附录 F 常数、单位和维度

F.1 物理常数

符号 名称 数值 单位

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$a$ radiation constant $7.56577\times {10}^{-15}$ $erg{cm}^{-3}{K}^{-4}$$a_0$ Bohr radius $5.29177\times {10}^{-9}$ $cm$$c$ speed of light in vacuum $2.99792\times {10}^{10}$ $cm{s}^{-1}$$e$ electron charge (magnitude) $4.80325\times {10}^{-10}$ statcoulomb (or esu) $eV$ electron volt $1.60218\times {10}^{-12}$ erg $G$ gravitational constant $6.67428\times {10}^{-8}$ $dyne{cm}^2{g}^{-2}$$h$ Planck's constant $6.62607\times {10}^{-27}$ erg s $k$ Boltzmann's constant $1.38065\times {10}^{-16}$ $erg{K}^{-1}$$m_e$ electron mass $9.10938\times {10}^{-28}$ $g$$m_p$ proton mass $1.67262\times {10}^{-24}$ $g$${\mu }_B$ Bohr magneton $9.27401\times {10}^{-21}$ $erg{gauss}^{-1}$$R_{\mathrm{\infty }}$ Rydberg constant $1.09737\times {10}^5$ ${cm}^{-1}$$R_{\mathrm{\infty }}c$ Rydberg frequency $3.28984\times {10}^{15}$ $s^{-1}$$\sigma$ Stefan - Boltzmann constant $5.67040\times {10}^{-5}$ $erg{s}^{-1}{cm}^{-2}{sr}^{-1}{K}^{-4}$${\sigma }_T$ Thomson cross section $6.65245\times {10}^{-25}$ ${cm}^2$$u$ atomic mass unit $1.66054\times {10}^{-24}$ $g$

F.2 天文常数

符号 名称 数值 单位

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$au$ astronomical unit $1.49598\times {10}^{13}$ $cm$$\approx 500$ light seconds $H_0$ Hubble constant $67.8$ $km{s}^{-1}{Mpc}^{-1}$ kpc kiloparsec ${10}^3$ $pc$$L_{\odot }$ solar luminosity $3.826\times {10}^{33}$ $erg{s}^{-1}$$ly$ light year $9.4606\times {10}^{17}$ $cm$$M_{\odot }$ solar mass $1.989\times {10}^{33}$ $g$ Mpc megaparsec ${10}^6$ $pc$$pc$ parsec $3.0856\times {10}^{18}$ $cm$$R_{\odot }$ solar radius $6.9558\times {10}^{10}$ $cm$$yr$ tropical year $3.1557\times {10}^7$ $s$$\approx {10}^{7.5}$ $s$

F.3 MKS（SI）和高斯CGS单位

国际单位制，或称 Système Internationale d'Unités (SI)，于1960年被采纳，用以取代始于1799年的MKS（米、千克、秒）单位制以及1874年引入的CGS（厘米、克、秒）单位制。各种用于电场和磁场的CGS单位要么过大，要么过小，而且维度各不相同，因此在1893年引入了电流的实用单位安培、电阻的欧姆和电动势的伏特。国际单位制是MKS制的直接后代，其基本单位包括米、千克和秒，以及用于电流的安培和用于温度的开尔文。千克由国际千克原器的质量定义。其他的基本单位是通过实验室测量定义的：秒是铯-133原子基态两个超精细能级之间跃迁对应辐射的9,192,631,770周期的持续时间，米是在真空中光在1/299,792,458秒的时间间隔内传播的距离，安培是这样的恒定电流：如果在两根无限长、截面可忽略不计且平行放置、相距1米的导体中维持该电流，将在这两根导体之间产生每米长度等于1牛顿的力，而开尔文是水的三相点热力学温度的1/273.16。因此，真空中的国际单位制光速正好为299,792,458米每秒按定义。在本书中，MKS和SI这两个术语可以互换使用。

Type MKS unit CGS unit conversion

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length $m$ $cm$ ${10}^{2}cm=1m$$2.54cm\equiv 1inch(exactly)$ mass $kg$ $g$ ${10}^{3}g=1kg$ time $s$ $s$ energy joule erg ${10}^{7}erg=1joule=1kg{m}^2{s}^{-2}$ force newton dyne ${10}^{5}dyne=1newton=1kgm{s}^{-2}$ frequency $Hz$ $Hz$ $1Hz=1s^{-1}$ power $W$ $erg{s}^{-1}$ ${10}^{7}erg{s}^{-1}=1W=1kg{m}^2{s}^{-3}$ temperature kelvin kelvin charge coulomb statcoulomb $3\times {10}^{9}statcoulomb\leftrightarrow 1coulomb$$(1statcoulomb=1esu)$ current ampere statampere $3\times {10}^{9}statamp\leftrightarrow 1amp$$(1amp=1coulomb{s}^{-1})$ electric field $volt{m}^{-1}$ $statvolt{cm}^{-1}$ $(1/3)\times {10}^{-4}statvolt{cm}^{-1}\leftrightarrow$$1volt{m}^{-1}$ magnetic field tesla gauss ${10}^{4}gauss\leftrightarrow 1tesla$ resistance ohm $\sec {cm}^{-1}$ $(1/9)\times {10}^{-11}s{cm}^{-1}\leftrightarrow 1ohm$ voltage volt statvolt $(1/3)\times {10}^{-2}statvolt\leftrightarrow 1volt$$(1volt=1joule{coulomb}^{-1})$

工程师和大多数物理学家更喜欢使用MKS单位，因此射电天文学家使用MKS单位来描述他们的设备和观测结果。大多数天体物理学家则更喜欢使用高斯CGS单位来描述天体物理过程和天文源。因此，这两种单位系统都出现在文献中。在它们之间转换时要小心，因为天体物理量可能非常大或非常小，以至于转换错误并不直观——日常经验不会显示太阳的质量是$2\times {10}^{30}$千克，而不是$2\times {10}^{30}$克。

长度、质量、时间和温度的MKS和CGS单位具有相同的量纲，因此可以说，例如${10}^{2}cm=1m$。然而，对于电磁量如电荷、电流、电压等，MKS和CGS单位更为棘手，因为它们的量纲不同。高斯CGS单位的电荷（静库仑）被定义为使得两电荷$q_1$和$q_2$之间相距$r$的静电力$F$的大小遵循库仑定律为简单形式

$$F=\frac{q_1{q}_2}{r^2}.$$

(F.1)

MKS单位的电荷（库仑）是根据电流和安培定律定义的，库仑定律变为

$$F=\frac{c^2}{{10}^7}\frac{q_1{q}_2}{r^2},$$

(F.2)

其中$c=2.99729458\times {10}^{8}m{s}^{-1}$是MKS单位下的真空光速。库仑定律的MKS形式通常写作

$$F=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2},$$

(F.3)

其中 ${ϵ}_0$ 称为真空介电常数，并且

$${ϵ}_0=\frac{{10}^7}{4\pi c^2}\approx 8.854\times {10}^{-12}$$

(F.4)

的单位为 $m^{-2}{s}^2=C^2{N}^{-1}{m}^{-2}$。相应的 MKS 磁学量是真空磁导率

$${\mu }_0\equiv 4\pi \times {10}^{-7}newton{ampere}^{-2}={({ϵ}_0{c}^2)}^{-1}.$$

(F.5)

比较式 F.1 和 F.2 中的力可以看出

$$1coulomb=10cstatcoulomb$$

(F.6)

因此 statcoul 与 coulomb 具有不同的量纲，并且将它们联系起来的数值换算因子为

$$1coulomb\leftrightarrow 2.99729458\times {10}^{9}statcoulomb,$$

(F.7)

其中符号$\leftrightarrow$表示与给定量的量纲不兼容的量相关的数值转换。例如，已知电子的电荷在CGS单位中为$e=-4.80325\times {10}^{-10}statcoulomb$，则可以使用方程式F.7来表明电子电荷在MKS单位中为$e=-1.60253\times {10}^{-19}coulomb$。电荷转换因子在上表中简化为$3\times {10}^9$，其中$3$是表示精确且量纲正确$2.99729458(m{s}^{-1})={10}^{-8}c$的常规无量纲简称；类似地，$(1/3)$表示$1/[2.99729458(m{s}^{-1})]$，$1/9$表示$1/{[2.99729458(m{s}^{-1})]}^2$。

如果仔细保持量纲，整个方程式也可以在CGS与MKS之间进行转换。例如，加速$\dot{v}$下电荷$q$辐射功率$P$的CGS形式（洛伦姆公式，方程式2.143）是

$$P=\frac{2}{3}\frac{q^2{\dot{v}}^2}{c^3},$$

因此

$$\left(\frac{P}{erg{s}^{-1}}\right)=\frac{2}{3}{\left(\frac{q}{statcoul}\right)}^2{\left(\frac{\dot{v}}{cm{s}^{-1}}\right)}^2{\left(\frac{c}{cm{s}^{-1}}\right)}^{-3}.$$

数值转换

$$3\times {10}^{9}statcoulomb\leftrightarrow 1coulomb$$

意味着在维度上正确的等式

$$2.99729458m{s}^{-1}\times {10}^{9}statcoulomb=10cstatcoulomb=1coulomb,$$

因此

$$\left(\frac{P}{{10}^{-7}W}\right)$$$$=\frac{2}{3}{\left(\frac{q}{{(10c)}^{-1}coul}\right)}^2{\left(\frac{\dot{v}}{{10}^{-2}m{s}^{-1}}\right)}^2{\left(\frac{c}{{10}^{-2}m{s}^{-1}}\right)}^{-3},$$$${10}^7\left(\frac{P}{W}\right)$$$$=\frac{2}{3}{(10c)}^2{\left(\frac{q}{coul}\right)}^2({10}^4){\left(\frac{\dot{v}}{m{s}^{-1}}\right)}^2({10}^{-6}){\left(\frac{c}{m{s}^{-1}}\right)}^{-3},$$$$\left(\frac{P}{W}\right)$$$$=\frac{2}{3}\left(\frac{c^2}{{10}^7}\right){\left(\frac{q}{coul}\right)}^2{\left(\frac{\dot{v}}{m{s}^{-1}}\right)}^2{\left(\frac{c}{m{s}^{-1}}\right)}^{-3}$$$$=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\right){\left(\frac{q}{coul}\right)}^2{\left(\frac{\dot{v}}{m{s}^{-1}}\right)}^2{\left(\frac{c}{m{s}^{-1}}\right)}^{-3}.$$

因此，MKS 单位下的拉莫尔方程为

$$P=\frac{1}{6\pi {ϵ}_0}\frac{q^2{\dot{v}}^2}{c^3}.$$

在实际电磁学中使用 MKS 单位——电压表读数为 MKS 伏特，电流表读数为 MKS 安培，一个 9 伏电池提供 9 MKS 伏特，等等。高斯 CGS 单位的一个重要优点是洛伦兹力定律变为

$$\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\beta }\times \overrightarrow{B}),$$

(F.8)

其中 $\overrightarrow{\beta }\equiv \overrightarrow{v}/c$ 是无量纲的，因此在高斯 CGS 单位中，$\overrightarrow{E}$ 和 $\overrightarrow{B}$ 的维度相同（基本单位 ${cm}^{-1/2}{g}^{1/2}{s}^{-1}$），以及 $1statvolt{cm}^{-1}=1gauss$，强调了相对论结果，即电场和磁场是从不同参考系观察的等效场。在 MKS 版本的式 F.8 中，这种等效性并不明显：

$$\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}),$$

(F.9)

这会降低光速，并且还显示 $\overrightarrow{E}$ 和 $\overrightarrow{B}$ 在 MKS 系统中具有不同的量纲。因此等式

$$|\overrightarrow{E}|=|\overrightarrow{B}|$$

(F.10)

在 CGS 系统中有意义，但在 MKS 中则没有意义。

关于常用单位制的详细说明，请参见 Jackson [55] 的附录。

F.4 其他常数和单位

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Symbol Value AB magnitude $-2.5\log [S(Jy)]+8.90=-2.5{\log }_{10}[S/(3631Jy)]$ arcmin $1/60\mathrm{deg}$ arcsec $1/60arcmin$ Å ${10}^{-10}m$$D$ $1debye\equiv {10}^{-18}statcoulombcm$$dB$ $10{\log }_{10}(P_1/P_2)$$\mathrm{deg}$ $(\pi /180)rad$$e$ $2.71828\dots$ GHz ${10}^{9}Hz$$Jy$ ${10}^{-26}W{m}^{-2}{Hz}^{-1}={10}^{-23}erg{s}^{-1}{cm}^{-2}{Hz}^{-1}$ MHz ${10}^{6}Hz$ mJy ${10}^{-3}Jy$$\mu m$ ${10}^{-6}m$$\mu Jy$ ${10}^{-6}Jy$$\pi$ $3.14159\dots$ radian (rad) angle subtending unit arc length on a unit circle $=180/\pi \approx 57.296\mathrm{deg},=640000/\pi \approx 206265arcsec$ steradian (sr) solid angle subtending unit area on a unit sphere THz ${10}^{12}Hz$

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F.5 雷达和波导频段

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Band Frequency name (GHz) 助记符 $P$ $0.25<\nu <0.50$ Previous $L$ $1<\nu <2$ Long (wavelength) $S$ $2<\nu <4$ Short (wavelength) $C$ $4<\nu <8$ Compromise (between S and X) $X$ $8<\nu <1\text{2}$ X shape of crosshairs K u $12<\nu <18$ Kurz - under $K$ $18<\nu <26\text{.5}$ Kurz (short in German) K a $\text{2}6.5<\nu <40$ Kurz - above $Q$ $33<\nu <50$$U$ $40<\nu <60$ U is before V in alphabet $V$ $50<\nu <75$ $Veryabsorbedby{O}_2$$W$ $75<\nu <11\text{0}$ W is after V in alphabet

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F.6 量纲分析

任何物理量的量纲都可以表示为长度、质量和时间这三个基本物理量的幂的乘积。例如，速度的量纲可以表示为 $(length)\times {(time)}^{-1}$。温度和电荷这两个导出量纲是为了方便使用而引入的。

每个方程的两边都应该具有相同的量纲，因为有效的物理定律与所用单位无关。量纲分析为新方程的推导提供了一个有效的错误检查方法。例如，温度为 $T$ 的黑体辐射器的总通量为

$$S(T)=\sigma T^4.$$

通量的量纲是单位面积的功率（例如，单位为 erg s${}^{-1}$ cm${}^{-2}$），所以斯特藩-玻尔兹曼常数 $\sigma$ 的量纲应为 $power\times {area}^{-1}\times {(temperature)}^{-4}$（例如，单位为 erg s${}^{-1}$ cm${}^{-2}$ K${}^{-4}$）。然而，黑体辐射器的总亮度是

$$B(T)=\frac{\sigma T^4}{\pi },$$

亮度的量纲为 $power\times {area}^{-1}$ 每单位立体角（例如，单位 erg s${}^{-1}$ cm${}^{-2}$ sr${}^{-1}$），这表明 $\sigma$ 的量纲为 $power\times {area}^{-1}$ 每单位立体角 $\times {(temperature)}^{-4}$（例如，量纲 erg s${}^{-1}$ cm${}^{-2}$ sr${}^{-1}$ K${}^{-4}$）。这并不违反方程两边量纲相同的规则，因为额外的 sr${}^{-1}$ 本身是无量纲的：立体角的量纲为（角度）${}_{}^2={(length/length)}^2$。为了清楚起见，应在适当情况下明确写出额外的 sr${}^{-1}$。

仅仅因为角和立体角是无量纲的，并不意味着它们没有单位。角的自然单位是弧度，定义为以圆心为顶点、圆弧长度等于圆半径的弧所对的角。只有这个角具有尺寸（长度/长度），其中两个长度具有相同的单位。任何其他角的单位，例如度，都不具有该性质，必须在方程中明确指出。同样，立体角的唯一自然单位是球面度，定义为单位半径球面上一单位面积所对的立体角。

某些物理量的量纲可以有多种表示方式，而最简单的方式并不总是最清楚的。例如，电阻在温度 $T$ 下产生的单位频率噪声功率是

$$P_{\nu }=kT.$$

$P_{\nu }$ 和 $kT$ 的量纲都是能量（例如，尔格或焦耳）。然而，更容易将 $P_{\nu }$ 理解为单位频率的功率（例如，erg s${}^{-1}$ Hz${}^{-1}$ 或 W Hz${}^{-1}$），尽管单位频率的功率也具有能量的量纲，因为 Hz${}^{-1}$ 的量纲是时间（s），与 s${}^{-1}$ 抵消。

最后，许多函数的自变量是无量纲的。例如 $\sin \theta$，其中 $\theta$ 是角度（量纲为长度/长度），$\cos (\omega t)$，其中角频率的量纲 $\omega$（时间的倒数）和 $t$（时间）相互抵消，以及 $\exp [h\nu /(kT)]$，其中分子 $h\nu$ 和分母 (kT) 均具有能量的量纲。