)}& p=\frac{I_p}{I_p+I_u}=\frac{I_p+I_u/2-I_u/2}{I_p+I_u/2+I_u/2}=\frac{R_{\parallel }-R_{\perp }}{R_{\parallel }+R_{\perp }}.\end{array}$$

图 3.4 显示了当线性极化馈源相对于源的极化位置角旋转 $\mathrm{\Delta }=\pi$ 弧度时，其相对功率输出 $R(\mathrm{\Delta })$ 如何变化，这些源的分数极化为 $p=1.0$、0.1 和 0.0。

图3.4:线极化天线的相对功率输出随源与天线之间极化方位角差的变化情况，对于分数极化为 $p=1.0$（虚线曲线）、$p=0.1$（实线曲线）和 $p=0.0$（虚点线）的源。横坐标：方位角差 $\mathrm{\Delta }$（弧度）。纵坐标：相对功率输出 $R$。

要测量任意偏振源的所有四个斯托克斯参数，有必要将两个正交偏振馈源的电压输出结合起来。例如，可以在方形波导中插入两个正交的四分之一波长垂直天线，以同时接收水平和垂直偏振的分量。如果将它们的输出电压同相相加（图 2.15 中的相位差 $\delta ={\varphi }_x-{\varphi }_y=0$），则该馈源组合将对位置角为 $\pi /4={45}^{\circ }$ 的线性偏振辐射做出响应。如果通过机械方式（通过将一个馈源 $\lambda /4$ 移动到另一个馈源的后面）或电气方式（通过在一个馈源和两个输出合并点之间插入一条 $\lambda /4$ 更长的电缆）插入相位差 $\delta =\pi /2$，那么 $\delta =\pi /2$ 和馈源组合将对圆极化做出响应。

3.1.2 辐射电阻

流经电路的功率是

$$\begin{array}{}\text{(3.20)}& \boxed{{\displaystyle P=VI,}}\end{array}$$

其中 $V$ 是电压（定义为每单位电荷的能量），$I$ 是电流（定义为每单位时间流经电路的电荷），因此 $P$ 的量纲是每单位时间的能量。物理学家乔治·西蒙·欧姆观察到，流过大多数（但不是全部）材料的电流与施加的电压成正比，所以大多数物体都有一个明确定义的电阻$R$，由欧姆定律定义，

$$\begin{array}{}\text{(3.21)}& \boxed{{\displaystyle R\equiv \frac{V}{I}.}}\end{array}$$

当欧姆定律成立时，

$$\begin{array}{}\text{(3.22)}& \boxed{{\displaystyle P=I^{2}R=\frac{V^2}{R}.}}\end{array}$$

具有时间变化电流的电阻电路的平均功率为

$$\begin{array}{}\text{(3.23)}& ⟨P⟩=⟨I^2⟩R.\end{array}$$

在正弦电流的特定情况下 $I=I_0\cos (\omega t)$ 和 $⟨I^2⟩=I_0^2/2$，因此

$$\begin{array}{}\text{(3.24)}& ⟨P⟩=\frac{I_0^{2}R}{2}.\end{array}$$

因此天线的（频率相关）辐射电阻定义为

$$\begin{array}{}\text{(3.25)}& \boxed{{\displaystyle R\equiv \frac{2⟨P⟩}{I_0^2}.}}\end{array}$$

对于短偶极子，发射的功率由式 3.17 给出，辐射电阻为

$$\begin{array}{}\text{(3.26)}& R=\frac{2{\pi }^2}{3c}{\left(\frac{l}{\lambda }\right)}^2.\end{array}$$

例子. 一个“半波”（长度 $l=\lambda /2$）的偶极子是一个谐振天线。谐振天线在大多数实际应用中被使用，因为谐振天线的阻抗是电阻性的；非谐振天线也具有大的电容性或电感性电抗。半波偶极子的大部分天线电流是驻波，其电流分布 $I=I_0{e}^{-i\omega t}\cos (2\pi z/\lambda )$ 在 $z=0$ 处的馈电点处达到最大值 $I=I_0{e}^{-i\omega t}$，并以余弦方式下降到端点 $z=\pm \lambda /4$ 的零值。假设偶极子所有部分的辐射都同相发射（这一假设不再那么准确），式 3.7 仍然成立：

$$E_{\mathrm{\perp }}=\frac{-i\omega \sin \theta }{r{c}^2}{\int }_{-l/2}^{+l/2}Idz.$$

半波偶极子的电流分布为

$$I=I_0{e}^{-i\omega t}\cos \left(\frac{2\pi z}{\lambda }\right)$$

因此

$${\int }_{-l/2}^{+l/2}Idz\approx I_0{e}^{-iwt}{\int }_{-\lambda /4}^{+\lambda /4}\cos \left(\frac{2\pi z}{\lambda }\right)dz=\frac{I_0\lambda }{\pi }{e}^{-i\omega t},$$

这是 $2\lambda /(\pi l)$ 的一个因子，比短偶极子（式 3.8）的可比较积分要大：

$${\int }_{-l/2}^{+l/2}Idz\approx \frac{I_{0}l}{2}{e}^{-iwt}.$$

给定 $I_0$ 发射的平均功率 $⟨P⟩$ 与该因子的平方成正比（见式 3.10 到 3.17），即

$${\left(\frac{2\lambda }{\pi l}\right)}^2.$$

因此，半波偶极子的辐射阻抗 $R$ 是短偶极子（式 3.26）辐射阻抗乘以该因子平方：

$$R$$$$=\left[\frac{2{\pi }^2}{3c}{\left(\frac{l}{\lambda }\right)}^2\right]{\left(\frac{2\lambda }{\pi l}\right)}^2=\frac{8}{3c}$$$$=\frac{8}{3\cdot 3\times {10}^{10}cm{s}^{-1}}\approx \frac{8}{9}\times {10}^{-10}s{cm}^{-1}.$$

工程师和实际测试仪器使用 MKS“欧姆”（符号 $\mathrm{\Omega }$）作为电阻单位。换算因子为 1 $\mathrm{\Omega }$ = $({10}^{-11}/9)s{cm}^{-1}$，因此

$$R=\left(\frac{8}{9}\times {10}^{-10}s{cm}^{-1}\right)/\left(\frac{1}{9}\times {10}^{-11}s{cm}^{-1}{ohm}^{-1}\right)=80\mathrm{\Omega }.$$

这与不使用 $l\ll \lambda$ 近似的精确计算结果 $R\approx 73\mathrm{\Omega }$ 非常接近。

地面平面垂直天线高度为 $l/2$，其发射特性完全像位于地面平面上方长度为 $l$ 的偶极子，而地面平面以下没有辐射。因此，垂直天线的总发射功率是偶极子发射功率的一半，垂直天线的辐射电阻是偶极子辐射电阻的一半。

自由空间的辐射电阻${\mathbf{R}}_{\mathbf{0}}$（有时称为自由空间的阻抗 $Z_0$）可以通过以下关系获得：

$$\begin{array}{}\text{(3.27)}& |\overrightarrow{S}|=\frac{c}{4\pi }{E}^{2}andP=\frac{V^2}{R}.\end{array}$$

电场 $E$ 就是单位长度的电压 $V/l$，而通量是单位面积的功率 $l^2$，因此：

$$\begin{array}{}\text{(3.28)}& |\overrightarrow{S}|=\frac{c{V}^2}{4\pi l^2}=\frac{V^2}{R_0{l}^2}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(3.29)}& R_0=\frac{4\pi }{c}=\frac{4\pi }{3\times {10}^{10}cm{s}^{-1}}=4.19\times {10}^{-10}s{cm}^{-1}.\end{array}$$

将单位从 CGS 转换为 MKS 单位，可得自由空间的辐射电阻（以欧姆为单位）:

$$\begin{array}{}\text{(3.30)}& R_0=\frac{4\pi }{3\times {10}^{10}cm{s}^{-1}\cdot 1/9\times {10}^{-11}s{cm}^{-1}{\mathrm{\Omega }}^{-1}}=120\pi \mathrm{\Omega }\approx 377\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

波导喇叭馈电器的锥形开口（图 3.3）充当阻抗变换器，将波导的阻抗匹配到自由空间的阻抗，以尽量减少驻波并在波导与空间之间高效耦合功率，就像长号的喇叭口是声学变压器，将长号中空气的声振动匹配到外部环境一样。

黑洞是辐射的完美吸收体，因此其电阻也必须是 $120\pi \mathrm{\Omega }$，以匹配自由空间的阻抗。在外部磁场中旋转的黑洞可以产生电能，其电压/电流比为 $120\pi \mathrm{\Omega }$，这一过程在为类星体喷流供能方面可能具有重要作用 [12]。

3.1.3 发射天线的功率增益

功率增益$G(\theta ,\varphi )$的发射天线定义为在方向$(\theta ,\varphi )$上每单位立体角的传输功率，相对于具有各向同性增益的各向性天线，后者在所有方向上增益相同。通常，$G$的值以**分贝(dB)**为单位对数表示：

$$\begin{array}{}\text{(3.31)}& \boxed{{\displaystyle G(dB)\equiv 10{\log }_{10}(G).}}\end{array}$$

对于任何无损天线，能量守恒要求在所有方向上的平均增益为

$$\begin{array}{}\text{(3.32)}& \boxed{{\displaystyle ⟨G⟩=1.}}\end{array}$$

因此，所有无损天线都遵循

$$\begin{array}{}\text{(3.33)}& \boxed{{\displaystyle {\int }_{sphere}Gd\mathrm{\Omega }=4\pi .}}\end{array}$$

不同的无损天线可能具有不同的方向性辐射模式，但它们不会改变总辐射功率。因此，无损天线的增益仅取决于该天线的辐射角分布。一般而言，具有峰值增益 $G_0$ 的天线必须将其大部分功率集中在固角 $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega }$ 内，使得 $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega }\approx 4\pi /G_0$。由此引出了波束固角${\mathrm{\Omega }}_A$ 的定义：

$$\begin{array}{}\text{(3.34)}& {\mathrm{\Omega }}_A\equiv \frac{4\pi }{G_0}.\end{array}$$

因此，增益越高，波束固角越小。

天线效率$\eta$ 定义为辐射功率与输入功率的比值。如果焦耳损耗减少了 $\eta$，那么在公式 3.31 到 3.34 中的增益 $G$ 应该被由 $D\equiv G/\eta$ 定义的方向性代替。

示例。无损短偶极子的功率增益是多少？只需回忆短偶极功率方向图的角度依赖性（式 3.14）。

$$P\propto {\sin }^2\theta ,$$

其中 $\theta$ 是与偶极子轴的角度。因此

$$G\propto {\sin }^2\theta =G_0{\sin }^2\theta .$$

最大增益 $G_0$ 由能量守恒决定：

$${\int }_{sphere}Gd\mathrm{\Omega }={\int }_{\varphi =0}^{2\pi }{\int }_{\theta =0}^{\pi }{G}_0{\sin }^2\theta d\theta \sin \theta d\varphi =4\pi ,$$$$2\pi G_0{\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta =4\pi .$$

回忆 ${\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta =4/3$，因此

$$G_0=\frac{4\pi }{2\pi }\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$$

以及

$$G(\theta ,\varphi )=\frac{3{\sin }^2\theta }{2}.$$

用 dB 表示时，短偶极子的最大增益 $G_0$ 为

$$G_0=10{\log }_{10}(3/2)\approx 1.76dB.$$

注意，只要 $l\ll \lambda$， $G(\theta ,\varphi )$ 几乎不依赖于天线长度，因为短偶极子的功率方向图几乎不依赖于 $l$。改变 $l\ll \lambda$ 只会影响辐射电阻。

3.1.4 接收天线的有效面积

接收传输功率增益的对应量是接收天线的有效面积或有效接收面积。想象一个几何面积为$A$的理想天线，它可以收集来自远处点源的所有辐射并将其转换为电功率——一种用于收集光子的“雨量计”。天线上入射的总光谱功率是其几何面积与每单位面积入射光谱功率（或通量密度）$S_{\nu }$的乘积。然而，任何单一天线只能响应一种极化，因此其输出 $P_{\nu }$ 可以等于来自极化方向与天线匹配的完全极化源的所有输入光谱功率（$P_{\nu }=A{S}_{\nu }$），但仅为来自非极化源的入射功率（$P_{\nu }=A{S}_{\nu }/2$）的一半，而来自正交极化源则完全没有响应。实际天线的输出总是比这小，而且大多数射电源几乎是非极化的，因此射电天文学家发现定义天线的有效接收面积 $A_e$ 很有用，其输出光谱功率 $P_{\nu }$ 是响应总通量密度为 $S_{\nu }$ 的非极化点源时的量，通过以下公式表示：

$$\begin{array}{}\text{(3.35)}& \boxed{{\displaystyle A_e\equiv \frac{2P_{\nu }}{S_{\nu }}.}}\end{array}$$

任意无损天线的平均接收面积

$$\begin{array}{}\text{(3.36)}& ⟨A_e⟩\equiv \frac{{\int }_{4\pi }{A}_{e}d\mathrm{\Omega }}{{\int }_{4\pi }d\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{4\pi }{\int }_{4\pi }{A}_{e}d\mathrm{\Omega }\end{array}$$

可以通过另一种热力学思想实验计算得出。

图3.5:一个温度为$T$的热力学平衡腔体，内部包含一个电阻$R$，通过一个滤波器与天线耦合，该滤波器阻止电磁辐射，但允许频率在$\nu$到$\nu +d\nu$范围内的电流通过，天线的温度为$T$。

想象一个天线位于完全热力学平衡的腔体内，温度为 $T$，通过传输线连接到第二个腔体中的一个匹配电阻（其电阻等于天线的辐射电阻），该腔体温度相同（图 3.5）。两个腔体之间的滤波器只允许在 $\nu$ 和 $\nu +d\nu$ 之间的窄频带范围内传递电流。因为整个系统处于热力学平衡状态，所以连接天线和电阻的导线中没有净功率流动。否则，一个腔体会变热而另一个腔体会变冷，从而违反热力学第二定律。从所有方向收集到的单一极化的总光谱功率 $P_{\nu }$ 是无极化黑体辐射总光谱功率的一半，所以

$$\begin{array}{}\text{(3.37)}& P_{\nu }=\frac{1}{2}{\int }_{4\pi }{A}_e(\theta ,\varphi )B_{\nu }d\mathrm{\Omega }\end{array}$$

必须等于由电阻产生的Nyquist谱功率$P_{\nu }$。从方程2.119中的Nyquist公式和方程2.85中的普朗克定律代入，

$$\begin{array}{}\text{(3.38)}& P_{\nu }=kT\left[\frac{\frac{h\nu }{kT}}{\exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)-1}\right]and{B}_{\nu }=\frac{2kT}{{\lambda }^2}\left[\frac{\frac{h\nu }{kT}}{\exp \left(\frac{h\nu }{kT}\right)-1}\right]\end{array}$$

得到

$$\begin{array}{}\text{(3.39)}& kT=\frac{2kT}{2{\lambda }^2}{\int }_{4\pi }{A}_e(\theta ,\varphi )d\mathrm{\Omega },\end{array}$$

最终得到，

$$\begin{array}{}\text{(3.40)}& {\int }_{4\pi }{A}_e(\theta ,\varphi )d\mathrm{\Omega }=4\pi ⟨A_e⟩={\lambda }^2.\end{array}$$

在不使用麦克斯韦方程的情况下，我们得到了一个显著结果

$$\begin{array}{}\text{(3.41)}& \boxed{{\displaystyle ⟨A_e⟩=\frac{{\lambda }^2}{4\pi }}}\end{array}$$

这意味着所有无损天线，从微小偶极子到直径100米的格林班克望远镜（GBT），具有相同的平均接收面积。$⟨A_e⟩$ 与 ${\lambda }^2$ 成正比，因为空间比传输线多两维。

各向同性接收天线的收集面积与 ${\lambda }^2$ 成正比，因此大多数卫星广播服务、GPS（全球定位系统）或卫星调频广播例如，通常在相对较长的波长（10 到 20 厘米）下工作。同样，由偶极阵列构建的实际射电望远镜仅在长波长下具有合理的灵敏度。

类比于式 3.34，无损接收天线的波束立体角定义为

$$\begin{array}{}\text{(3.42)}& {\mathrm{\Omega }}_A\equiv {\int }_{4\pi }\frac{A_e(\theta ,\varphi )}{A_0}d\mathrm{\Omega },\end{array}$$

其中 $A_0$ 为最大有效收集面积，因此

$$\begin{array}{}\text{(3.43)}& \boxed{{\displaystyle A_0{\mathrm{\Omega }}_A={\lambda }^2.}}\end{array}$$

GBT 的峰值收集面积大得多，这意味着它的波束立体角 ${\mathrm{\Omega }}_A$ 更小。

3.1.5 互易定理

许多天线的特性在发射和接收时都是相同的。通常情况下，计算发射天线的增益比计算接收天线的有效接收面积更容易，而且测量大型射电望远镜的接收功率模式通常比测量其发射功率模式更容易。因此，这种接收/发射的“互易性”大大简化了天线的计算和测量。互易性可以通过麦克斯韦方程组或热力学论证来理解。

伯克和格雷厄姆-史密斯 [20] 清楚地阐述了电磁学中互易性的情况：“天线可以被视为接收装置，收集入射的辐射场并将电信号传导到输出端子，或者作为发射系统向外发射电磁波。这两种情况是等价的，因为时间可逆性：麦克斯韦方程的解在时间反转时仍然有效。”

强互易定理指出：

如果在天线 A 的端子上施加电压，并在另一根天线 B 的端子上测量电流，那么如果同样的电压施加到 B 上，则在 A 的端子上会出现相等的电流（幅值和相位均相等）。(图 3.6)

它可以形式上从麦克斯韦方程推导（参见Wilson等人[116附录D]中的部分推导），或通过网络分析推导（参见Kraus等人[63《天线》，第252页）。

图3.6:强互反定理意味着发射机电压$V_A$和$V_B$与接收机电流相关，$I_B^{-1}{V}_A=I_A^{-1}{V}_B$ $I_A$和$I_B$，适用于任意对天线A和B。

大多数射电天文学应用不依赖于电压和电流的详细相位关系，因此只需使用弱互易定理，该定理将发射功率模式与接收收集面积的角依赖性联系起来：“天线的功率模式在发射和接收时相同”;即，

$$\begin{array}{}\text{(3.44)}& \boxed{{\displaystyle G(\theta ,\varphi )\propto A_e(\theta ,\varphi ).}}\end{array}$$

弱互易定理可以通过另一个简单的热力学思想实验来证明：一个天线连接到腔体内的匹配负载，腔体初始处于温度 $T$ 的平衡状态。天线同时从腔体壁接收功率，并传输由电阻器产生的功率。所有方向上传输的总功率必须等于从所有方向接收的总功率，因为天线与电阻器之间不能传递净功率；否则电阻器将无法保持在温度 $T$。此外，在任何方向上，天线接收和发射的功率必须相同，否则在发射功率大于接收功率的方向上，腔壁会升温，而在发射/接收功率比低的方向上，腔壁会冷却，从而导致违反热力学第二定律。

将 $G$ 和 $A_e$ 相关的比例常数可以从式 3.32 和 3.41 推导出来：

$$\begin{array}{}\text{(3.45)}& ⟨A_e⟩=\frac{{\lambda }^2}{4\pi }and⟨G⟩=1.\end{array}$$

因此，能量守恒和弱互易定理意味着

$$\begin{array}{}\text{(3.46)}& \boxed{{\displaystyle A_e(\theta ,\varphi )=\frac{{\lambda }^{2}G(\theta ,\varphi )}{4\pi }}}\end{array}$$

适用于任何天线。这个极其有用的方程显示了如何从发射功率模式计算接收功率模式，反之亦然。

示例。使用短振子发射功率模式（式 3.14）来计算作为接收天线的短振子的有效接收面积：

$$A_e(\theta ,\varphi )=$$$$\frac{{\lambda }^{2}G(\theta ,\varphi )}{4\pi }=\frac{{\lambda }^2}{4\pi }\frac{3{\sin }^2\theta }{2},$$$$A_e=$$$$\frac{3{\lambda }^2{\sin }^2\theta }{8\pi }.$$

短接收振子的有效接收面积不依赖于振子本身的长度 $l$，因为短振子（$l\ll \lambda$）的发射功率模式与 $l$ 无关。

3.1.6 天线温度

接收天线每单位频率的功率输出的一个方便实用单位是天线温度$T_A$。天线温度与用温度计测量的天线的物理温度无关；它只是一个匹配电阻器的温度，其每单位频率的热生成功率在低频奈奎斯特近似下（式 2.117）等于天线产生的功率：

$$\begin{array}{}\text{(3.47)}& \boxed{{\displaystyle T_A\equiv \frac{P_{\nu }}{k}.}}\end{array}$$

它被广泛使用的原因如下：

1. 天线温度的 K 是每单位带宽的一个方便的小功率。$T_A=1$ K 对应于 $P_{\nu }=k{T}_A=1.38\times {10}^{-23}J{K}^{-1}\cdot 1K=1.38\times {10}^{-23}W{Hz}^{-1}$。

2. 它可以通过与连接到接收机输入的冷热负载（匹配电阻器的另一种说法）直接比较来进行校准。

3. 接收机噪声的单位也是K，因此将信号的K值与接收机噪声的K值进行比较，可以方便地比较信号和噪声功率。

将式 3.35 和 3.47 结合起来，可以得出一个未极化点源的通量密度 $S$ 会使天线温度增加

$$\begin{array}{}\text{(3.48)}& \boxed{{\displaystyle T_A=\frac{P_{\nu }}{k}=\frac{A_e{S}_{\nu }}{2k},}}\end{array}$$

其中 $A_e$ 是有效接收面积。通常将射电望远镜的点源灵敏度以“开尔文每詹斯基”表示比以有效接收面积（m${}^2$）表示更方便。对应于灵敏度 $1K{Jy}^{-1}$ 的有效接收面积为

$$\begin{array}{}\text{(3.49)}& A_e=\frac{2k{T}_A}{S_{\nu }}=\frac{2\cdot 1.38065\times {10}^{-23}J{K}^{-1}\cdot 1K}{{10}^{-26}W{m}^{-2}{Hz}^{-1}}=2761m^2.\end{array}$$

在任意辐射场 $I_{\nu }(\theta ,\varphi )$ 中，式 3.37 变为

$$\begin{array}{}\text{(3.50)}& P_{\nu }=\frac{1}{2}{\int }_{4\pi }{A}_e(\theta ,\varphi )I_{\nu }(\theta ,\varphi )d\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

使用式 3.47 将 $P_{\nu }$ 替换为天线温度 $T_A$ 并插入 $I_{\nu }(\theta ,\varphi )=2k{T}_b(\theta ,\varphi )/{\lambda }^2$（式 2.33）得到

$$k{T}_A$$$$=\frac{1}{2}{\int }_{4\pi }{A}_e(\theta ,\varphi )\frac{2k}{{\lambda }^2}{T}_b(\theta ,\varphi )d\mathrm{\Omega },$$

$$\begin{array}{}\text{(3.51)}& T_A\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.52)}& =\frac{1}{{\lambda }^2}{\int }_{4\pi }{A}_e(\theta ,\varphi )T_b(\theta ,\varphi )d\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

在一个非常扩展且整个波束几乎具有恒定 $T_b$ 的源的极限情况下，

$$\begin{array}{}\text{(3.53)}& T_A=\frac{T_b}{{\lambda }^2}{\int }_{4\pi }{A}_e(\theta ,\varphi )d\mathrm{\Omega }\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(3.54)}& \boxed{{\displaystyle T_A=T_b.}}\end{array}$$

用文字来说，由远大于天线波束的平滑源产生的天线温度等于源的亮温。

如果一个无损天线指向一个占据固体角 ${\mathrm{\Omega }}_s$ 且小于波束、亮温均匀为 $T_b$ 的紧凑源，则：

$$\begin{array}{}\text{(3.55)}& T_A=\frac{A_0{T}_b{\mathrm{\Omega }}_s}{{\lambda }^2},\end{array}$$

其中 $A_0$ 是轴向有效集电面积。代入 $A_0{\mathrm{\Omega }}_A={\lambda }^2$（式 3.43）得到结果:

$$\begin{array}{}\text{(3.56)}& \boxed{{\displaystyle \frac{T_A}{T_b}=\frac{{\mathrm{\Omega }}_s}{{\mathrm{\Omega }}_A}.}}\end{array}$$

用文字说明，天线温度等于源亮温度乘以源填充的波束立体角的比例。一个覆盖波束立体角1%的 $T_b={10}^4$ K 源将使天线温度增加100 K。这个比值 $({\mathrm{\Omega }}_s/{\mathrm{\Omega }}_A)$ 被称为波束填充因子。

天线的主波束定义为包含主要响应直到第一个零点的区域；该区域之外的响应称为旁瓣，或者在远离主波束的位置称为杂散辐射。主波束立体角${\mathrm{\Omega }}_{MB}$ 定义为

$$\begin{array}{}\text{(3.57)}& \boxed{{\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{MB}\equiv \frac{1}{G_0}{\int }_{MB}G(\theta ,\varphi )d\mathrm{\Omega }.}}\end{array}$$

位于主波束内的总波束立体角的比例称为主波束效率，或宽泛地称为波束效率：

$$\begin{array}{}\text{(3.58)}& \boxed{{\displaystyle {\eta }_B\equiv \frac{{\mathrm{\Omega }}_{MB}}{{\mathrm{\Omega }}_A}.}}\end{array}$$

3.2 反射面天线

3.2.1 抛物面反射器

在短波长下用于射电天文学的天线，必须具有远大于${\lambda }^2/(4\pi )$各向同性天线的收集面积，并且比短偶极子提供的角分辨率高得多。由于在波长约$\lambda <1$米的情况下偶极子阵列不切实际，大多数射电望远镜使用大型反射器将能量收集并聚焦到它们的小型馈源天线上，例如波导喇叭或由小型反射器支撑的偶极子，这些天线连接到接收器。最常见的反射器形状是旋转抛物面，因为它可以将来自远处点源的平面波聚焦到单一的焦点上。

为了将平面波聚焦到一个点上，反射器必须保持轴上的平面波前的所有部分在其焦点处相位一致。因此，到焦点的总路径长度必须相同，这一要求足以确定所需反射表面的形状。显然，该表面必须绕其轴线旋转对称。在任意包含轴线的平面内，该表面看起来像图 3.7 中的曲线。

图3.7:一个包含抛物面反射器轴的平面，焦距为 $f$。从远处点源发出的平面波前显示为与 $z$ 轴垂直的虚线。从高于抛物面的顶点（点 $r=0$, $z=0$） $h$ 的波前出发，到反射器向下并到 $z=f$ 处主焦点的射线路径（虚线）在所有径向偏移 $r$ 上的长度必须相等。

恒定路径长度的要求可以通过将从任意高度 $h$ 到反射器再回到高度 $f$ 的主焦点的轴上路径长度 $(f+h)$ 与轴外路径长度相等来表示：

$$\begin{array}{}\text{(3.59)}& (f+h)=\sqrt{r^2+{(f-z)}^2}+(h-z).\end{array}$$

这得出反射器高度 $z$ 作为半径 $r$ 的函数:

$$\sqrt{r^2+{(f-z)}^2}=f+z,$$$$r^2+f^2+z^2-2fz=f^2+z^2+2fz;$$

结果是

$$\begin{array}{}\text{(3.60)}& \boxed{{\displaystyle z=\frac{r^2}{4f}.}}\end{array}$$

这是一个抛物面的方程，其焦距为 $f$。

反射器的焦距 $f$ 与直径 $D$ 的比值称为 $\mathbf{f}/\mathbf{D}$比率或焦比。注意，反射天线的增益、收集面积和波束宽度仅通过 $f/D$ 对照明渐减的影响而对 $f/D$ 的依赖性很弱且间接。原则上，$f/D$ 对望远镜设计者来说是一个自由参数，但在实践中它是受约束的。如果反射器 $f/D$ 太高，为了在大型射电望远镜的焦点处支撑馈源或次反射镜所需的支撑结构会变得非常长且笨重。因此，大型射电望远镜通常具有 $f/D\approx 0.4$，比光学望远镜的典型焦比低一个数量级。低 $f/D$ 的缺点是视场小。焦椭球体是围绕精确焦点的体积，在该体积内仍然保持在合理的焦点范围内，而焦圆则由焦椭圆与 $z=f$ 横截面的交点定义。Ruze [96] 证明，焦圆的角半径与 ${(f/D)}^2$ 成正比，并且只有少数（约七个）离散馈电器可以适合 $f/D\approx 0.4$ 抛物面天线的焦圆内。大型馈电器阵列或成像相机需要更大的 $f/D$ 比率，这可以通过使用更浅的抛物面或者使用放大次反射面来增加有效焦距来获得。

大多数射电望远镜的主反射镜是圆形抛物面或其部分，原因如下：

1. 反射天线的有效接收面积$A_e$可以接近其投影几何面积$A=\pi D^2/4$。

2. 它们在电气上结构简单（例如，与偶极子相控阵相比）。

3. 单个反射面可以在宽频范围内工作。改变频率只需要更换位于焦点的馈源天线和接收器，而不需要建立整个新的射电望远镜。

3.2.2 远场距离

一个点源必须离得多远，接收到的波才满足它们在反射面上近似为平面的假设？答案取决于波长 $\lambda$ 和反射面直径 $D$。如图 3.8 所示，点源在一个有限距离 $R$ 处发出的球面波到达一个平面孔径，这是一个覆盖反射面的虚拟圆孔。例如，它可以位于图 3.7 所示的平面 $z=h$。

图3.8:位于距离 $R$ 的点源发出的球面波前（虚线圆）在直径为 $D$ 的孔径边缘处偏离平面 $\mathrm{\Delta }$。

从平面波出发的最大偏离 $\mathrm{\Delta }$ 出现在孔径的边缘。远场距离$R_{ff}$ 是通过要求 $\mathrm{\Delta }<\lambda /16$ 来某种程度上任意定义的。在孔径边缘，勾股定理给出

$$\begin{array}{}\text{(3.61)}& R^2={(R-\mathrm{\Delta })}^2+{\left(\frac{D}{2}\right)}^2.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(3.62)}& R=\frac{\mathrm{\Delta }}{2}+\frac{D^2}{8\mathrm{\Delta }}.\end{array}$$

在 $\mathrm{\Delta }\ll D$ 极限下，我们有 $\mathrm{\Delta }/2\ll D^2/(8\mathrm{\Delta })$ 且

$$\begin{array}{}\text{(3.63)}& R\approx \frac{D^2}{8\mathrm{\Delta }}.\end{array}$$

根据 $\mathrm{\Delta }=\lambda /16$ 标准，远场距离为

$$\begin{array}{}\text{(3.64)}& \boxed{{\displaystyle R_{ff}\approx \frac{2D^2}{\lambda }.}}\end{array}$$

如果 $R<R_{ff}$，来自反射器偏轴部分的波会产生显著的路径长度误差，从而引入相位误差，降低有效接收面积并恶化天线方向图。

例子。位于格林银行的望远镜（$D=100$ m）在 $\lambda =1$ cm 观测时的远场距离是多少？式 3.64 给出

$$R_{ff}=\frac{2{(100m)}^2}{1cm}=\frac{2\times {10}^4{m}^2}{0.01m}=2\times {10}^{6}m=2000km.$$

如此大的远场距离使得在地面上测量GBT天线的波束模式变得不切实际。为了使用射电全息技术测量GBT反射面的小误差，有必要观测轨道高度为36,000公里的地球静止卫星。同样，对于像Arecibo反射面这种大型雷达天线，确定发射功率模式的最简便方法是在远场扫描一个天体点源，并利用互易定理将发射和接收模式等同起来。

3.2.3 孔径天线的模式

在光学中，术语孔径指的是所有光线通过的开口。例如，抛物面反射天线的孔径将是一个平面圆，它垂直于来自远处点源的光线，并刚好覆盖抛物面（图 3.9）。当孔径垂直于视线时，来自远处点源的平面波的相位在孔径平面上将保持恒定。

图3.9:与直径为 $D$ 的抛物面天线盘相关的孔径平面。

孔径的另一个例子是波导喇叭天线的口部（图 3.10）。

图3.10:“Doc” Ewen 正看向用于发现 $\lambda$ = 21 厘米中性氢线的喇叭天线矩形孔口。图片来源：NRAO/AUI/NSF。

如何计算孔径天线的波束模式或作为方向函数的功率增益？为了简化，首先考虑宽度为 $D$ 的一维孔径（图 3.11），并计算远处 ($R\gg R_{ff}$) 点的电场模式。

图3.11:一维线性孔径的坐标系，跨越 $-D/2<x<+D/2$。对于远离孔径中心的光源 ($R\gg D$)，光源与距离孔径中心 $|x|$ 处的任何孔径元件之间距离 $r$ 的相对变化很小，因此式 3.66 分母中的变量 $r(x)$ 可以用常数 $R$ 代替。然而，孔径上 $r(x)$ 的变化可能远大于波长 $\lambda$，因此式 3.66 中振荡的分子不能用常数代替。

当用于发射天线时，馈电可以用固定频率为 $\nu =\omega /(2\pi )$ 的正弦波以及在孔径上变化的电场强度 $g(x)$ 来照射孔径天线。这种照射会在反射器中感应电流。电流将随位置和时间变化：

$$\begin{array}{}\text{(3.65)}& I\propto g(x)\exp (-i\omega t).\end{array}$$

比例常数暂时无关紧要；它可以稍后通过能量守恒来计算。惠更斯原理断言，光阑可以被视为由许多小元件组成，每个元件单独作为小天线工作。惠更斯原理实际上适用于任何类型的波，例如声波。整个光阑在远处产生的电场just是这些小天线的元电场的矢量和。每个位于 $x$ 的元件从 $x$ 延伸到 $x+dx$ 的电场为

$$\begin{array}{}\text{(3.66)}& df\propto g(x)\frac{\exp (-i2\pi r(x)/\lambda )}{r(x)}dx,\end{array}$$

其中 $r(x)$ 是源与光阑元件之间的距离（图 3.11）。在远场情况下（式 3.64），夫琅禾费近似

$$\begin{array}{}\text{(3.67)}& r\approx R+x\sin \theta \end{array}$$

是有效的。这个方程通常写成如下形式

$$\begin{array}{}\text{(3.68)}& r\approx R+xl,\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(3.69)}& \boxed{{\displaystyle l\equiv \sin \theta .}}\end{array}$$

对于大孔径相关的小角度 $\theta \ll 1$ 弧度，$l=\sin \theta \approx \theta$。

在较远的距离处，该量

$$\begin{array}{}\text{(3.70)}& \frac{1}{r}\approx \frac{1}{R}\end{array}$$

在整个孔径上几乎是恒定的，可以被吸收到式 3.66 中的比例常数中。尽管 $\exp (-i2\pi R/\lambda )$ 是一个常数，因为 $R$ 是固定的，但式 3.66 分子中 $r=R+xl$ 的可变部分 $xl$ 在任何距离上都不能忽略：

$$\begin{array}{}\text{(3.71)}& df\propto g(x)\exp (-i2\pi xl/\lambda )dx.\end{array}$$

当 $\theta \ne 0$ 时，相位 $2\pi xl/\lambda \approx 2\pi x\sin \theta /\lambda$ 在整个孔径上线性变化，并且孔径的不同部分对总电场 $f(l)$ 产生相长或相消。定义

$$\begin{array}{}\text{(3.72)}& \boxed{{\displaystyle u\equiv \frac{x}{\lambda }}}\end{array}$$

以波长为单位表示孔径上的位置得到

$$\begin{array}{}\text{(3.73)}& \boxed{{\displaystyle f(l)={\int }_{aperture}g(u)e^{-i2\pi lu}du.}}\end{array}$$

用文字来说，这个非常重要的方程表明，在远场，一个孔天线的电场分布 $f(l)$ 是照射到该孔的电场分布 $g(u)$ 的傅里叶变换（附录 A.1）。

3.2.4 均匀照明孔的电场和功率分布

宽度为 $D$ 的一维均匀照明孔在波长 $\lambda$ 下的电场分布是什么？均匀照明意味着照射强度在整个孔上都是恒定的：

$$g(u)=constant,-\frac{D}{2\lambda }<u<+\frac{D}{2\lambda }.$$

这个问题最好分两步来回答：首先找到单位孔径（$D=\lambda$）的远场模式，然后利用傅里叶变换的相似性定理（式 A.11）将第一步的结果按比例应用到任意大小的孔径上。

单位矩形函数定义为

$$\begin{array}{}\text{(3.74)}& \mathrm{\Pi }(u)\equiv 1,-1/2<u<+1/2,\end{array}$$

在其他情况下为 $\mathrm{\Pi }(u)=0$。该函数符号（一个大写的 π）容易记住，因为它看起来像图 3.12 顶部面板中显示的函数图形。

图3.12:符号 $\mathrm{\Pi }$ 的形状与它所表示的单位矩形函数相同。函数 $sinc(l)\equiv \sin (\pi l)/(\pi l)$ 是单位矩形函数的傅里叶变换，也是均匀照明单位孔径的电场分布。均匀照明单位孔径的功率分布显示在底部面板上。对于大的 ($D\gg \lambda$) 孔径，零点位于 $l=\pm 1,\pm 2,\dots$，出现在角度 $\theta \approx \pm \lambda /D,\pm 2\lambda /D,\dots .$

将 $\mathrm{\Pi }(u)$ 代入公式 3.73 得到均匀照明单位孔径的场分布 $f(l)$：

$$\begin{array}{}\text{(3.75)}& f(l)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Pi }(u)e^{-i2\pi lu}du.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(3.76)}& f(l)={\int }_{-1/2}^{+1/2}{e}^{-i2\pi lu}du=\frac{e^{-i2\pi lu}}{-i2\pi l}{|}_{-1/2}^{+1/2}=\frac{e^{-i\pi l}-e^{i\pi l}}{-i2\pi l}.\end{array}$$

接下来，对数学恒等式进行微分（附录 B.3）

$$e^{i\pi l}=$$$$\cos (\pi l)+i\sin (\pi l),$$$$e^{-i\pi l}=$$$$\cos (\pi l)-i\sin (\pi l)$$

以推导出

$$e^{i\pi l}-e^{-i\pi l}=2i\sin (\pi l).$$

将此结果代入公式 3.76 得到

$$\begin{array}{}\text{(3.77)}& f(l)=\frac{-2i\sin (\pi l)}{-2i\pi l}=\frac{\sin (\pi l)}{(\pi l)}\equiv sinc(l).\end{array}$$

有用的sinc 函数定义在式 3.77 中，如图 3.12 中的中间面板所示绘制。

功率模式 $p(l)$ 是场模式 $f(l)$ 的平方。均匀照明单位孔的功率模式 $p(l)={sinc}^2(l)$ 绘制在图 3.12 的底部面板中。功率模式在 $l=\pm 1$ 的第一个零点之间的中心峰被称为主瓣。较小的峰被称为旁瓣。它们由功率模式在 $l=\pm 1,\pm 2,\dots .$ 的零点或零值分隔。

接下来应用强大的相似性定理于傅里叶变换：如果 $f(l)$ 是 $g(u)$ 的傅里叶变换，则

$$\frac{1}{|a|}f\left(\frac{l}{a}\right)$$

是 $g(au)$ 的傅里叶变换，其中 $a\ne 0$ 是无量纲的缩放因子。根据相似定理，使一个函数 $g$ 变宽（$0<a<1$）或变窄（$a>1$），其傅里叶变换 $f$ 分别会变窄且增高，或变宽且降低，高度总是保持变换下的面积不变。因此，孔径天线的波束宽度与孔径的波长大小成反比，并且轴向场强与孔径的波长大小成正比。

对于操作波长为 $\lambda$ 的宽度为 $D$ 的均匀照明一维孔径，其缩放因子为 $a=\lambda /D$，因此电场模式变为

$$f(l)=\left(\frac{D}{\lambda }\right)\frac{\sin (\pi lD/\lambda )}{(\pi lD/\lambda )}\propto \frac{D}{\lambda }sinc\left(\frac{lD}{\lambda }\right).$$

如果孔径很大（$D/\lambda \gg 1$），相关角度 $\theta$ 非常小（$\theta \ll 1$ 弧度），以至于 $l=\sin \theta \approx \theta$ 并且

$$\begin{array}{}\text{(3.78)}& \boxed{{\displaystyle f(\theta )=\frac{D}{\lambda }sinc\left(\frac{\theta D}{\lambda }\right).}}\end{array}$$

功率图案与电场图案的平方成正比，所以

$$P(l)\propto {\left(\frac{D}{\lambda }\right)}^2{sinc}^2\left(\frac{lD}{\lambda }\right).$$

如果 $\theta \ll 1$ 弧度，那么

$$\begin{array}{}\text{(3.79)}& \boxed{{\displaystyle P(\theta )={\left(\frac{D}{\lambda }\right)}^2{sinc}^2\left(\frac{\theta D}{\lambda }\right).}}\end{array}$$

射电天文学家使用半功率点之间的角度来指定主波束的角宽，称其为半功率波束宽度（HPBW）或者半最大点全宽（FWHM）。大型（$D\gg \lambda$）一维均匀照明孔径的狭窄波束宽度 ${\theta }_{HPBW}\ll 1rad$ 满足

$$\begin{array}{}\text{(3.80)}& P({\theta }_{HPBW}/2)=\frac{1}{2}={sinc}^2\left(\frac{{\theta }_{HPBW}D}{2\lambda }\right),\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.81)}& 0.443\approx \frac{{\theta }_{HPBW}D}{2\lambda },\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.82)}& {\theta }_{HPBW}\approx 0.89\frac{\lambda }{D}.\end{array}$$

相似定理意味着一般的缩放关系

$$\begin{array}{}\text{(3.83)}& {\theta }_{HPBW}\propto \frac{\lambda }{D}.\end{array}$$

比例常数会随着光照渐变略有变化。即使是有限尺寸的理想孔径天线，其分辨率也是有限的，受衍射限制，即通过有限孔径的光线扩散，而式 3.82 指定了均匀照明孔径天线的衍射极限分辨率。

弱互易定理（第 3.1.5 节）指出，对孔径天线发射功率模式的前述分析，同样可以得出其接收功率模式，或者说 $A_e$ 随方向的变化。在接收方面，功率模式的对应物称为点源响应。对于均匀照明的孔径，当以角度 $\theta$ 扫描射电望远镜波束经过一个点源时，天线温度将随 ${sinc}^2(\theta )$ 变化，而半功率响应的宽度将等于发射 HPBW。接收 HPBW 有时被称为望远镜的分辨能力，因为由 HPBW 分隔的两个相等点源，可以通过瑞利判据刚好被分辨，即总响应在两个点源之间的中点处出现轻微最小值。

3.2.5 具有渐缩照明的电场和功率模式

实际的馈源，例如小波导喇叭或由小副反射器支撑的半波偶极子，无法均匀照亮大孔径。它们照明的更好近似是余弦渐缩的场模式（余弦平方渐缩的功率模式）

$$\begin{array}{}\text{(3.84)}& g(u)=\frac{\pi }{2}\cos (\pi u),-1/2<u<+1/2,\end{array}$$

以及 $g(u)=0$ 等（图 3.13）。式 3.84 中的 ($\pi /2$) 归一化因子确保

$$\begin{array}{}\text{(3.85)}& {\int }_{-1/2}^{+1/2}g(u)du=1.\end{array}$$

一维单位孔径的相应场模式为

$$\begin{array}{}\text{(3.86)}& f(l)={\int }_{-1/2}^{+1/2}\frac{\pi }{2}\cos (\pi u)e^{-i2\pi lu}du.\end{array}$$

该傅里叶变换可按如下方法计算：

$$f(l)$$

$$\begin{array}{}\text{(3.87)}& =\frac{\pi }{4}{\int }_{-1/2}^{+1/2}(e^{i\pi u}+e^{-i\pi u})e^{-i2\pi lu}du\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.88)}& =\frac{\pi }{4}[\frac{e^{i\pi (1-2l)u}}{i\pi (1-2l)}{|}_{-1/2}^{+1/2}+\frac{e^{-i\pi (1+2l)u}}{-i\pi (1+2l)}{|}_{-1/2}^{+1/2}]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.89)}& =\frac{\pi }{4}\left[\frac{e^{i\pi (1/2-l)}-e^{-i\pi (1/2-l)}}{i2\pi (1/2-l)}+\frac{e^{i\pi (1/2+l)}-e^{-i\pi (1/2+l)}}{i2\pi (1/2+l)}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.90)}& =\frac{\pi }{4}\left[\frac{2i\sin [\pi (1/2-l)]}{i2\pi (1/2-l)}+\frac{2i\sin [\pi (1/2+l)]}{i2\pi (1/2+l)}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.91)}& =\frac{\pi }{4}\left[\frac{\cos (\pi l)}{\pi (1/2-l)}+\frac{\cos (\pi l)}{\pi (1/2+l)}\right]=\frac{\pi }{4}\cos (\pi l)\left(\frac{\pi }{{\pi }^2/4-{\pi }^2{l}^2}\right)\end{array}$$

图3.13:余弦锥形场照射 $g(u)$（顶部）在单位孔径上产生了场分布 $f(l)$ 和功率分布 $P(l)$。$P(l)$ 的低旁瓣只有在 $P(dB)$ 的图中才能清楚看到（底部）。

以产生场分布

$$\begin{array}{}\text{(3.92)}& f(l)=\frac{\cos (\pi l)}{1-4l^2}\end{array}$$

对于具有余弦锥形照射的一维单位孔径，其照射由式 3.84 给出。场分布和功率分布

$$\begin{array}{}\text{(3.93)}& P(l)={[f(l)]}^2={\left[\frac{\cos (\pi l)}{1-4l^2}\right]}^2\end{array}$$

都显示在图 3.13 中。旁瓣非常微弱，需要 $P(dB)=10{\log }_{10}(P)$ 的图才能清楚显示它们（图 3.13 的底部面板）。

锥形衰减会增加半功率波束宽度。如果 $D\gg \lambda$，则归一化功率分布为

$$\begin{array}{}\text{(3.94)}& P(\theta )={\left[\frac{\cos (\pi \theta D/\lambda )}{1-4{(\theta D/\lambda )}^2}\right]}^2,\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(3.95)}& P\left(\frac{{\theta }_{HPBW}}{2}\right)=\frac{1}{2}={\left[\frac{\cos [\pi {\theta }_{HPBW}D/(2\lambda )]}{1-4{[{\theta }_{HPBW}D/(2\lambda )]}^2}\right]}^2\end{array}$$

可以通过数值方法求解得到

$$\begin{array}{}\text{(3.96)}& \boxed{{\displaystyle {\theta }_{HPBW}\approx 1.2\frac{\lambda }{D}.}}\end{array}$$

这个波束宽度是大多数射电望远镜的典型值。

如图 3.13上面板所示的孔径边缘照明的完全锐利截止在实践中无法实现。任何超出反射面的照明都称为溢出。对于接收天线来说，朝下看孔径的主焦点馈源也会看到来自周围地面的溢出辐射。大多数土壤是良好的吸收体，会以环境温度发射黑体辐射$T\sim 300K$，而且地面辐射可以显著增加射电望远镜的系统噪声温度。环绕阿雷西博反射面 (图 8.2) 的 15 米高地面屏蔽的目的是拦截大部分溢出辐射并将其重定向到寒冷的天空，以便最大限度地降低系统温度。

3.3 二维孔径天线

3.3.1 二维孔径的场分布

用于证明一维孔径的场分布是一维孔径场照明的傅里叶变换的方法 (公式 3.73) 可以很容易地推广到更实际的二维孔径情况：

$$\begin{array}{}\text{(3.97)}& \boxed{{\displaystyle f(l,m)\propto {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(u,v)e^{-i2\pi (lu+mv)}dudv,}}\end{array}$$

其中 $m$ 是 $x$ 轴上 $l$ 的 $y$ 轴类比，且

$$\begin{array}{}\text{(3.98)}& v\equiv \frac{y}{\lambda }.\end{array}$$

用文字来说，式 3.97 表示二维光阑的电场分布是光阑场照明的二维傅里叶变换。

3.3.2 均匀照明的矩形光阑

图3.14:一个二维矩形光阑，边长为 $D_x$ 和 $D_y$。在光阑平面上将长度除以波长 $\lambda$，得到归一化坐标 $u\equiv x/\lambda$ 和 $v\equiv y/\lambda$。从原点到任意远处点的方向可以用 $l\equiv \sin {\theta }_x$ 和 $m\equiv \sin {\theta }_y$ 来指定，其中 ${\theta }_x$ 是与 $(y,z)$ 平面的夹角，${\theta }_y$ 是与 $(x,z)$ 平面的夹角。

均匀照明的一维孔径的二维对应物是具有边长 $D_x$ 和 $D_y$ 的均匀照明矩形孔径。在孔径平面上将长度除以波长 $\lambda$ 可以得到归一化坐标 $u\equiv x/\lambda$ 和 $v\equiv y/\lambda$。从 $(u,v)$ 平面原点到任意远处点的方向可以由 $l\equiv \sin {\theta }_x$ 和 $m\equiv \sin {\theta }_y$ 指定，其中 ${\theta }_x$ 是与 $(y,z)$ 平面的角度，${\theta }_y$ 是与 $(x,z)$ 平面的角度（图 3.14）。如果孔径上的照明 $g(x,y)$ 是恒定的，则傅里叶变换中对 $u$ 和 $v$ 的积分是可分离的，并且

$$\begin{array}{}\text{(3.99)}& f(l,m)\propto sinc\left(\frac{l{D}_x}{\lambda }\right)sinc\left(\frac{m{D}_y}{\lambda }\right).\end{array}$$

对电场模式求平方得到相对功率模式（峰值归一化为 1）。

$$\begin{array}{}\text{(3.100)}& P_n(l,m)={sinc}^2\left(\frac{l{D}_x}{\lambda }\right){sinc}^2\left(\frac{m{D}_y}{\lambda }\right).\end{array}$$

任何方向的绝对功率增益 $G$ 可以通过调用能量守恒从相对功率模式计算得出：

$$\begin{array}{}\text{(3.101)}& \int Gd\mathrm{\Omega }=4\pi =G_0{\int }_{-1}^{+1}{\int }_{-1}^{+1}{P}_n(l,m)dldm,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.102)}& 4\pi =G_0{\int }_{-1}^{+1}{\left[\frac{\sin (\pi l{D}_x/\lambda )}{\pi l{D}_x/\lambda }\right]}^{2}dl{\int }_{-1}^{+1}{\left[\frac{\sin (\pi m{D}_y/\lambda )}{\pi m{D}_y/\lambda }\right]}^{2}dm.\end{array}$$

将临时变量 $a$ 定义为

$$\begin{array}{}\text{(3.103)}& a\equiv \frac{\pi l{D}_x}{\lambda },soda=\frac{\pi D_x}{\lambda }dl,\end{array}$$

对于 $D_x\gg \lambda$，得到

$$\begin{array}{}\text{(3.104)}& {\int }_{-1}^{+1}{\left[\frac{\sin (\pi l{D}_x/\lambda )}{\pi l{D}_x/\lambda }\right]}^{2}dl\approx [{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{2}a}{a^2}da]\frac{\lambda }{\pi D_x}=\frac{\lambda }{D_x}\end{array}$$

因为方括号中定积分的值为 $\pi$。 [为了证明这一点，只需将雷利定理（式 A.7）应用于傅里叶变换对 $sinc(l)$（式 3.77）和 $\mathrm{\Pi }(u)$（式 3.74）。] 然后

$$\begin{array}{}\text{(3.105)}& 4\pi =G_0\frac{{\lambda }^2}{D_x{D}_y}.\end{array}$$

因此峰值功率增益为

$$\begin{array}{}\text{(3.106)}& G_0=\frac{4\pi D_x{D}_y}{{\lambda }^2},\end{array}$$

并且具有边长 $D_x$ 和 $D_y$ 的均匀照明矩形孔径的功率模式为

$$\begin{array}{}\text{(3.107)}& G=\frac{4\pi D_x{D}_y}{{\lambda }^2}{sinc}^2\left(\frac{l{D}_x}{\lambda }\right){sinc}^2\left(\frac{m{D}_y}{\lambda }\right),\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.108)}& G\approx \frac{4\pi D_x{D}_y}{{\lambda }^2}{sinc}^2\left(\frac{{\theta }_x{D}_x}{\lambda }\right){sinc}^2\left(\frac{{\theta }_y{D}_y}{\lambda }\right)\end{array}$$

当 ${\theta }_x$ 和 ${\theta }_y$ 远小于 1 弧度时。

一般来说，孔径天线的峰值功率增益与孔径的几何面积 $A_{geom}$（在此情况下为 $A_{geom}=D_x{D}_y$）成正比。比例常数对于均匀照明的孔径为 $4\pi /{\lambda }^2$，对于任何其他照明模式则稍小。

使用式 3.46

$$\begin{array}{}\text{(3.109)}& A_e=\frac{{\lambda }^{2}G}{4\pi },\end{array}$$

我们发现轴向有效接收面积为

$$\begin{array}{}\text{(3.110)}& A_0=\frac{{\lambda }^2{G}_0}{4\pi }=\frac{4\pi {\lambda }^2{D}_x{D}_y}{4\pi {\lambda }^2}=D_x{D}_y=A_{geom}.\end{array}$$

理想均匀照明孔径的峰值有效面积等于其几何面积，与波长无关。在任何其他照明衰减下，有效面积小于但与几何面积成正比。定义孔径效率${\eta }_A$ 为有效面积与几何面积之比是有益的：

$$\begin{array}{}\text{(3.111)}& \boxed{{\displaystyle {\eta }_A\equiv \frac{A_0}{A_{geom}}.}}\end{array}$$

因此，对于理想的均匀照明孔径为${\eta }_A=1$，否则为${\eta }_A<1$。大多数射电望远镜的孔径效率为${\eta }_A\le 70$%，尽管相控阵列馈源可以很好地控制照明，使得ASKAP（图 8.6）达到${\eta }_A\approx 80$%。

大型（$D\gg \lambda$）矩形波导喇叭天线几乎是均匀照射的未阻挡孔，因此它们的实际增益和有效接收面积可以准确计算。这使得它们对于测量强信号源（如仙女座 A 和天鹅座 A）的绝对通量密度，以及定义射电天文学家使用的实际通量密度尺度非常有用 [6]。

大多数与反射器和透镜相关的孔径是圆形的。均匀照明圆形孔径的功率模式被称为艾里图样。参见 http://www.olympusfluoview.com/java/resolution3d/index.html 获取一个交互式图，展示艾里图样如何随波长和孔径大小变化的行为。

3.3.3 高斯波束立体角和波束宽度

图3.15:大多数射电望远镜的波束接近高斯形，其波束宽度通常通过半功率点间的角度 ${\theta }_{HPBW}$ 来指定。横坐标：以半功率波束宽度单位表示的离波束中心偏移 $\theta$。纵坐标：归一化到峰值有效孔径 $A_0$ 的有效孔径 $A_e$。

对于任何实际的照明变 taper，波束立体角（式 3.42）

$${\mathrm{\Omega }}_A\equiv {\int }_{4\pi }\frac{A_e(\theta ,\varphi )}{A_0}d\mathrm{\Omega }$$

射电望远镜的波束立体角大约等于半功率波束宽度的平方 ${\theta }_{HPBW}$。事实上，大多数射电望远镜的波束几乎是高斯形的，可以写作

$$\begin{array}{}\text{(3.112)}& \frac{A_e}{A_0}=\exp (-x{\theta }^2),\end{array}$$

其中 $\theta$ 是相对于波束中心的角度，$x$ 是一个缩放因子，使得 $A_e/A_0=1/2$ 当 $\theta =\pm {\theta }_{HPBW}/2$（图 3.15）：

$$\begin{array}{}\text{(3.113)}& \frac{1}{2}=\exp \left[-x{\left(\frac{{\theta }_{HPBW}}{2}\right)}^2\right].\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(3.114)}& x=\frac{4\ln 2}{{\theta }_{HPBW}^2},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.115)}& \frac{A_e}{A_0}=\exp \left[-4\ln 2{\left(\frac{\theta }{{\theta }_{HPBW}}\right)}^2\right],\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(3.116)}& {\mathrm{\Omega }}_A={\int }_{\theta =0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{\varphi =0}^{2\pi }\exp \left[-4\ln 2{\left(\frac{\theta }{{\theta }_{HPBW}}\right)}^2\right]\theta d\varphi d\theta .\end{array}$$

对 $\varphi$ 积分并替换虚拟变量 $y=4\ln 2{(\theta /{\theta }_{HPBW})}^2$ 得到

$$\begin{array}{}\text{(3.117)}& {\mathrm{\Omega }}_A=2\pi \left(\frac{{\theta }_{HPBW}^2}{8\ln 2}\right){\int }_{y=0}^{\mathrm{\infty }}\exp (-y)dy,\end{array}$$

因此，高斯波束的波束立体角为

$$\begin{array}{}\text{(3.118)}& \boxed{{\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_A=\left(\frac{\pi }{4\ln 2}\right){\theta }_{HPBW}^2\approx 1.133{\theta }_{HPBW}^2.}}\end{array}$$

3.3.4 反射面精度要求

真正的射电望远镜并没有完全光滑的抛物面反射器。与最优拟合抛物面相比的小偏差可能由永久的制造误差、反射器倾斜时引起的重力形变、太阳加热导致的热变形以及强风引起的弯曲造成。存在某个最短波长${\lambda }_{min}$，低于此波长时，这些表面误差会严重降低反射器的性能，使望远镜无法使用。反射面效率${\eta }_s$被定义为实际反射器的功率增益除以具有相同尺寸和照明条件的理想抛物面反射器的功率增益。以下关于 ${\eta }_s$ 随着以波长为单位的 rms（均方根）表面误差 $(ϵ/\lambda )$ 变化的计算，是基于 Ruze [97] 的经典方法进行的。

图3.16:实际反射面（粗曲线）相对于最佳拟合抛物面（细曲线）的偏差 $ϵ$ 会降低短波长的性能（顶部）。由完美和不完美孔径的 $N$ 元件产生的电场 $E$ 向量和显示在左下方。不完美孔径的凸起会产生相位偏移 $\pm \delta \approx \pm 4\pi ϵ/\lambda$，从而降低电场向量和 $NE$ 到 $NE\cos \delta$（右下方）。

当实际反射面偏离最佳拟合抛物面距离为 $ϵ$（图 3.16）时，反射波的光程将会产生近似 $2ϵ$ 的误差，并且反射波的相位误差为 $\delta$（弧度），为

$$\begin{array}{}\text{(3.119)}& \delta \approx \frac{2\pi }{\lambda }(2ϵ)=\frac{4\pi ϵ}{\lambda }.\end{array}$$

一个过于简化的例子是，一个凹凸不平的表面，一半覆盖有高度为 $ϵ\ll \lambda$ 的小凸起，另一半覆盖有深度相同的凹陷 $ϵ$。然后，每个面积元对远场（电场）贡献（图 3.16）会减少一个因子 $\cos \delta$。在极限 $\delta \ll 1$ 弧度时，$\cos \delta \approx 1-{\delta }^2/2+\cdots$，并且

$$\begin{array}{}\text{(3.120)}& \frac{E(\delta )}{E(0)}\approx 1-\frac{{\delta }^2}{2}+\cdots ,\end{array}$$

因此相对功率增益为

$$\begin{array}{}\text{(3.121)}& \frac{G(\delta )}{G(0)}\approx {\left[\frac{E(\delta )}{E(0)}\right]}^2\approx 1-{\delta }^2\approx 1-{\left(\frac{4\pi ϵ}{\lambda }\right)}^2.\end{array}$$

这个粗略估算表明，表面误差必须比最短可用波长小一个数量级，这确实是一个严格的要求。

更现实的计算利用了这样一个事实：大多数误差大致具有高斯振幅分布。假设表面误差具有均方根为 $\sigma$ 的高斯概率分布 $P(ϵ)$：

$$\begin{array}{}\text{(3.122)}& P(ϵ)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{{ϵ}^2}{2{\sigma }^2}\right).\end{array}$$

那么相对场强可以通过对所有可能的 $ϵ$ 进行加权求和得到：

$$\begin{array}{}\text{(3.123)}& ⟨E/E(0)⟩\approx {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{4\pi ϵ}{\lambda }\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{{ϵ}^2}{2{\sigma }^2}\right)dϵ.\end{array}$$

将 $e^{iz}=\cos z+i\sin z$ 代入后，该积分变为一个更熟悉的形式，即高斯的傅里叶变换：

$$\begin{array}{}\text{(3.124)}& ⟨E/E(0)⟩\approx {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \left(-i\frac{4\pi ϵ}{\lambda }\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{\pi {ϵ}^2}{2\pi {\sigma }^2}\right)dϵ.\end{array}$$

注意 $i\sin z$ 部分会立即消失，因为它在一个本来对称的积分中是反对称的。为了让这看起来更熟悉，设 $s\equiv 2/\lambda$、$x\equiv ϵ$ 和 $a\equiv {(\sqrt{2\pi }\sigma )}^{-1}$。然后

$$\begin{array}{}\text{(3.125)}& ⟨E/E(0)⟩\approx {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-i2\pi sx)\exp \left(-\pi {(ax)}^2\right)dx.\end{array}$$

回忆一下 $f(x)=\exp (-\pi x^2)$ 的傅里叶变换是 $F(s)=\exp (-\pi s^2)$（附录 B.4），并应用相似性定理（式 A.11）得到

$$⟨E/E(0)⟩$$

$$\begin{array}{}\text{(3.126)}& =\frac{1}{|a|\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left[-\pi {\left(\frac{s}{a}\right)}^2\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.127)}& =\exp [-2{\pi }^2{\sigma }^2{s}^2]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.128)}& =\exp \left(-\frac{8{\pi }^2{\sigma }^2}{{\lambda }^2}\right).\end{array}$$

功率与 $E^2$ 成正比，因此反射面效率可以简单表示为

$$\begin{array}{}\text{(3.129)}& \boxed{{\displaystyle {\eta }_s=\exp [-{\left(\frac{4\pi \sigma }{\lambda }\right)}^2].}}\end{array}$$

式 3.129 通常称为Ruze 方程；其绘图如图 3.17 所示。

图3.17:当以波长为单位的表面均方根误差 $\sigma /\lambda$ 超过 $1/16\approx 0.06$ 时，表面效率 ${\eta }_s$ 迅速下降。

表面效率 ${\eta }_s$ 与光学天文学家用来指定光学像差或大气湍流导致峰值强度损失的Strehl 比率$S$ 密切相关。Strehl 比率通常以波长为单位的均方根波前误差 $\omega$ 来表示，该误差约为以波长为单位的均方根表面误差 $\sigma /\lambda$ 的两倍，因此式 3.129 表明

$$\begin{array}{}\text{(3.130)}& S=\exp [-{(2\pi \omega )}^2].\end{array}$$

用于射电望远镜合理工作的最短波长${\lambda }_{min}$的传统经验法则是

$$\begin{array}{}\text{(3.131)}& \sigma \approx \frac{{\lambda }_{min}}{16}\end{array}$$

因为在$\lambda ={\lambda }_{min}$时的表面效率仅为

$$\begin{array}{}\text{(3.132)}& {\eta }_s\approx \exp \left[-{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2\right]\approx 0.54\end{array}$$

并且在较短波长时呈指数下降。例如，直径为100米的GBT旨在工作在高达$\nu \approx 100$ GHz或${\lambda }_{min}\approx 3$ mm的频率。为了满足这一规格，偏离理想抛物面形状的均方根偏差不得超过$\sigma \approx 3mm/16\approx 200\mu$米，相当于两张纸的厚度。理想抛物面反射器的功率增益与${\nu }^2$成正比。如果反射面具有均方根为$\sigma$的高斯误差分布，那么其增益在低频时增加为${\nu }^2$，在

$$\begin{array}{}\text{(3.133)}& \lambda =4\pi \sigma ,\end{array}$$

处达到最大，并在高频时迅速下降。

3.3.5 指向精度要求

真实的射电望远镜指向并不完全精确。追踪目标源的小误差会降低在源方向上的增益，并增加对紧凑源的流量密度测量的不确定性。追踪误差在限制大型射电望远镜短波长性能方面，与表面误差一样重要。

大多数射电望远镜的功率模式在峰值附近几乎呈高斯分布。就半功率点之间的波束宽度而言 ${\theta }_{HPBW}$，偏离波束轴角度 $\rho$ 处的相对增益为

$$\begin{array}{}\text{(3.134)}& \boxed{{\displaystyle \frac{G}{G_0}=\exp [-4\ln 2{\left(\frac{\rho }{{\theta }_{HPBW}}\right)}^2].}}\end{array}$$

如果每个坐标（例如方位角或仰角）的单维跟踪误差服从均方根为 ${\sigma }_1$ 的高斯分布，则二维的跟踪误差 $\rho$ 服从瑞利分布

$$\begin{array}{}\text{(3.135)}& P(\rho )=\frac{\rho }{{\sigma }_1^2}\exp \left(-\frac{{\rho }^2}{2{\sigma }_1^2}\right).\end{array}$$

平均平方跟踪误差为

$$\begin{array}{}\text{(3.136)}& ⟨{\rho }^2⟩={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\rho }^{2}P(\rho )d\rho =2{\sigma }_1^2.\end{array}$$

二维跟踪误差的均方根值为 ${\sigma }_2=2^{1/2}{\sigma }_1$，因此较小的跟踪误差会按以下因子降低平均源上增益

$$\begin{array}{}\text{(3.137)}& ⟨G/G_0⟩={\left[1+4\ln 2{\left(\frac{{\sigma }_2}{{\theta }_{HPBW}}\right)}^2\right]}^{-1}.\end{array}$$

更重要的是，由跟踪误差引起的源上增益波动会对测量源辐亮度 $S$ 产生分数不确定度（见 http://wwwlocal.gb.nrao.edu/ptcs/ptcssn/ptcssn3.pdf）。

$$\begin{array}{}\text{(3.138)}& \frac{{\sigma }_S}{S}=\frac{z}{{(1+2z)}^{1/2}},\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(3.139)}& z\equiv 4\ln 2{\left(\frac{{\sigma }_2}{{\theta }_{HPBW}}\right)}^2,\end{array}$$

因此，均方根跟踪误差为 $0.2{\theta }_{HPBW}$ 将导致 10% 的均方根辐亮度不确定度。要达到 5% 的精度，需要 ${\sigma }_2/{\theta }_{HPBW}\approx 0.14$（或每个坐标 ${\sigma }_1/{\theta }_{HPBW}\approx 0.10$）。

例如，我们可以计算出在使用GBT 100米望远镜在$\nu =33$ GHz频率下进行5% rms误差的通量密度测量时兼容的最大跟踪误差（以角秒计）。根据式 3.138，${\sigma }_S/S=0.05$ 当 ${\sigma }_2/{\theta }_{HPBW}\approx 0.14$ 时。GBT 在 $\nu =33$ GHz ($\lambda \approx 9.1mm$) 的半功率波束宽度为

$$\begin{array}{}\text{(3.140)}& {\theta }_{HPBW}\approx \frac{1.2\lambda }{D}=\frac{1.2\cdot 0.0091m}{100m}\approx 1.09\times {10}^{-4}rad\approx 23arcsec.\end{array}$$

因此，总的跟踪误差必须小于 ${\sigma }_2=0.14\times 23arcsec=3.2arcsec$，或者在方位角和高度角上分别为 ${\sigma }_1\approx 2^{-1/2}{\sigma }_2\approx 2.2arcsec\approx {10}^{-5}rad$。

钢的热膨胀系数约为 ${10}^{-5}{C}^{-1}$，因此仅改变钢 GBT 支撑结构的温差 1 摄氏度，就可能产生 ${10}^{-5}rad\approx 2arcsec$ 的指向偏移。因此，高频观测者必须监控指向校准源，并大约每小时纠正一次 GBT 指向，特别是在晴天日出后。阵风也会降低指向精度，但它们的波动时间尺度要短得多。

3.4 波导

图3.18:上图显示了一个矩形波导的横截面，其内部宽度为 $a$（$x$ 方向），高度为 $b\le a/2$（$y$ 方向）。任何平行于导体壁的电场分量 $\overrightarrow{E}$ 必须在壁处为零，就像腔体内的辐射一样（图 2.16）。曲线表示电场强度的三种允许分布（称为模式）。下图为波导的平面图。它类似于图 2.18 所示的导电腔内的波。波长为 $\lambda$ 的辐射必须沿大箭头所示方向通过波导，以满足边界条件 $n_x=2a/{\lambda }_x=(2a/\lambda )\cos \alpha$，其中 $n_x=1,2,3,\dots$（式 2.66）。通常只使用所示的 TE10 模式，其具有 $n_x=1$（$a={\lambda }_x/2$）并且 $E=E_y$ 在高度方向上无变化（$n_y=0$）。

波导是用于在天线和接收器之间或接收器各部分之间传输电磁波的低损耗屏蔽“管”。最简单的波导是带有导电壁的空心矩形管（图 3.18，上方），在水平方向（$x$）上相隔 $a$，在垂直方向（$y$）上相隔 $b\le a/2$。在导电壁处，波导内部电场的平行分量必须为零。沿水平方向的三种允许的电场强度分布 $E$ 在图 3.18 上方面板中以曲线形式显示，这类似于图 2.16 中腔体驻波的情况。然而，通常只使用最长波长的主模（$n_x=1$），而高阶模（$n_x=2,3,\dots$）会被刻意抑制，因为它们在波导中以不同的群速度传播。

图 3.18的下方面板显示了主辐射模通过波导传播的平面图，波法线沿大箭头方向，波节（$|E|=0$）由虚线表示。它类似于图 2.18中显示的导电腔内的波。沿箭头方向在波导中传播的波长为$\lambda$的辐射必须满足边界条件 $n_x=2a/{\lambda }_x=(2a/\lambda )\cos \alpha$，其中 $n_x=1,2,3,\dots$（方程2.66）。当 $n_x=1$，${\lambda }_x/2=a=(\lambda /2)\cos \alpha$。

在波导中能够传播的最大波长（$\cos \alpha =1$）是截止波长

$$\begin{array}{}\text{(3.141)}& {\lambda }_c=2a,\end{array}$$

相应的最小频率

$$\begin{array}{}\text{(3.142)}& {\nu }_c=c/{\lambda }_c\end{array}$$

称为截止频率。波导是极其有效的高通滤波器。

沿波导传播的群速度为

$$\begin{array}{}\text{(3.143)}& v_g=c\sin \alpha =c{(1-{\cos }^2\alpha )}^{1/2}=c{\left[1-{\left(\frac{{\nu }_c}{\nu }\right)}^2\right]}^{1/2},\end{array}$$

当$\nu$接近${\nu }_c$（$\sin \alpha$接近0）时，随频率变化相当快。波导的相速度为$v_p=c^2/v_g\ge c$，因此导波长

$$\begin{array}{}\text{(3.144)}& {\lambda }_w=\frac{c}{\nu }{\left[1-{\left(\frac{{\nu }_c}{\nu }\right)}^2\right]}^{-1/2}\end{array}$$

比自由空间波长略大。

为了最小化色散（$v_g$随频率的变化），波导在低于$\nu \approx 1.25{\nu }_c$的频率下很少使用。具有$n_x=2,3,\dots$的高阶模式具有$\nu >2{\nu }_c,3{\nu }_c,\dots$的频率，并以不同的群速度传播。为了抑制这些模式，波导不用于频率$\nu >2{\nu }_c$，即$n_x=2$模式的截止频率。实际波导通常限制在频率$\nu <1.9{\nu }_c$范围内。要求$b\le a/2$确保$\lambda /2>b$适用于所有$\nu <2{\nu }_c$，因此$n_y=0$，因此只有TE10（横向电场，具有$n_x=1,n_y=0$）模式可以传播。TE10模式的电场是垂直极化的，其强度与$y$无关。

这些上限和下限频率的组合将大多数波导应用限制在一个倍频程的带宽内，不同尺寸的波导覆盖不同的倍频程。今天使用的许多波导波段名称最初是作为二战雷达波段的故意混淆的代号起源的。它们及其频率范围列在附录 F.5 中。例如，标准的 X 波段波导的内部尺寸为 $a=0.9inches\approx 2.286cm$, $b=0.4inches\approx 1.016cm$。其截止波长为 ${\lambda }_c=2a\approx 4.572cm$，截止频率为 ${\nu }_c=c/{\lambda }_c\approx 6.557GHz$。其名义频率范围从 $1.25{\nu }_c\approx 8.2GHz$ 到 $1.9{\nu }_c\approx 12.4GHz$。不幸的是，波导波段名称已经深深植入射电天文学术语中，以至于射电观测者无法避免它们，就像光学天文学家无法避免“星等”一样。

每个射电望远镜的馈源和接收机仅覆盖一个波导频段，因此需要多个馈源和接收机来覆盖望远镜本身更宽的有用频率范围。在甚大阵列（VLA）中，从1到50 GHz的频率范围由八组馈源和接收机覆盖，分属八个波导频段：L（1--2 GHz）、S（2--4 GHz）、C（4--8 GHz）、X（8--12 GHz）、Ku（12--18 GHz）、K（18--26.5 GHz）、Ka（26.5--40 GHz）和Q（40--50 GHz）。

3.5 射电望远镜

射电波段太宽（波长跨越五个数量级），无法通过单一望远镜设计有效覆盖。射电源的表面亮度和角尺寸变化范围更广，因此需要结合单天线望远镜和孔径合成干涉仪来探测和成像它们。建造一个能够接近适用于所有射电天文学的单一射电望远镜是不切实际的。

理想的射电望远镜应具有较大的接收面积以便探测微弱信号。任意天线在所有方向上平均的有效接收面积$A_e(\theta ,\varphi )$为（公式 3.41）

$$\begin{array}{}\text{(3.145)}& ⟨A_e⟩=\frac{{\lambda }^2}{4\pi },\end{array}$$

如此大的口径收集区域意味着在短波长下需要极具方向性的天线。只有在较长的波长（$\lambda >1$ 米）时，使用合理数量的小型、近似各向同性的元件（如偶极子）构建敏感天线才是可行的。詹斯基的 $\lambda \approx 15$ 米“线型”天线（图 1.7）是一个相控偶极子阵列。它在地平线附近产生宽广的扇形波束，但由于 ${\lambda }^2$ 非常大，因此具有很大的收集面积。在更高频率下，需要定向孔径天线以获得足够的灵敏度。

最简单的开口天线是波导喇叭。入射到开口的辐射通过锥形波导引导。在锥形喇叭的窄端有一个平行壁波导，在这个波导内部有一个四分之一波长的接地面垂直天线，它将电磁波转换为电流，并通过电缆发送到接收器。

喇叭天线几乎不会接收到地面辐射，因为与大多数抛物面天线不同，它们的口径没有被外部馈电器和馈电支撑结构部分阻挡，这些结构会把地面辐射散射到接收器中[81]。这种免于地面干扰的特性使彭齐亚斯和威尔逊能够显示贝尔实验室喇叭天线（图 3.19）的天顶天线温度在 GHz 时比预期高出 3.5 K——这是首次探测到宇宙微波背景辐射。

图3.19:1965 年，Penzias 和 Wilson 在新泽西州霍姆代尔的贝尔实验室使用的喇叭天线，用于发现 3 K 宇宙微波背景辐射。经 Alcatel-Lucent USA Inc. 许可转载。

波导角口的开口没有被任何馈电支撑结构阻挡，因此从基本原理计算角锥天线的增益比计算部分阻挡的反射天线的增益更容易。因此，射电天文学家使用小型角锥天线来测量像卡西欧伊姆A（Cas A）这样非常强的天体的绝对通量密度。使用大型抛物面天线进行观测的射电天文学家通常不测量天体的绝对通量密度，而只通过与次级校准源的比较测量它们的相对通量密度，这些次级校准源相对于Cas A的通量密度事先已知。Baars 等人详细描述了测量卡西奥佩亚 A（Cas A）绝对通量密度，并将其与适用于校准大型射电望远镜观测的较弱点源通量密度进行比较的繁复过程。[6]。

图3.20:位于西弗吉尼亚州格林班克的 140 英尺（43 米）望远镜是拥有赤道仪的最大望远镜。图片来源：NRAO/AUI/NSF。

大多数射电望远镜使用圆形抛物面反射面，以在宽频率范围内获得较大的接收面积和高角分辨率。由于馈源位于反射器轴上，馈源及其支撑支架部分挡住了落在反射器上的辐射路径。这种孔径遮挡会产生许多不良后果：

1. 有效接收面积减小，因为部分入射辐射被阻挡。

2. 由于旁瓣水平增加，波束模式退化。

3. 来自地面的辐射被馈源及其支撑结构散射，增加了系统噪声。

4. 来自太阳和主波束远处的人造射频干扰（RFI）源的辐射会与所需信号混合。

射电望远镜非常大，以至于高 $f/D$ 比率的抛物面是不切实际的；通常为 $f/D\approx 0.4$。因此，射电“天线盘”相对较深，如图 3.20 所示。低 $f/D$ 比率的另一个后果是在主焦点处视场非常小。大单盘的瞬时成像能力受到限制，因为能够放入微小焦点圆的接收器数量很少。

几乎所有的射电望远镜都采用方位-高度（Alt-Az）安装，由一个水平方位轨道组成，望远镜在该轨道上沿方位角旋转（方位角是在水平面从北向顺时针测量的角度），以及一个水平仰角轴，望远镜围绕该轴在高度或仰角方向倾斜（这两个名称都表示观测对象高于地平线的角度）。位于格林班克的140英尺望远镜在大型射电望远镜中独具特色，采用赤道仪安装（图 3.20）。赤道仪安装的优点是跟踪简单——赤纬轴固定，时角轴以恒定速度旋转以跟踪远处天体。(时角是越过子午线的角度，以小时为单位测量。)子午线是通过北极、南极和天顶的大圆。相反，天体源的高度角和方位角随时间非线性变化。当设计140英尺望远镜时，计算机执行实时计算以使高度-方位望远镜精确跟踪天体的能力仍存疑问。赤道式支架的缺点在于机械结构——倾斜的时角轭和带有巨大尾轴承的极轴非常难以制造和支撑。

图3.21:射电望远镜的横截面，绕 $z$ 轴旋转对称，并具有卡塞格林（Cassegrain）副反射器。来自遥远射电源的平行射线被一个圆形抛物面反射，其主焦点位于标记 $f_1$ 的点。凸形卡塞格林副反射器是位于主焦点下方的圆形双曲面。它将这些射线反射到位于副焦点 $f_2$ 的馈源，该副焦点位于抛物面顶点正上方。从主焦点观察主反射面的角度 $2{\theta }_1$ 远大于从副焦点观察副反射面的角度 $2{\theta }_2$，因此卡塞格林馈源必须比主馈源大得多。

图 3.20 清楚地显示了140英尺望远镜的卡塞格林光学系统。从主盘反射的辐射会在焦点下方的凸形卡塞格林次反射镜上进行第二次反射，然后传输到抛物面顶点附近的馈源喇叭和接收机。次反射镜系统相对于主焦系统有一些优势：

1. 放大的次反射镜可以倍增有效的 $f/D$ 比率；$f/D\sim 2$ 是典型数值。这大大增加了焦椭球的尺寸。多个馈源可以位于焦椭球内，以产生多个同时波束，从而实现更快的成像。

2. 次反射器的直径为若干波长，因此可用于调整照明锥度，以优化高孔径效率与低旁瓣之间的权衡。

3. 接收器可以放置在顶点附近，而不是焦点处，这样更容易进行访问。

4. 馈源溢出的辐射被引导向寒冷的天空，而不是温暖的地面，从而降低系统的整体温度。

5. 次反射器可以快速地摆动（前后摇动），以将波束在天空中的两个相邻位置之间切换。这种时空差分观测可用于去除接收器随时间漂移的基线和大尺度的空间大气噪声波动。

6. 次反射镜可以倾斜以选择次焦点的多个馈源之一，从而可以快速改变观测频段。

次反射镜系统有一些缺点：

1. 为了产生照亮次反射镜所需的窄波束，需要相对较大的馈源，而次反射镜在顶点视角下通常只占据很小的角度。

2. 由反射镜和次反射镜形成的泄漏腔中的驻波会在强连续射电源的观测光谱中引起频率周期为 $\mathrm{\Delta }\nu \approx c/(2f)$ 的正弦波纹。通过沿径向交替使次反射镜离焦 $\pm \lambda /8$，并对两个次反射镜位置的数据进行平均，可以将这些波纹最小化。

3. 卡塞格林次反射镜会阻挡主焦点位置，因此当卡塞格林次反射镜到位时，不能使用主焦点馈源。

带有卡塞格林次反射镜的对称射电望远镜的几何图如图 3.21 所示。主反射面的抛物面形状是通过要求所有与 $z$ 轴平行的入射光线到达 $f_1$ 的主焦点时行进相同距离来确定的。同样，次反射面形状的确定是基于这些光线到达次焦点$f_2$ 时行进相同距离的要求。对于位于主焦点下方的次反射镜，所需形状为双曲面，其长轴与抛物面长轴重合。其方程

$$\begin{array}{}\text{(3.146)}& \frac{z^2}{a^2}-\frac{r^2}{b^2}=1\end{array}$$

使用 $a>b$ 定义了这样的双曲面。从双曲面上的任意一点到 $f_2$ 的距离与到 $f_1$ 的距离之差为 $2a$。焦点之间的距离是 $2{(a^2+b^2)}^{1/2}$。这两个自由参数 $a$ 和 $b$ 可以调整，以设置次反射面的直径以拦截来自主反射面边缘的光线，并设置次焦点在 $z$ 轴上的高度。次反射面提供的放大率是

$$\begin{array}{}\text{(3.147)}& M=\frac{\tan ({\theta }_1/2)}{\tan ({\theta }_2/2)},\end{array}$$

其中 ${\theta }_1$ 是从 $f_1$ 观察到的主镜所夹的半角，${\theta }_2$ 是从 $f_2$ 观察到的副镜所夹的半角。小副反射镜重量轻，容易倾斜，并且可以减少驻波，但它在 $f_2$ 处只夹很小的角度 $2{\theta }_2$，因此需要直径为数个波长的馈波喇叭才能正确照射它。

澳大利亚的帕克斯 210 英尺（现改名为 64 米）望远镜（见图 3.22）建造时间与 140 英尺望远镜大约相同，但它的方位高度仪座和中心集中的反射面支撑结构为现代射电望远镜的设计指明了方向。

图3.22:帕克斯 64 米望远镜。照片 © Shaun Amy。

高度依赖的重力形变会降低倾斜反射镜的短波长性能。通过设计支撑结构，使得变形后的表面仍保持抛物面形状，可以控制这些形变。这些形变会导致焦点在高度方向上略微偏移，但这种偏移可以通过稍微移动馈源以追踪焦点来补偿。第一个有意设计为以这种方式变形的大型同象望远镜是德国埃菲尔斯贝格附近马克斯·普朗克射电天文研究所（MPIfR）的100米望远镜（图 3.23）。尽管体积巨大，其被动表面仍然足够精确，可以在短至$\lambda =7$毫米的波长范围内工作，并适用于不同高度角。

图3.23:德国埃菲尔斯贝格附近的 100 米望远镜。它是第一个刻意设计为同构的望远镜，工作波长为 $\lambda \sim 7$ 毫米。注意主焦点上方的大型格里高利副反射镜。照片由 Matthias Kadler 拍摄。

100 米望远镜在主焦点上方有一个凹面的格里高利副反射镜。对称格里高利系统的几何结构如图 3.24 所示。与卡塞格林副反射镜一样，格里高利反射镜的形状由要求所有平行轴向光线到达次焦点的距离相同而决定 $f_2$。对于位于主焦点上方的副反射镜，所需形状是一个椭球，其长轴与抛物线的长轴重合。方程

$$\begin{array}{}\text{(3.148)}& \frac{z^2}{a^2}+\frac{r^2}{b^2}=1\end{array}$$

用 $a>b$ 定义了这样一个椭球。从椭球上的任意一点到 $f_2$ 的距离与到 $f_1$ 的距离之和为 $2a$。焦点之间的距离为 $2{(a^2-b^2)}^{1/2}$。

图3.24:一个绕 $z$ 轴旋转对称并具有格里高利副反射面的射电望远镜的横截面。来自遥远射电源的平行射线被圆形抛物面反射，其主焦点位于标记为 $f_1$ 的点。格里高利副反射面是位于主焦点上方的圆形椭球。它将这些射线反射到副焦点 $f_2$ 处的馈源，该处位于抛物面顶点正上方。

阿雷西博射电望远镜（图 8.2 和 3.25）最初被设计为雷达设施，用于通过自由电子对 430 MHz（$\lambda =70$ 厘米）射电波的汤姆孙散射研究电离层。真正自由电子的热运动会极大地多普勒展宽雷达回波的带宽并降低接收信噪比，因此建造了一个非常大的天线以提高灵敏度。然而，在大于电离层德拜长度（仅几毫米）的尺度上，电离层电子与更重的离子耦合。这个长度远小于 70 厘米波长，因此实际带宽由更重离子的热运动决定，比前者低两个数量级。因此，一个小得多的天线就足够了！天文学家从这一疏忽中受益，并利用阿雷西博巨大的接收面积，在高达大约10 GHz的频率下进行太阳系雷达（行星、卫星、小行星）、脉冲星研究、银河系Hi 21厘米线观测以及其他需要高灵敏度的观测。

图3.25:阿雷西博天线的馈源支撑平台可以使波束偏离天顶最多 20 度，即使球面反射器是固定的。弯曲的方位臂围绕固定三角结构底部的圆环绕垂直方向旋转。方位臂左侧下方的机车房携带一个波导线馈源，用于校正球面像差。方位臂右侧下方的机车房下的穹顶包含格里高利二次镜和三级校正镜，由波导号角馈源照明。机车房可以沿方位臂底部的轨道移动，以改变波束的天顶角。

球面反射器可以非常大，因为它不移动。球体关于通过其中心的任意轴都是对称的，因此阿雷西博天线的波束可以通过移动馈源而不是反射器来进行引导。图 3.25 中可见的弯曲馈源支撑臂长达300英尺，并在固定的三角形结构下旋转方位角。馈源安装在两个沿馈源臂底部轨道移动的车厢下，可以在天顶角高达20度时进行跟踪。馈源照明在高天顶角时会溢出固定反射器的边缘，因此球面反射器周围有一个大型地面屏，将溢出的能量反射到寒冷的天空中，避免落到温暖且噪声较大的地面上。

一个球面反射器将远距离点源聚焦到径向线段上，因此为了从主焦点有效照亮整个孔径，需要一个最长可达96英尺的径向线性馈电（见图 3.25）。线性馈电是一个带孔波导，其形状逐渐变细以控制群速度（式 3.143）并相位配合来自反射器各处的入射辐射。然而，长带孔波导线性馈电固有带宽窄，而且长波导中的欧姆损耗在短波长下显著提高系统温度。 阿雷西博望远镜馈电臂下方的“高尔夫球状装置”（图 3.25）容纳了一个巨大的格雷戈里次反射器和三次反射器，使低噪声宽带点源馈电能够照亮主反射面上约200米×225米的椭圆区域。

图3.26:垂直剖面显示 GBT 的对称平面。由连续曲线显示的实际天线面是对称母抛物面的一个非对称截面（虚线曲线），其直径为 208 米。GBT 反射面的内边缘位于 $z$ 对称轴右侧 4 米，因此位于 $z$ 对称轴左侧的焦点和馈源支撑结构不会阻挡入射辐射。主焦距为 $f_1$ = 60 米，从 $f_1$ 到次焦点 $f_2$ 的距离为 11 米。次焦点相对于对称轴偏移 1.068 米，以最小化仪器极化。格里高利子反射面的直径为 8 米。次要焦点远高于母抛物面的顶点，但GBT的离轴馈源支撑臂足够坚固，可以在这个高度支撑一个大型馈源/接收舱（图 3.27）。

100米罗伯特·C·伯德格林银行望远镜（GBT）（图 8.1）是格林银行坍塌的300英尺望远镜的继任者，它采用了多种新设计特征，以优化其灵敏度和短波长性能。

实际的反射器是一个 110 米 $\times$，沿着一个虚拟对称抛物面 208 米直径方向偏离轴线 100 米的部分。投影到垂直于光束的平面上时，它是一个 100 米直径的圆。由于实际反射器的投影边缘距离 208 米抛物面的轴线有 4 米，因此焦点不会阻挡孔径。GBT 享有与波导喇叭相同的明净孔径优势——光束非常干净且泄漏噪声低——但它比任何实用喇叭天线都大得多。干净的光束对于抑制射频干扰（RFI）和来自非常广泛源的杂散辐射尤其有价值，例如银河系的 HI 发射。

图3.27:位于GBT主焦点上方的凹形格雷戈里亚子反射镜将天体成像到穿过矩形接收舱顶部的锥形喇叭馈源上。主焦点馈源臂显示为收起状态，以避开子反射镜。这些偏置结构都不会阻挡从主孔径反射的辐射。图片来源：NRAO/AUI/NSF。

图 3.26 所示的 GBT 垂直剖面显示了偏心格里高利副反射面不会阻挡落在主反射面的任何辐射。格里高利副反射面位于 $f_1$ 的主焦点上方，因此通过将携带主焦点馈源的摆动臂升至副反射面下方的适当位置，可以实现主焦点操作，尽管这会暂时阻挡格里高利副反射面。巨大的馈源支撑臂长达 60 多米，是 208 米抛物面的焦距。馈源支撑臂的横截面远大于对称望远镜的馈源支撑结构，而后者必须尽可能保持纤细以最小化阻挡。GBT 的这根臂非常坚固，可以支撑重型副反射面、馈源、设备室以及电梯。在臂的顶部及主焦点之上是凹形的格里高利副反射面。该副反射面照射通过安装在馈源臂下方不远处的大型接收舱屋顶出来的馈源（见图 3.27）。由于这些馈源与副反射面相对较近，即使副反射面相对较小，从馈源看也会占据较大的角度，因此馈源本身可以相对较小。为了覆盖 $1<\nu (GHz)<100$ 的频率范围，大多数接收机和馈源可以同时放入接收舱中，并可随时使用。

主反射器由一个备份结构支撑，该结构以同源变形的方式变形，以确保在波长短至 $\lambda =2$ 厘米时仍具有良好的效率。主动反射面由大约两千个面板组成，每个面板大约边长 2 米。各个面板的角安装在计算机控制的执行器上，这些执行器可以根据需要上下移动面板，从而持续校正表面的总体形状。使用光度测量法在调试高度（即表面最初设置的高度）测量了表面。在GBT的有限元计算机模型预测的其他高度角的重力变形，由执行器在望远镜移动过程中持续消除。因此，均方根表面误差仅为 $\sigma \approx 0.2mm$，而 GBT 在波长短至 $\lambda \approx 3$ 毫米时仍具有高表面效率。

30 米 IRAM（毫米波射电天文研究所）望远镜（图 3.28）是目前在 3、2、1 和 0.8 毫米波段运行的最大望远镜。其均方根表面误差仅为 $55\mu m$，指向精度约为 1 弧秒。

图3.28:西班牙比科·韦莱塔的 30 米 IRAM 望远镜。图片来源：IRAM。

3.6 辐射计

来自宇宙微波背景、离散天文源、地球大气和地面的自然射电辐射是随机的宽带噪声，几乎无法区分与由热电阻器（第 2.5 节）或接收机电子设备产生的噪声。用于测量来自射电望远镜在明确定义频率范围内噪声平均功率的射电接收机称为辐射计。噪声电压具有零均值的高斯幅度分布，并且其波动发生在与辐射计带宽的倒数 $\mathrm{\Delta }\nu$ 相当的极短时间尺度（纳秒）上。在辐射计中，平方律检波器将输入噪声电压平方以产生与输入噪声功率成比例的输出电压。噪声功率总是大于零，并且大多数天文源的噪声是平稳的，这意味着当在更长时间尺度（秒到小时）上平均时，其平均功率是稳定的$\tau$。奈奎斯特--香农采样定理（附录A.3）指出，任何具有有限带宽$\mathrm{\Delta }\nu$和持续时间$\tau$的函数都可以用$2\mathrm{\Delta }\nu \tau$个独立样本表示，这些样本在时间上间隔${(2\mathrm{\Delta }\nu )}^{-1}$。通过对大量独立噪声样本进行平均，理想辐射计可以以小至 ${(N/2)}^{-1/2}={(\mathrm{\Delta }\nu \tau )}^{-1/2}\ll 1$ 的分数不确定度确定平均噪声功率，并检测仅增加天线温度极小部分的微弱信号源。理想辐射计方程用辐射计带宽和平均时间来表达这一结果。实际辐射计中的增益变化、大气辐射波动以及未解析的射电源干扰，可能会显著降低实际灵敏度，相较于理想辐射计方程所预测的灵敏度。

3.6.1 限带噪声

图3.29:射电望远镜的输出电压 $V$ 在短时间尺度上快速变化，如上图所示，该图显示了从具有零均值和固定均方根 $V_{rms}$ 的高斯概率分布 $P(V/V_{rms})$（下图）中抽取的 100 个独立带限噪声样本。关于高斯分布的数学描述，见附录 B.5。

射电望远镜输出的电压是来自许多独立随机贡献的噪声电压的总和。中心极限定理[15] 表明，这种噪声的幅度分布几乎是高斯分布的。图 3.29（下图）显示了大约 20,000 个独立电压样本的直方图，这些样本是从具有均方根 $V_{rms}$ 和均值 $⟨V⟩=0$ 的高斯母分布中随机抽取的。图 3.29（上图）显示了 $N=100$ 个连续从高斯噪声分布中抽取的样本。这段电压序列代表了频率范围从 0 到 $\mathrm{\Delta }\nu$ 的带限噪声，在时间间隔 $\tau$ 内满足 $(\mathrm{\Delta }\nu \tau )=N/2=50$，例如，频率最高到 $\mathrm{\Delta }\nu =1$ MHz 的噪声，每 ${(2\mathrm{\Delta }\nu )}^{-1}=0.5\mu s$ 采样一次，持续 $\tau =50\mu$ 秒。这就是射电望远镜带限噪声输出电压的样子。

用温度单位描述噪声功率是很方便的。由温度为 $T$ 的电阻器产生的单位带宽噪声功率在低频极限下为 $P_{\nu }=kT$，因此我们可以根据单位带宽功率 $P_{\nu }$ 定义任意噪声源的噪声温度：

$$\begin{array}{}\text{(3.149)}& \boxed{{\displaystyle T_N\equiv \frac{P_{\nu }}{k},}}\end{array}$$

其中 $k\approx 1.38\times {10}^{-23}$ 焦耳 K${}^{-1}$ 是玻尔兹曼常数。

通过将射电望远镜输出端连接到辐射计输入端，所有噪声源的总噪声功率转换成的温度称为系统噪声温度$T_s$。它是天线温度的多个贡献加上辐射计噪声温度的总和 $T_r$：

$$\begin{array}{}\text{(3.150)}& \boxed{{\displaystyle T_s=T_{cmb}+T_{rsb}+\mathrm{\Delta }{T}_{source}+[1-\exp (-{\tau }_A)]T_{atm}+T_{spill}+T_r+\cdots .}}\end{array}$$

式 3.150 明确列出了七个天线温度的贡献：

1. $T_{cmb}\approx 2.73$ K 来自几乎各向同性的宇宙微波背景。

2. $T_{rsb}$ 是所有“背景”射电源贡献的平均天空亮温。银河系外射电源在所有方向上增加了 [27]

$$\begin{array}{}\text{(3.151)}& \left(\frac{T_{rsb}}{0.1K}\right)\approx {\left(\frac{\nu }{1.4GHz}\right)}^{-2.7}\end{array}$$

，而银河平面在低频（$\nu < {0.5{GHz}}$）下是一个明亮的弥漫源 \[[43](y-bibliography.md#bib88)\]。

3. $\mathrm{\Delta }{T}_{source}$ 来自正在观测的天文源，使用 $\mathrm{\Delta }$ 表示，其通常远小于整个系统噪声：$\mathrm{\Delta }{T}_{source}\ll T_s$。例如，在使用 300 英尺望远镜进行的 ${\nu }_{RF}\approx 4.85$ GHz 天空巡天中，系统噪声为 $T_s\approx 60$ K，但最微弱检测到的源仅增加了 $\mathrm{\Delta }{T}_{source}\approx 0.01$ K。

4. $[1-\exp (-{\tau }_A)]T_{atm}$ 是望远镜光束中大气发射的亮度（第 2.2.3 节）。

5. $T_{spill}$ 考虑了馈源在反射器边缘以外方向接收到的溢出辐射，主要来自地面。

6. $T_r$ 是由辐射计自身产生的噪声导致的辐射计噪声温度，并以辐射计输入为参考。所有辐射计都会产生噪声，任何辐射计都可以用一个等效电路来表示，该电路由一个无噪声辐射计组成，其输入连接到温度为 $T_r$ 的电阻。通常通过将辐射计冷却到低温以最小化辐射计噪声。然而，辐射计不仅仅是匹配的电阻，因此 $T_r$ 可能低于或高于辐射计本身的物理温度。

7. "$\cdots$" 表示可能重要的其他噪声源。例如，在阿雷西博的长开槽波导馈电中的欧姆损耗引起的发射（图 3.25）。

3.6.2 辐射计

最简单的总功率辐射计的目的是测量某一特定射频（RF）范围内输入噪声的时间平均功率

$$\begin{array}{}\text{(3.152)}& {\nu }_{RF}-\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{2}to{\nu }_{RF}+\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{2},\end{array}$$

其中 $\mathrm{\Delta }\nu$ 是接收机的带宽。例如，用于 300 英尺望远镜对北天进行 $\lambda \approx 6$ 厘米连续谱巡天的接收机，其中心射频为 ${\nu }_{RF}\approx 4.85\times {10}^9$ 赫兹，带宽为 $\mathrm{\Delta }\nu \approx 6\times {10}^8$ 赫兹。

最简单的辐射计（图 3.30）由四个串联阶段组成：(1) 一个低损耗带通滤波器，只通过所需频率范围的输入噪声；(2) 一个平方律检测器，其输出电压$V_o$与输入电压的平方成正比；也就是说，$V_o$与其输入功率成正比；(3) 一个信号平均器或积分器，用于平滑快速波动的检测器输出；以及(4) 一个电压表或其他装置，用于测量和记录平滑后的电压。

图3.30:最简单的辐射计将来自望远镜的宽带噪声进行滤波，然后将滤波后的电压自身相乘（平方律检波），平滑检波后的电压，并测量平滑后的电压。检测器的作用是将平均值为零的噪声电压转换为噪声功率，而噪声功率与电压的平方成正比。

经过宽度为 $\mathrm{\Delta }\nu <{\nu }_{RF}$ 的输入滤波器后，噪声电压不再完全随机；它更像是频率为 $\approx {\nu }_{RF}$ 的正弦波，其振幅包络（图 3.31 中的虚线曲线）在时间尺度 $\mathrm{\Delta }t\approx {(\mathrm{\Delta }\nu )}^{-1}>{\nu }_{RF}^{-1}$ 上随机变化。只要 $\mathrm{\Delta }\nu \ll {\nu }_{RF}$，正负振幅包络是相似的。

图3.31:中心频率为 ${\nu }_{RF}$、带宽为 $\mathrm{\Delta }\nu <{\nu }_{RF}$ 的滤波器的电压输出 $V(t)$ 是频率为 ${\nu }_{RF}$ 的正弦波，其包络（虚线曲线）在时间尺度 ${(\mathrm{\Delta }\nu )}^{-1}>{({\nu }_{RF})}^{-1}$ 上波动。

滤波后的输出被送到一个平方律检测器，其输出电压 $V_o$ 与其输入功率成正比。对于频率为 ${\nu }_{RF}$ 的窄带（准正弦）输入电压 $V_i\approx \cos (2\pi {\nu }_{RF}t)$，检测器的输出电压为 $V_o\propto {\cos }^2(2\pi {\nu }_{RF}t)$。这可以重写为 $[1+\cos (4\pi {\nu }_{RF}t)]/2$，该函数的均值与输入信号的平均功率成正比。除了直流（零频）分量外，还有一个振荡分量，其频率为输入频率的两倍 ${\nu }_{RF}$。有限带宽 $\mathrm{\Delta }\nu$ 下的检测器输出频谱及典型波形如图 3.32 所示。

图3.32:方波检测器（图 3.33）的输出电压 $V_o$ 与输入电压的平方成正比。它始终为正，因此其平均值（直流或零频分量）为正，并且与输入功率成正比。高频（$\nu \approx 2{\nu }_{RF}$）波动不提供关于信号源的信息，并在下一阶段被滤除。

包络下的振荡在每个 $\mathrm{\Delta }t\approx {(2{\nu }_{RF})}^{-1}$ 时接近零。因此，检测器输出的振荡分量中心频率接近 $2{\nu }_{RF}$。检测器输出还具有接近零（直流）的频率分量，因为平均输出电压大于零。

图3.33:上方图表显示了方律检测器的输出电压 $V_o$，其输入为图 3.29 上方图表所示的高斯噪声。输出电压直方图（下方图表）在零附近尖锐地集中，并具有长长的正尾。检测到的电压均值 $⟨V_o⟩$ 等于输入电压的均方值，而检测电压分布的均方根为 $2^{1/2}⟨V_o⟩$。有关检测器输出分布及其均方根的完整推导，请参见附录 B.6。

在接近 $2{\nu }_{RF}$ 频率的快速变化分量及其包络通常在比平均信号功率 $\mathrm{\Delta }T$ 变化的时间尺度短得多的时间尺度上变化。通过在某个时间尺度 $\tau \gg {(\mathrm{\Delta }\nu )}^{-1}$ 上对检测到的包络取算术平均值（通过积分或对检测器输出进行平均）可以抑制不想要的快速变化。此积分可以通过使用 RC（电阻加电容）滤波器进行电子平滑，也可以通过对检测器输出电压进行采样和数字化，然后计算其滑动平均来进行数值处理。

积分大大减少了接收器输出的波动。在时间间隔 $\tau$ 内，总噪声功率 $T_s$ 有 $N=(2\mathrm{\Delta }\nu \tau )$ 个独立样本，每个样本的均方根误差为 ${\sigma }_T\approx 2^{1/2}{T}_s$。$N\gg 1$ 个独立样本的平均值的均方根误差被 $\sqrt{N}$ 因子减小，因此接收器输出的均方根波动 ${\sigma }_T$（有关此结果的正式推导，请参见附录 B.6）仅为

$$\begin{array}{}\text{(3.153)}& {\sigma }_T=\frac{2^{1/2}{T}_s}{N^{1/2}}.\end{array}$$

以带宽 $\mathrm{\Delta }\nu$ 和积分时间$\tau$ 表示,

$$\begin{array}{}\text{(3.154)}& \boxed{{\displaystyle {\sigma }_T\approx \frac{T_s}{\sqrt{\mathrm{\Delta }\nu \tau }}}}\end{array}$$

经过平滑处理。统计学中的中心极限定理意味着高度平滑的（$\mathrm{\Delta }\nu \tau \gg 1$）输出电压也具有近似高斯的振幅分布。这个重要的方程被称为总功率接收机的理想辐射计方程。最弱可探测信号$\mathrm{\Delta }T$只需是辐射计方程给出的输出均方根${\sigma }_T$的几倍（通常为五倍），而不需是总系统噪声$T_s$的几倍。在实际中，乘积$(\mathrm{\Delta }\nu \tau )$可能相当大（${10}^8$并不少见），因此即使是$\mathrm{\Delta }T\sim 5\times {10}^{-4}{T}_s$这样微弱的信号也可以被探测到。图 3.34和图 3.35说明了通过取长度为$N=50$和$N=200$样本的滑动平均对检测器输出进行平滑处理的效果。

图3.34:积分器的平滑输出电压在时间尺度 $\tau$ 上变化，幅度很小 ${\sigma }_T$，由理想辐射计方程给出。图的上部显示经过 $N=50$ 样本滑动平均平滑的检测电压，下部显示平滑电压的幅度分布。该幅度分布的均值为 $⟨V_o⟩$，均方根为 ${(2/N)}^{1/2}⟨V_o⟩=⟨V_o⟩/5$。随着 $N$ 的增大，平滑幅度分布趋近于高斯分布。采样定理（附录 A.3）指出 $N=(2\mathrm{\Delta }\nu \tau )$，因此对于此例 $(\mathrm{\Delta }\nu \tau )=25$。

图3.35:当相同的探测器输出在 $N=200$ 个样本上进行平滑，而不是 $N=50$ 个样本（图 3.34）时，平均值保持不变，但均方根下降了 $4^{1/2}=2$ 到 $⟨V_o⟩/10$。在本例中 $(\mathrm{\Delta }\nu \tau )=100$。

3.6.3 一些注意事项

理想的辐射计方程表明，射电观测的灵敏度随着 ${\tau }^{1/2}$ 永远提高。实际上，系统误差设定了可达到的噪声水平下限。接收机增益变化、大气辐射的无规律波动，或由于未解析的连续射电源背景引起的“混杂”，通常限制了单天线连续观测的灵敏度。

接收机增益和大气波动

辐射计包含一系列放大器，将微弱的输入功率 $P_{in}=k{T}_s\mathrm{\Delta }\nu \sim {10}^{-14}W$ 放大到毫瓦级。总功率接收机的输出电压与接收机的总功率增益 $G$ 成正比。如果 $G$ 不是完全恒定的，由实际辐射计中的增益波动$\mathrm{\Delta }G$ 引起的输出电压变化会产生一个虚假的信号，其表观温度

$$\begin{array}{}\text{(3.155)}& {\sigma }_G=T_s\left(\frac{\mathrm{\Delta }G}{G}\right)\end{array}$$

与理想辐射计中由噪声引起的类似变化 ${\sigma }_T$ 无法区分。接收器增益波动和噪声波动是独立随机过程，因此它们的方差（方差是均方根的平方）相加，总接收机输出波动变为

$${\sigma }_T^2$$

$$\begin{array}{}\text{(3.156)}& ={\sigma }_{noise}^2+{\sigma }_G^2\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.157)}& =T_s^2\left[\frac{1}{\mathrm{\Delta }\nu \tau }+{\left(\frac{\mathrm{\Delta }G}{G}\right)}^2\right].\end{array}$$

因此，实际总功率辐射计方程为

$$\begin{array}{}\text{(3.158)}& \boxed{{\displaystyle {\sigma }_T\approx T_s{[\frac{1}{\mathrm{\Delta }\nu \tau }+{\left(\frac{\mathrm{\Delta }G}{G}\right)}^2]}^{1/2}.}}\end{array}$$

显然，除非

$$\begin{array}{}\text{(3.159)}& \left(\frac{\mathrm{\Delta }G}{G}\right)\ll \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\Delta }\nu \tau }}.\end{array}$$

否则，辐射计增益波动会降低观测的灵敏度。

例如，用300英尺望远镜进行天空调查的5 GHz接收机具有$\mathrm{\Delta }\nu \approx 6\times {10}^8$ Hz和$\tau \approx 0.1$ s，因此在几秒钟的时间尺度内（扫描一个基线长度所需的时间）的增益分数波动必须满足

$$\begin{array}{}\text{(3.160)}& \frac{\mathrm{\Delta }G}{G}\ll \frac{1}{\sqrt{6\times {10}^{8}Hz\cdot 0.1s}}=1.3\times {10}^{-4}.\end{array}$$

在实际操作中，这很难实现。增益波动通常具有“$1/f$”功率谱，其中$f$是后检测频率，因此在较长时间尺度上波动更大，并且增加$\tau$最终会导致更高的输出噪声水平。接收机的增益稳定性通常由“$1/f$膝点”频率$f_k$指定，即${\sigma }_{noise}={\sigma }_G$的后检测频率。积分时间超过$\tau \approx 1/(2\pi f_k)$可能会增加接收机的输出波动。根据辐射计的稳定性和带宽，$\sim 1Hz<f_k<\sim 1kHz$。

图3.36:光束切换差分辐射计的框图。总功率接收机在两个馈源之间切换，一个指向信号源，另一个偏离几个波束宽度以避开信号源，但测量几乎相同的大气样本的辐射。总功率接收机的输出在接收机连接到信号源馈源时乘以 $+1$，在连接到参考馈源时乘以 $-1$。在切换频率（通常在 10 到 1000 Hz 范围内）以下，大气辐射和接收机增益的波动可以被有效抑制。

大气辐射的波动也会增加简单总功率接收机输出的噪声。水汽是主要原因，因为它在大气中混合得不好，而水汽波动产生的噪声在 $\sim 5$ GHz 及以上频率上可能成为一个显著问题。

减少接收机增益和大气发射波动影响的一种方法是通过比较来自两个相邻馈源的信号来进行差分测量。快速在波束或负载之间切换的方法被称为Dicke切换，以其发明者Robert Dicke命名。图 3.36显示了波束切换Dicke辐射计的框图。如果在开关的两个位置系统温度分别为$T_1$和$T_2$，则接收机输出与$T_1-T_2\ll T_1$成正比，并且增益波动的影响仅为

$$\begin{array}{}\text{(3.161)}& {\sigma }_G\approx (T_1-T_2)\frac{\mathrm{\Delta }G}{G}\ll T_1\frac{\mathrm{\Delta }G}{G}.\end{array}$$

同样地，通过对流层的两束几乎重叠的光束的大气发射几乎相同，因此大部分对流层的波动会互相抵消。Dicke 开关的主要缺点是，相对于单束信号，接收机输出的波动加倍，因为信号源只在一半时间被接收，而噪声功率始终存在。Dicke 开关接收机的理想辐射计方程为

$$\begin{array}{}\text{(3.162)}& \boxed{{\displaystyle {\sigma }_T=\frac{2T_s}{\sqrt{\mathrm{\Delta }\nu \tau }}.}}\end{array}$$

混淆

图3.37:由 300 英尺望远镜以 1.4 GHz 拍摄的覆盖 45 度天空的剖面图，分辨率为 $\theta =12$ 弧分 [31]。均方根为 $\sigma \approx 20mJy{beam}^{-1}$ 的普遍波动是由众多微弱天体的叠加造成的，而不是接收机噪声。

图3.38:轮廓图 [31] 是图 3.37 所示区域的 4 度 ${}^2$ 子集。轮廓从 $45mJy{beam}^{-1}\approx 2{\sigma }_c$ 开始，间隔为 $2^{1/2}$，因此轮廓少于四条的源位于 $5{\sigma }_c$ 混淆极限以下。灰度图是一个以 $\theta =45$ 弧秒分辨率制作的 1.4 GHz VLA 图像。一些由 300 英尺望远镜看到的微弱“源”是由 VLA 分辨的两个或多个较弱源的混合。

单碟射电望远镜具有很大的收集面积，但在长波长下波束相对较宽。几乎所有的离散连续源都是银河系外的，且极为遥远，因此它们在天空中分布是随机且各向同性的。由每个望远镜波束中众多微弱源引起的天空亮度波动称为混淆，而混淆通常限制了单碟连续观测在低于 $\nu \sim 10GHz$ 频率下的灵敏度。图 3.37 是低分辨率图像中混淆波动的剖面图。图 3.38 显示了该低分辨率图像部分区域的等高线，叠加在重叠的高分辨率灰度图像上。

尽管混淆的振幅分布明显非高斯，但通过忽略长正尾计算的“rms”混淆 ${\sigma }_c$ 被广泛引用。在厘米波长下，具有 FWHM $\theta$ 的高斯望远镜波束中的 rms 混淆为

$$\begin{array}{}\text{(3.163)}& \left(\frac{{\sigma }_c}{mJy{beam}^{-1}}\right)\approx \{\begin{array}{ll}{0.2(\frac{\nu }{GHz})}^{-0.7}{\left(\frac{\theta }{arcmin}\right)}^2& (\theta >0.17arcmin),\\ {2.2(\frac{\nu }{GHz})}^{-0.7}{\left(\frac{\theta }{arcmin}\right)}^{10/3}& (\theta <0.17arcmin).\end{array}\end{array}$$

比混淆极限$\approx 5{\sigma }_c$ 更暗的单个源无法被可靠地探测到，无论接收机噪声多低。在低于 $\nu \sim 10GHz$ 频率下，对暗弱源的大多数连续波观测是通过干涉仪而不是单碟完成的，因为干涉仪可以合成更小的波束宽度 $\theta$，因此混淆极限显著更低。

稳定连续源引起的混淆对谱线观测或快速变化源（如脉冲星）的影响要小得多。

3.6.4 超外差接收机

实际的辐射计没有上述描述的那么简单。几乎所有实用的辐射计都是超外差接收机（图 3.39），在这些接收机中，RF 放大器之后是一个将 RF 信号与由本地振荡器（LO）生成的频率为 ${\nu }_{LO}$ 的正弦波相乘的混频器。两个正弦波的乘积包含和差频分量，

$$\begin{array}{}\text{(3.164)}& 2\sin (2\pi {\nu }_{LO}t)\sin (2\pi {\nu }_{RF}t)=\cos [2\pi ({\nu }_{LO}-{\nu }_{RF})t]-\cos [2\pi ({\nu }_{LO}+{\nu }_{RF})t],\end{array}$$

因此混频器起到了频率变换器的作用。例如，如果 ${\nu }_{LO}=12GHz$ 和 ${\nu }_{RF}=9GHz$，混频器输出频率，被称为中频（IF），为 ${\nu }_{LO}-{\nu }_{RF}=3GHz$。

超外差接收机的优点包括

1. 将信号转换到较低的频率 ${\nu }_{IF}<{\nu }_{RF}$，使其更容易放大、长距离传输、滤波和数字化；

2. 在宽频范围内的可调性 ${\nu }_{RF}$；

3. 仅通过调整本振频率进行调谐，以便

4. 中频放大器及后端设备（如多通道滤波器组或数字光谱仪）都能在固定频率范围内工作。

图3.39:简单超外差接收机的框图。只有本振被调谐以改变观测频率范围。

3.6.5 光谱仪

图3.40:一个模拟滤波器组将中频放大器的宽带输出分成 $N$ 个连续的频率通道，每个通道的带宽为 $\delta \nu$。实际上，每个通道都是一个窄带中频放大器，其输出电压被检测（自乘）、平滑并记录。

最简单的超外差微波辐射计测量其通常宽的中频通带（带宽为 $\mathrm{\Delta }\nu$）中的总功率。光谱仪是一种后端装置，将该通带划分为 $N$ 个相邻的窄频带范围，每个频带宽度为 $\delta \nu \le \mathrm{\Delta }\nu /N$，并同时测量所有 $N$ 个通道中的功率，以快速定位和解析光谱特征，例如原子和分子谱线（第 7.1 节）。

最直接的光谱仪是一个由窄带模拟滤波器组成的滤波器组，这些滤波器以并联方式连接，其中心频率按 $\delta \nu$ 均匀间隔排列（图 3.40）。每个通道都作为一个独立的中频，并具有自己的探测器。然而，要产生平滑的光谱基线，模拟滤波器组的通道增益、带宽和探测器响应必须非常匹配且稳定，因此具有超过 $N\sim {10}^2$ 个通道的模拟滤波器组难以构建和调试。模拟滤波器组也不够灵活，因为它们的通道带宽 $\delta \nu$ 和数量 $N$ 不易改变。具有 $N\sim {10}^3$ 或甚至 $N\sim {10}^4$ 频率通道的灵活光谱仪需要数字信号处理（DSP）技术。

多年来，大多数数字光谱仪是使用 Wiener--Khinchin 定理（式 A.18）的自相关光谱仪，通过带限中频输出的数字采样时间序列（见附录 A.3）来计算功率谱。输入无线电信号的一部分采样副本会经过一系列逐渐增长的时间延迟，延迟后的信号与原始信号相乘，并对它们的乘积进行积分。这一系列操作就是一个自相关（附录 A.7）。如果数字样本每个只包含一到两位（二到三级），自相关可以在硬件中完成，通常只需一个芯片，并且采用相对简单的数字逻辑。这些自相关函数（ACFs）可以进行积分以建立信噪比，然后最终通过对ACF进行离散傅里叶变换（通常是FFT；参见附录A.2）转换为功率谱，根据维纳—辛钦定理。自相关光谱仪允许使用相对简单的数字硬件积分生成非常深（即长时间）的光谱，而无需直接对输入的奈奎斯特采样数据进行多次“昂贵”的FFT；仅在积分的最后阶段计算一次FFT。类似的技术，但使用来自不同天线信号的互相关，通常用于从射电干涉仪计算光谱。

随着DSP系统速度和能力的不断提高，光谱越来越多地通过对奈奎斯特采样带进行FFT直接计算。将傅里叶幅度平方以生成功率谱，然后对功率谱进行累积以进行深谱积分。这类系统被称为傅里叶变换光谱仪，FFT可以以多种方式计算。许多现代光谱仪使用现场可编程门阵列（FPGA）来计算FFT、积分，并计算偏振产物，所有这些都在单个芯片上完成。其他混合设计使用 FPGA 将频段划分为粗略通道，并将这些有效地奈奎斯特抽样的子频带传递给 CPU、其他 FPGA 或图形处理单元 (GPU) 以进行进一步处理，例如脉冲星后端中脉冲星数据的相干消色散和折叠，或用于高灵敏度光谱应用的更精细频率分辨率，甚至可能进行主动干扰消除。新的通用 GBT 天文光谱仪 (VEGAS) 是一种混合傅里叶变换光谱仪。此类系统的能力，特别是考虑到使用八位或更多位精度采样所提供的保真度，使它们成为射电天文学的新标准后端技术。

3.6.6 测量辐射仪噪声

辐射计本身通常会对总系统噪声温度 $T_{sys}$ 有显著贡献。任何辐射计都可以通过一个等效电路来建模，该电路由一个理想的无噪声辐射计和一个温度为 $T_r$ 的输入匹配负载电阻组成，其中 $T_r$ 被称为辐射计输入噪声温度。

测量 $T_r$ 的最简单方法是将一个物理温度为 $T_h$ 的匹配“热”负载电阻连接到辐射计输入端，并记录检测器输出电压 $V_h$，然后将其替换为物理温度为 $T_c$ 的“冷”负载，并记录输出电压 $V_c$。通常，热负载只是室温 $T_h\approx 290K$ 下的电阻，而冷负载则是浸没在液氮沸腾温度 $T_c\approx 77K$ 下的电阻。

对于每次测量，平方律检波器的输出电压与由实际负载加上温度为 $T_r$ 的虚拟电阻产生的总输入噪声功率成正比。在低频 Nyquist 近似 $P_{\nu }=kT$ 下，因此

$$V_h=$$$$P_{\nu }\mathrm{\Delta }\nu G=k(T_h+T_r)\mathrm{\Delta }\nu G,$$

$$\begin{array}{}\text{(3.165)}& V_c=\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.166)}& P_{\nu }\mathrm{\Delta }\nu G=k(T_c+T_r)\mathrm{\Delta }\nu G,\end{array}$$

其中 $\mathrm{\Delta }\nu$ 是带宽，$G$ 是辐射计的总增益。$G$ 和 $\mathrm{\Delta }\nu$ 都在定义的 $Y$因子中抵消掉

$$\begin{array}{}\text{(3.167)}& Y\equiv \frac{V_h}{V_c}=\frac{T_h+T_r}{T_c+T_r},\end{array}$$

因此，它们不需要测量。式 3.167 可以求解辐射计噪声温度

$$\begin{array}{}\text{(3.168)}& \boxed{{\displaystyle T_r=\frac{T_h-Y{T}_c}{Y-1}.}}\end{array}$$

这种测量 $T_r$ 的技术称为 $Y$-因子法。

通信工程师通常指定辐射计的噪声因子$F_n$，定义为

$$\begin{array}{}\text{(3.169)}& F_n\equiv \frac{T_r+T_0}{T_0},\end{array}$$

标准温度定义为 $T_0\equiv 290K$，接近室温。式 3.169 中的分子与连接到环境温度负载的辐射计检测输出电压成正比，分母是连接到环境温度负载的无噪声辐射计的输出。用 $F_n$ 表示，辐射计噪声温度为

$$\begin{array}{}\text{(3.170)}& T_r=(F_n-1)T_0.\end{array}$$

许多放大器和辐射计商业制造商使用的相关辐射计噪声指数NF 只是以 dB 表示的噪声因子 $F_n$：

$$\begin{array}{}\text{(3.171)}& NF\equiv 10{\log }_{10}(F_n).\end{array}$$

3.7 干涉仪

每个实用的单盘射电望远镜（第3.5 节）都具有相对较低的角分辨率和指向精度、较小的视场以及有限的灵敏度。最大的可完全转向的天线盘直径为$D\approx 100$米，其角分辨率受衍射限制为$\theta \approx \lambda /D$弧度，因此要在射电波长下实现亚角秒分辨率，需要的天线直径将不可能实现。对于大型单盘望远镜，指向和目标跟踪精度也是一个问题。为了进行相对精确的光度测量或成像，望远镜波束应能够在$\sigma \approx \theta /10$内跟随天空中的射电源。通过后期数据分析恢复观测期间实际波束方向的精确度，决定了射电源天区位置测量的精确度。重力下垂、由太阳差异加热引起的望远镜变形以及阵风引起的力矩共同限制了最佳射电望远镜的机械跟踪和指向精度至 $\sigma \sim 1$ 角秒。大多数光学望远镜能够快速拍摄覆盖大范围天空的高分辨率图像，因为它们的大视场 ${\mathrm{\Omega }}_{FoV}\gg {\theta }^2$ 覆盖数百万或数十亿像素。相比之下，大多数单碟射电望远镜只有一个或几个波束。单个天线的几何面积仅为$\pi D^2/4$，而具有$N$个天线的干涉仪的几何面积$N\pi D^2/4$可以任意大。单个天线的连续谱灵敏度在低于约10 GHz的频率下受混淆限制很大。

由$N\ge 2$中等大小天线组成的孔径合成干涉仪缓解了单天线带来的许多实际问题，例如对大气发射和接收机增益波动的敏感性、射频干扰以及由大气折射引起的指向偏移。例如，韦斯特博克合成射电望远镜（图 8.3）由$N=14$、$D=25m$台望远镜组成，其东西方向的基线最长可达$b\approx 3km$。其总集电面积相当于直径为$D_{tot}\approx N^{1/2}D\approx 92$米的单口径望远镜，并且具有相当于直径3公里衍射极限望远镜的高角分辨率。它具有25米望远镜的大瞬时视场，因此只需每个望远镜一个接收器，就可以一次成像$\sim {(b/D)}^2\sim {10}^4$像素。尽管单个望远镜的源追踪误差大得多，但它仍能以亚角秒精度测量射电源的位置。

从历史上看，拥有多口径合成干涉仪的望远镜的总带宽和同时频率通道数低于单口径望远镜。最近，相关器电子设备和计算技术的进步在很大程度上克服了这些实际限制，因此像ALMA（图 8.5）和JVLA（图 8.4）等新建或升级的干涉仪在观测射电天文学中扮演着越来越主导的角色。如今，单口径望远镜的主要用途是

• 观测脉冲星，它们是时间可变的，因此容易与时间不变的连续源区分开；

• 对低亮度扩展源进行光谱观测，同样在很大程度上不易受到混淆影响；

• 通过提供非常扩展源的“零间隔”数据或作为超长基线阵列的组成部分来补充干涉仪。

3.7.1 双元准单色干涉仪

最简单的射电干涉仪是一对射电望远镜，其电压输出是相关的（相乘并平均），即使是具有$N\gg 2$天线的最复杂干涉仪，通常称为元件，也可以被视为$N(N-1)/2$个独立的双元干涉仪。

图3.41:该框图显示了一个两元准单色乘法干涉仪的组成部分，该干涉仪在以 $\nu =\omega /(2\pi )$ 为中心的非常窄的射频范围内进行观察。$\hat{s}$ 是指向远方点源的单位向量，$\overrightarrow{b}$ 是从天线 1 指向天线 2 的基线向量。天线 1 的输出电压 $V_1$ 与天线 2 的输出电压 $V_2$ 相同，但被几何延迟 ${\tau }_g=\overrightarrow{b}\cdot \hat{s}/c$ 延迟，该延迟表示来自角 $\theta$（相对于基线向量）的源的平面波前到天线 1 的附加光行程延迟。这些电压由相关器放大、相乘（$\times$）并时间平均（$⟨⟩$），以产生输出响应，其振幅 $R$ 与点源的磁通密度成正比，其相位$(\omega {\tau }_g)$取决于延迟和频率。如果干涉仪框架中的源方向以恒定速率变化 $d\theta /dt$，则会出现所示的准正弦输出干涉条纹。条纹的宽高斯包络显示了当源通过天线的主波束时的主波束衰减。

图 3.41 显示了两个相同的天线盘，它们由长度为 $b$、从天线 1 指向天线 2 的基线矢量$\overrightarrow{b}$ 分隔开。两个天线盘都指向由单位矢量 $\hat{s}$ 指定的相同方向，并且 $\theta$ 是 $\overrightarrow{b}$ 与 $\hat{s}$ 之间的夹角。来自该方向远处点源的平面波必须额外传播距离 $\overrightarrow{b}\cdot \hat{s}=b\cos \theta$ 才能到达天线 1，因此天线 1 的输出与天线 2 相同，但在时间上滞后一个几何延迟

$$\begin{array}{}\text{(3.172)}& {\tau }_g=\frac{\overrightarrow{b}\cdot \hat{s}}{c}.\end{array}$$

为简便起见，我们首先考虑一个准单色干涉仪，即只响应以 $\mathrm{\Delta }\nu \ll 2\pi /{\tau }_g$ 为中心频率 $\nu =\omega /(2\pi )$ 的非常窄的频带的辐射。然后，天线 1 和天线 2 在时间 $t$ 的输出电压可以写成

$$\begin{array}{}\text{(3.173)}& V_1=V\cos [\omega (t-{\tau }_g)]and{V}_2=V\cos (\omega t).\end{array}$$

这些输出电压是天线输入电压的放大版本；它们没有经过平方律检波器。相反，相关器将这两个电压相乘，以产生乘积

$$\begin{array}{}\text{(3.174)}& V_1{V}_2=V^2\cos [\omega (t-{\tau }_g)]\cos (\omega t)=\left(\frac{V^2}{2}\right)[\cos (2\omega t-\omega {\tau }_g)+\cos (\omega {\tau }_g)]\end{array}$$

这是直接由三角恒等式 $\cos x\cos y=[\cos (x+y)+\cos (x-y)]/2$ 得出的。相关器还会进行足够长时间的时间平均 ($\mathrm{\Delta }t\gg {(2\omega )}^{-1}$)，以去除相关器响应（输出电压）$R$ 中的高频项 $\cos (2\omega t-\omega {\tau }_g)$，仅保留缓慢变化的项

$$\begin{array}{}\text{(3.175)}& R=⟨V_1{V}_2⟩=\left(\frac{V^2}{2}\right)\cos (\omega {\tau }_g).\end{array}$$

电压 $V_1$ 和 $V_2$ 与源产生的电场成正比，并且乘以两个天线和接收机的电压增益。因此，相关器输出幅度 $V^2/2$ 与点源的通量密度 $S$ 成正比，并且乘以 ${(A_1{A}_2)}^{1/2}$，其中 $A_1$ 和 $A_2$ 是两个天线的有效接收面积。

注意一个乘法干涉仪的时间平均响应 $R$ 为零。没有直流输出，因此接收机增益的波动不会像单天线总功率观测那样作用于整体系统温度 $T_s$（式 3.155）。来自非常广阔的射电源（例如宇宙微波背景和天线上方大气）的非相关噪声功率，在相关器响应中也平均为零。持续时间为 $t\ll |\overrightarrow{b}|/c$ 的短暂干扰脉冲也会被抑制，因为每个脉冲不能同时到达两台望远镜。同样，乘法射电干涉仪不同于经典的加法干涉仪，例如光学米歇尔逊干涉仪，它会累加非相关噪声功率贡献。

相关器输出电压 $R=(V^2/2)\cos (\omega {\tau }_g)$ 随着地球自转改变相对于基线矢量的信号源方向而呈正弦变化。这些正弦波称为干涉条纹，而条纹相位

$$\begin{array}{}\text{(3.176)}& \varphi =\omega {\tau }_g=\frac{\omega }{c}b\cos \theta \end{array}$$

取决于 $\theta$，如下所示：

$$\frac{d\varphi }{d\theta }$$

$$\begin{array}{}\text{(3.177)}& =-\frac{\omega }{c}b\sin \theta \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.178)}& =-2\pi \left(\frac{b\sin \theta }{\lambda }\right).\end{array}$$

干涉条纹周期$\mathrm{\Delta }\varphi =2\pi$ 对应于一个角位移 $\mathrm{\Delta }\theta =\lambda /(b\sin \theta )$。如果投影基线$b\sin \theta$ 足够长，条纹相位是源位置的极其敏感的测量方法。请注意，条纹相位，因此测量到的源位置，不会受到单个望远镜小幅跟踪误差的影响。它依赖于时间，并且时间可以通过时钟以比使用直尺测量移动望远镜部件长度的角度更高的精度来测量。此外，基线为水平的干涉仪不会受到大气折射平行分量的影响，该分量会同等延迟到达两台望远镜的信号。因此，干涉仪可以以无与伦比的精度确定紧凑射电源的位置，如图 1.6 所示。已经频繁测量到绝对位置误差小至 ${\sigma }_{\theta }\approx {10}^{-3}$ 弧秒，以及差分位置误差低至 ${\sigma }_{\theta }\approx {10}^{-5}$ 弧秒 $<{10}^{-10}$ 弧度。

如果组成干涉仪的各个天线是各向同性的，干涉仪对点光源的响应将是一个遍及整个天空的正弦波。这样的干涉仪只对天空亮度分布的一个傅里叶分量敏感：具有角周期 $\lambda /(b\sin \theta )$ 的分量。具有指向性天线的双元件干涉仪的响应 $R$ 是该正弦波与各个天线电压模式的乘积。通常这两个天线是相同的，因此这个乘积就是各个天线的功率模式，并被称为干涉仪的主波束。主波束通常是一个比条纹周期宽得多的高斯，如图 3.41 所示。卷积定理（式 A.15）指出，两个函数乘积的傅里叶变换是它们傅里叶变换的卷积，因此带有定向天线的干涉仪响应于以 ($b\sin \theta /\lambda$) 为中心的一定范围的角频率。由于天线直径 $D$ 必须小于基线 $b$（否则天线会重叠），角频率响应无法延伸到零，干涉仪无法探测各向同性源——例如大部分 3 K 宇宙微波背景。缺失的短基线 ($b<D$) 可以由单口径望远镜、直径为 $D>b$ 的望远镜提供。因此，$D$ = 100 m 的 GBT 可以填补 $b<25m$ 缺失的基线，而 $D$ = 25 m 的 VLA 天线无法获取这些基线。

提高干涉仪即时点源响应模式需要更多的傅里叶分量；也就是说，需要更多的基线。一个有$N$个天线的干涉仪包含$N(N-1)/2$对天线，每一对天线都是一个双元干涉仪，因此即时合成波束（通过平均所有双元干涉仪的输出得到的点源响应）随着$N$的增加会快速接近高斯形状。具有投影基线长度 $b$ 的两元件干涉仪、具有三条基线（投影长度为 $b/3$、$2b/3$ 和 $b$）的三元件干涉仪，以及具有六条基线（投影长度为 $b/6$、$2b/6$、$3b/6$、$4b/6$、$5b/6$ 和 $b$）的四元件干涉仪的瞬时点源响应如图 3.42 所示。

图3.42:干涉仪在整体投影长度为 $b$ 且天线数量为两、三或四个并按图所示分布时的瞬时点源响应由粗曲线表示。四元干涉仪的合成主瓣几乎为高斯形，角分辨率为 $\theta \approx \lambda /b,$，但旁瓣仍然显著，并且由于没有比单个天线直径更短的间距，会出现一个宽广的负“碗”。因此，合成波束有时也被称为脏波束。多元干涉仪的瞬时脏波束是其组成的双元干涉仪各自响应的算术平均值。由三元干涉仪组成的三个双元干涉仪以及由四元干涉仪组成的六个双元干涉仪的各自响应以细曲线绘出。

大多数射电源是静止的；也就是说，它们的亮度分布在天文观测的时间尺度上没有显著变化。对于静止源，具有可移动天线的双元干涉仪可以进行 $N(N-1)/2$ 观测，以复制一次使用 $N$ 元干涉仪的观测。

3.7.2 略微扩展源和复相关器

采用“余弦”相关器（图 3.41 和式 3.175）的准单色双元干涉仪对空间上相干性较弱、稍微扩展（远小于主波束宽度）的源，且具有近频率 $\nu =\omega /(2\pi )$ 的天空亮度分布 $I_{\nu }(\hat{s})$ 的响应 $R_c=(V^2/2)\cos (\omega {\tau }_g)$，可通过将扩展源视为独立点源的总和来获得：

$$\begin{array}{}\text{(3.179)}& R_c=\int I(\hat{s})\cos (2\pi \nu \overrightarrow{b}\cdot \hat{s}/c)d\mathrm{\Omega }=\int I(\hat{s})\cos (2\pi \overrightarrow{b}\cdot \hat{s}/\lambda )d\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

请注意，在此响应中偶余弦函数仅对任意源亮度分布的偶（中心对称）部分 $I_E$ 敏感，该分布可以写成偶部分与奇（反对称）部分的和：$I=I_E+I_O$。要检测奇部分 $I_O$，我们需要一个输出为奇的“正弦”相关器 $R_s=(V^2/2)\sin (\omega {\tau }_g)$。这可以通过第二个相关器来实现，该相关器跟随插入到一个天线输出中的 $\pi /2rad={90}^{\circ }$ 相位延迟，因为 $\sin (\omega {\tau }_g)=\cos (\omega {\tau }_g-\pi /2)$。然后

$$\begin{array}{}\text{(3.180)}& R_s=\int I(\hat{s})\sin (2\pi \overrightarrow{b}\cdot \hat{s}/\lambda )d\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

余弦相关器和正弦相关器的组合称为复相关器，因为在数学上将余弦和正弦视为使用欧拉公式的复指数是方便的（附录 B.3）

$$\begin{array}{}\text{(3.181)}& e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .\end{array}$$

复可见度定义为

$$\begin{array}{}\text{(3.182)}& \mathcal{V}\equiv R_c-i{R}_s\end{array}$$

可以写成以下形式

$$\begin{array}{}\text{(3.183)}& \mathcal{V}=A{e}^{-i\varphi },\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(3.184)}& A={(R_c^2+R_s^2)}^{1/2}\end{array}$$

可见性振幅为

$$\begin{array}{}\text{(3.185)}& \varphi ={\tan }^{-1}(R_s/R_c)\end{array}$$

可见性相位为。具有复相关器的两元准单色干涉仪对亮度分布为 $I(\hat{s})$ 的扩展源的响应是复可见性

$$\begin{array}{}\text{(3.186)}& \boxed{{\displaystyle \mathcal{V}=\int I(\hat{s})\exp (-i2\pi \overrightarrow{b}\cdot \hat{s}/\lambda )d\mathrm{\Omega }.}}\end{array}$$

3.7.3 有限带宽和平均时间的影响

准单色干涉仪的式 3.186 可以推广到具有有限带宽和积分时间的干涉仪，这是获得高灵敏度所必需的。在以频率 ${\nu }_c$ 为中心的小但有限的频率范围 $\mathrm{\Delta }\nu$ 内，式 3.186 变为

$$\mathcal{V}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.187)}& =\int \left[{\int }_{{\nu }_c-\mathrm{\Delta }\nu /2}^{{\nu }_c+\mathrm{\Delta }\nu /2}{I}_{\nu }(\hat{s})\exp (-i2\pi \overrightarrow{b}\cdot \hat{s}/\lambda )d\nu \right]d\mathrm{\Omega }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3.188)}& =\int \left[{\int }_{{\nu }_c-\mathrm{\Delta }\nu /2}^{{\nu }_c+\mathrm{\Delta }\nu /2}{I}_{\nu }(\hat{s})\exp (-i2\pi \nu {\tau }_g)d\nu \right]d\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

如果光源亮度和干涉仪的响应在 $\mathrm{\Delta }\nu$ 范围内几乎保持恒定，则频率积分就是矩形函数的傅里叶变换，因此

$$\begin{array}{}\text{(3.189)}& \mathcal{V}\approx \int I_{\nu }(\hat{s})sinc(\mathrm{\Delta }\nu {\tau }_g)\exp (-i2\pi {\nu }_c{\tau }_g)d\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

对于有限带宽 $\mathrm{\Delta }\nu$ 和延迟 ${\tau }_g$，条纹振幅会被因子 $sinc(\mathrm{\Delta }\nu {\tau }_g)$ 衰减。这种衰减可以在任意一个方向 ${\hat{s}}_0$（称为延迟中心或相位参考位置）通过在“前导”天线的信号路径中引入补偿延迟 ${\tau }_0\approx {\tau }_g$ 来消除，如图 3.43 所示。随着地球转动，${\tau }_0$ 必须持续调整以跟踪 ${\tau }_g$，并维持在 $|{\tau }_0-{\tau }_g|\ll {(\mathrm{\Delta }\nu )}^{-1}$ 的容差范围内。这通常使用数字电子设备完成。

图3.43:补偿延迟 ${\tau }_0$，如图所示，作为天线 2 与相关器之间的一段额外电缆环路，必须跟踪延迟中心方向 ${\hat{s}}_0$ 的几何延迟 ${\tau }_g$，精确度足够以保持 $|{\tau }_0-{\tau }_g|\ll {(\mathrm{\Delta }\nu )}^{-1}$，从而最小化衰减。

几何延迟随方向变化，因此延迟补偿只在一个方向上可以精确。可用视场的角半径 $\mathrm{\Delta }\theta$ 由 ${\tau }_g$ 随从方向 ${\hat{s}}_0$ 偏移 $\mathrm{\Delta }\theta$ 的变化决定。由于 $c{\tau }_g=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{s}=b\cos \theta$，$|c\mathrm{\Delta }{\tau }_g|=b\sin \theta \mathrm{\Delta }\theta$。要求

$$\begin{array}{}\text{(3.190)}& \mathrm{\Delta }\nu \mathrm{\Delta }{\tau }_g\ll 1\end{array}$$

意味着

$$\begin{array}{}\text{(3.191)}& \mathrm{\Delta }\nu (b\sin \theta )\mathrm{\Delta }\theta /c\ll 1.\end{array}$$

代入 $\lambda \nu =c$ 并使用 ${\theta }_s\approx \lambda /(b\sin \theta )$ 作为合成波束宽度，我们得到该要求

$$\begin{array}{}\text{(3.192)}& \boxed{{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\theta }{{\theta }_s}\ll \frac{\nu }{\mathrm{\Delta }\nu }.}}\end{array}$$

在相对于相位参考位置较大的角偏移下，带宽展宽将通过与一个角宽为$\mathrm{\Delta }\theta \mathrm{\Delta }\nu /\nu$的矩形卷积来径向扩展合成光束。

只有将总带宽划分为若干更窄的频率通道，并使每个通道满足式 3.192，才能获得满意的广域成像。例如，VLA “B” 配置（最大基线长度$b\approx 10km$）在$\lambda =20cm$（$\nu =1.5GHz$）的合成光束宽度为${\theta }_s\approx [(0.2m)/({10}^{4}m)]rad\approx 4arcsec$。要成像至角半径$\mathrm{\Delta }\theta =15arcmin=900arcsec$，即VLA主波束的半功率半径，需要通道带宽为

$$\begin{array}{}\text{(3.193)}& \mathrm{\Delta }\nu \ll \frac{\nu {\theta }_s}{\mathrm{\Delta }\theta }=\frac{1.5\times {10}^{9}Hz\cdot 4arcsec}{900arcsec}\approx 7MHz.\end{array}$$

同样，相关器平均时间 $\mathrm{\Delta }t$ 必须保持足够短，以使地球的自转不会使干涉仪参考系中的目标位置移动超过合成波束宽度 ${\theta }_s\approx \lambda /b$。例如，如果延迟被设定为跟踪北天极，则远离北极的目标 $\mathrm{\Delta }\theta$ 将以角速度 $2\pi \mathrm{\Delta }\theta /P$ 移动，其中 $P\approx {23}^h{56}^m{04}^s\approx 86164s$ 是地球的恒星自转周期。过长的相关器平均时间会导致时间扫尾，从而切向扩展合成波束。为了在角半径为 $\mathrm{\Delta }\theta$ 的图像中最小化时间扫尾，我们要求

$$\begin{array}{}\text{(3.194)}& \boxed{{\displaystyle \frac{2\pi \mathrm{\Delta }t}{P}\approx \frac{\mathrm{\Delta }t}{1.37\times {10}^{4}s}\ll \frac{{\theta }_s}{\mathrm{\Delta }\theta }.}}\end{array}$$

继续之前的例子，为了在角半径为 $\mathrm{\Delta }\theta =900arcsec$ 的范围内成像，当 ${\theta }_s=4arcsec$ 时，需要平均时间 $\mathrm{\Delta }t$ 足够短，以便

$$\begin{array}{}\text{(3.195)}& \mathrm{\Delta }t\ll \frac{{\theta }_s}{\mathrm{\Delta }\theta }\cdot 1.37\times {10}^{4}s=\frac{4arcsec}{900arcsec}\cdot 1.37\times {10}^{4}s\approx 60s.\end{array}$$

3.7.4 地球自转孔径合成

地球的自转会改变固定在地面的干涉仪元件的投影基线覆盖范围。特别是，对于所有基线局限于东西方向的干涉仪，其所有基线在地球每日自转时将保持在垂直于地球南北自转轴的单一平面上。将所有基线限制在二维具有计算上的优势，即源的亮度分布可以简单地通过测量到的可见度的二维傅里叶变换来得到。

图 3.44 展示了在纬度 $+{40}^{\circ }$ 的东西向双元干涉仪通过地球自转孔径合成的示意图，从赤纬为 $\delta =+{30}^{\circ }$ 的信源观察。设 $u$ 为投影基线在东西向的波长分量，$v$ 为投影基线在南北向的波长分量。

图3.44:从一个遥远的射电源观察，对于这幅图的赤纬 $\delta =+{30}^{\circ }$，地球沿着从北极伸出的箭头所示的南北轴以恒星日为周期逆时针旋转。位于纬度 $+{40}^{\circ }$ 的一个东西方向双元干涉仪的天线，如图从左到右所示，它们在时角为 $-6^h$、$-3^h$、$0^h$、$+3^h$ 和 $+6^h$ 时的样子。投影到与视线垂直的纸面平面上，干涉仪基线从 $-6^h$ 时完全的南北方向连续旋转到 $0^h$ 的东西方向，再回到 $+6^h$ 的南北方向。天线的投影间距也随之变化。在这12小时的时间段内，预计的基线在（$u,v$）平面上描绘出一个椭圆，如虚线所示，（$u,v$）椭圆上的点显示了在$-6^h$、$-3^h$、$0^h$、$+3^h$和$+6^h$的瞬时覆盖情况。椭圆的$v$轴比$u$轴小$\sin \delta$倍。

在以源过中天为中心的12小时内，干涉仪在$(u,v)$平面上描绘出一个完整的椭圆。$u$的最大值等于天线的实际波长间距，而$v$的最大值因投影因子$\sin \delta$而较小，其中$\delta$是源的赤纬。如果干涉仪有多于两个的元件，或者两个元件的间距每天都变化，$(u,v)$覆盖将变为多个具有相同形状的同心椭圆。因此，通过东西方向地球自转孔径合成得到的合成波束可以接近椭圆高斯形。合成波束宽度为东-西方向 $\approx u^{-1}$ 弧度，北-南方向 $\approx u^{-1}\csc \delta$ 弧度。对于接近天极的天体，合成波束呈圆形，但对于接近天赤道的天体，北-南方向的波束宽度非常大。

3.7.5 三维干涉仪

图 8.4 所示的 VLA（甚大阵列）呈 Y 形，瞬时是一个近乎共面的二维阵列，由位于新墨西哥州圣奥古斯丁高原上的 27 个 25 米望远镜组成。它的基线不限于东西方向，但几乎共面，因此比恒星日短得多的“快照”观测可以视为二维处理。在较长时间尺度上，地球自转使 VLA 的基线填充一个三维体积。南北基线允许即使在天球赤道附近也能使用近圆形合成波束成像。图 8.4 显示了跨度约 1 公里“D”配置。这些望远镜可以沿铁路轨道移动，形成跨度分别为 3.4 公里、11 公里和 36 公里的“C”、“B”和“A”配置，以获得更高的角分辨率。VLA 最近进行了重大升级，成为 JVLA（“J”代表“詹斯基”），配备了全新的宽带接收机，完全覆盖 1 到 50 GHz 的频率范围，并配备了功能更强大、更灵活的相关器。它的灵敏度比原来的窄带 VLA 提高了一个数量级。

用来描述三维中任意基线向量$\overrightarrow{b}$的$(u,v,w)$坐标系如图 3.45 所示。$w$轴在参考方向${\hat{s}}_0$上，通常选择该方向以包含目标射电源。$u$轴和$v$轴指向$w$轴法平面$(u,v)$中的东和北。$u$、$v$和$w$是$\overrightarrow{b}/\lambda$（以波长为单位的基线向量）的分量。任意单位向量$\hat{s}$具有如图所示的分量$(l,m,n)$，其中$n=\cos \theta ={(1-l^2-m^2)}^{1/2}$。分量$(l,m,n)$称为方向余弦。

图3.45:干涉仪的 $(u,v,w)$ 坐标系。$w$ 轴指向参考方向 ${\hat{s}}_0$，通常包含要成像的光源。投影到与 $w$ 轴垂直的平面上，$u$ 是以波长为单位的东西基线，$v$ 是以波长为单位的南北基线。$l$、$m$ 和 $n$ 分别是单位向量 $\hat{s}$ 在 $u$、$v$ 和 $w$ 轴上的投影。

因为

$$\begin{array}{}\text{(3.196)}& d\mathrm{\Omega }=\frac{dldm}{{(1-l^2-m^2)}^{1/2}},\end{array}$$

式 3.186 的三维推广为

$$\begin{array}{}\text{(3.197)}& \boxed{{\displaystyle \mathcal{V}(u,v,w)=\int \int \frac{I_{\nu }(l,m)}{{(1-l^2-m^2)}^{1/2}}\exp [-i2\pi (ul+vm+wn)]dldm.}}\end{array}$$

这 不是 三维傅里叶变换。

然而，如果 $w=0$，式 3.197 变为二维傅里叶变换，则可以反演以给出用测量的可见度表示的源亮度分布：

$$\begin{array}{}\text{(3.198)}& \boxed{{\displaystyle \frac{I_{\nu }(l,m)}{{(1-l^2-m^2)}^{1/2}}=\int \int \mathcal{V}(u,v,0)\exp [+i2\pi (ul+vm)]dudv.}}\end{array}$$

对于东-西干涉仪进行地球自转孔径合成的情况，如果我们选择 ${\hat{s}}_0$ 与地球自转轴重合，则 ${(1-l^2-m^2)}^{1/2}=\cos \theta =\sin \delta$，其中 $\delta$ 是参考位置的赤纬。

对于任何干涉仪，如果我们只考虑接近 ${\hat{s}}_0$ 的方向，则 $n=\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2$ 且

$$\begin{array}{}\text{(3.199)}& \mathcal{V}(u,v,w)\approx \exp (-i2\pi w)\int \int \frac{I_{\nu }(l,m)}{{(1-l^2-m^2)}^{1/2}}\exp [-i2\pi (ul+vm-w{\theta }^2/2)]dldm.\end{array}$$

通过保持 $w{\theta }^2\ll 1$，可以将因子 $\exp (-i2\pi w{\theta }^2/2)$ 保持接近于 1；也就是说，仅对半径为 $\theta \ll w^{-1/2}\approx {(\lambda /b)}^{1/2}$ 的小视场进行成像。例如，对于一个基线长度为 ${10}^4$ 波长的干涉仪而言，$\theta \ll 0.01$ 弧度足够小。然后

$$\begin{array}{}\text{(3.200)}& \mathcal{V}\exp (i2\pi w)=\int \int \frac{I_{\nu }(l,m)}{{(1-l^2-m^2)}^{1/2}}\exp [-i2\pi (ul+vm)]dldm.\end{array}$$

可以通过二维傅里叶变换成像比 $\theta \ll w^{-1/2}$ 更宽的视场，将其分解为较小的面片，就像苍蝇的复眼一样，然后将这些面片合并以生成最终图像。

3.7.6 灵敏度

双元干涉仪的点源灵敏度可以通过对单天线的总功率接收机使用的辐射计方程来推导，因为平方律检测器等同于一个相关器，它乘以一个天线提供的两个相同的输入电压。考虑一个由两个相同元件组成的干涉仪，每个元件也都有一个平方律检测器，观测一个点源。相关器将两个天线的电压相乘，而每个平方律检测器将来自一个天线的电压自乘，因此干涉仪和每个单天线的相关/检测输出电压在强度上是相等的。因此，双元干涉仪的有效接收面积 $A_e$ 等于每个元件的有效接收面积。然而，来自两个干涉仪元件的噪声电压几乎完全不相关（只有点源贡献相关噪声），而流入平方律检测器的噪声电压则完全相关（相同）。平滑处理前的相关器输出电压分布如图 3.46 所示，图 3.47 则显示了在 $N=50$ 个样本上平滑处理后的相关器输出电压分布。在点源贡献的天线温度 $\mathrm{\Delta }T$ 远小于系统噪声 $T_s$ 的极限下，相关器输出噪声比每个天线的平方律检测器噪声 $2^{1/2}$ 更低。对于一个非极化点源，其流密度为 $S$，则 $k\mathrm{\Delta }T=S{A}_e/2$，因此对于单个天线，

$$\begin{array}{}\text{(3.201)}& {\sigma }_S=\frac{2k{T}_s}{A_e{(\mathrm{\Delta }\nu \tau )}^{1/2}}\end{array}$$

对于一个双元干涉仪，

$$\begin{array}{}\text{(3.202)}& {\sigma }_S=\frac{2^{1/2}k{T}_s}{A_e{(\mathrm{\Delta }\nu \tau )}^{1/2}}.\end{array}$$

因此，两元干涉仪的点源灵敏度比每个天线的灵敏度高 $2^{1/2}$ 倍，但比面积与两天线总和相同的单天线灵敏度低 $2^{1/2}$ 倍。两元干涉仪的灵敏度低于具有相同总收集面积的单天线的原因在于，两独立平方律探测器输出所包含的信息被丢弃了。它们一起具有单天线 $2^{1/2}$ 倍的灵敏度。结合独立的相关器输出，总灵敏度是单天线灵敏度的 ${(2+2)}^{1/2}=$ 倍，或者说正好等于两元干涉仪总面积相当的单天线的灵敏度。

图3.46:当相关器的输入是非相关的高斯噪声时，其未平滑输出电压具有零均值的对称分布，其均方根波动比平方律检波器（图 3.33）的波动小$2^{1/2}$倍。

图3.47:相关器的平滑输出电压接近零均值的高斯分布，并且均方根噪声通过平均的独立样本数量开平方而减小。此图显示了来自$N=50$样本运行平均的噪声。其均方根波动比平方律检波器（图 3.34）的波动小$2^{1/2}$倍。

一个具有 $N$ 天线盘的干涉仪包含 $N(N-1)/2$ 个独立的双元件干涉仪。只要来自每个天线盘的信号在被分开以与来自 $N-1$ 其他天线的信号相乘之前能够被相干放大，其点源 rms 噪声是

$$\begin{array}{}\text{(3.203)}& \boxed{{\displaystyle {\sigma }_S=\frac{2k{T}_s}{A_e{[N(N-1)\mathrm{\Delta }\nu \tau ]}^{1/2}}.}}\end{array}$$

在大 $N$、${[N(N-1)]}^{1/2}\to N$ 的极限下，干涉仪的点源灵敏度接近于单个天线的灵敏度，其面积等于 $N{A}_e$ 干涉仪天线的总有效面积 $N$。例如，具有 $N=27$ 个天线盘，每个天线盘直径为 $d=25$ 米的 VLA，其点源灵敏度相当于直径为 $D={[N(N-1)]}^{1/4}d={[27(26)]}^{1/4}\cdot 25m=129m$ 的单天线盘的灵敏度。如果同时使用平方律探测器的输出，$N$ 元干涉仪的点源灵敏度将与具有相同总收集面积的单个天线盘的灵敏度完全相同。

实际的干涉仪灵敏度略低于此，因为它们的相关器使用数字乘法器，对输入电压进行采样和量化，而不是完美的模拟乘法器。例如，一个以奈奎斯特速率两倍采样、具有三个量化级别的数字乘法器（$-1,0,+1$）的灵敏度仅是完美模拟乘法器的0.89倍。Thompson 等人的章节《数字信号处理》（[107]）详细讨论了量化的这种及其他影响。

尽管干涉仪的点源灵敏度与具有相同总面积的单天线的点源灵敏度相当，但要注意，干涉仪的亮度灵敏度要差得多，因为干涉仪的合成波束立体角远小于具有相同总有效面积的单天线的波束立体角。最大基线为 $b$ 的干涉仪的角分辨率为 $\approx \lambda /b$，而直径为 $D$ 的单天线的角分辨率为 $\approx \lambda /D$，因此干涉仪的波束立体角小了 $\approx {(D/b)}^2$ 倍。这大致就是干涉仪的面积填充因子，定义为所有天线覆盖的面积与干涉仪阵列所占面积的比值。例如，VLA 在其 $b\approx 11km$ “B” 配置中的填充因子为 $\approx {(129m/1.1\times {10}^{4}m)}^2\approx 1.2\times {10}^{-4}$。高分辨率干涉仪无法探测低表面亮度的源，无论其总通量密度多高。

任何天文图像的强度轴具有光谱亮度或比强度的量纲（例如，每束角的Jy或MJy sr${}^{-1}$或K为单位），而不是通量密度（例如，Jy）。方程3.203中的点源rms ${\sigma }_S$对应于每束角的图像通量密度，例如，Jy/束${}^{-1}$。已发表的射电图像通常强度轴的单位为Jy/束${}^{-1}$，因为点源的通量密度等于其以这些单位表示的亮度，并且${\sigma }_S$独立于束角。然而，适当的光谱亮度仅依赖于源。在 Jy beam${}^{-1}$ 中指定的“光谱亮度”具有光谱亮度的量纲，但请注意，这并不是真正的光谱亮度，因为它依赖于合成波束立体角，而不仅仅依赖于射电源。红外天文学家经常用 MJy sr${}^{-1}$ 指定图像强度，这才是真正的亮度。亮温度 $T$ 是用于无线电图像的一种方便的真正亮度。利用波束立体角 ${\mathrm{\Omega }}_A$ 制作的图像的 rms 亮温度灵敏度 ${\sigma }_T$ 可直接由 ${\sigma }_S$ 和雷利--金斯近似得出：

$$\begin{array}{}\text{(3.204)}& \boxed{{\displaystyle {\sigma }_T=\left(\frac{{\sigma }_S}{{\mathrm{\Omega }}_A}\right)\frac{{\lambda }^2}{2k}.}}\end{array}$$

大多数干涉仪图像是用高斯波束恢复的。具有半高宽 ${\theta }_{HPBW}$ 的高斯波束的波束立体角（式 3.34）为（式 3.118）

$${\mathrm{\Omega }}_A=\frac{\pi {\theta }_{HPBW}^2}{4\ln 2},$$

因此

$$\begin{array}{}\text{(3.205)}& {\sigma }_T=\left(\frac{2\ln 2c^2}{\pi k{\nu }^2}\right)\frac{{\sigma }_S}{{\theta }_{HPBW}^2}.\end{array}$$

例如，所有 1.4 GHz 的 NRAO VLA 天空巡天（NVSS）图像的均方根噪声为 ${\sigma }_S\approx 0.45mJy{beam}^{-1}$，并且使用半功率波束宽度为 ${\theta }_{HPBW}=45arcsec\approx 2.18\times {10}^{-4}rad$ 的圆形高斯波束进行了恢复。因此，NVSS 的均方根亮温噪声为

$${\sigma }_T\approx \left[\frac{2\ln 2{(3\times {10}^{8}m{s}^{-1})}^2}{\pi \cdot 1.38\times {10}^{-23}J{K}^{-1}\cdot {(1.4\times {10}^{9}Hz)}^2}\right]\frac{0.45\times {10}^{-29}W{Hz}^{-1}}{{(2.18\times {10}^{-4}rad)}^2}\approx 0.14K.$$

。 这足以在 1.4 GHz 探测到具有中位数 $⟨T_b⟩\sim 1K$ 的正常螺旋星系（$5{\sigma }_T\approx 0.7K$）。请注意，高分辨率（低 ${\mathrm{\Omega }}_A$）的图像即使具有良好的点源灵敏度（低 ${\sigma }_S$），其亮温灵敏度仍可能较差（高 ${\sigma }_T$）。