附录 A 傅里叶变换

A.1 傅里叶变换

连续傅里叶变换在数学、工程和物理科学中非常重要。它在离散采样函数中的对应是离散傅里叶变换（DFT），通常使用所谓的快速傅里叶变换（FFT）来计算。DFT 改变了现代社会，因为它在数字电子学和信号处理中无处不在。射电天文学家尤其热衷于使用傅里叶变换，因为傅里叶变换是数据处理（例如周期性搜索）和仪器（例如天线、接收器、光谱仪）的关键组成部分，同时也是干涉测量和孔径合成的基石。有用的参考资料包括 Bracewell [15]（大多数射电天文学家的书架上都有）以及维基百科 http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform 和 Mathworld http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html 关于傅里叶变换的条目。

傅里叶变换是一种可逆的线性变换，具有许多重要特性。任何实变量 $x$ 的复函数 $f(x)$，只要它是可积的 $\left({\int }_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|f(x)|dx<\mathrm{\infty }\right)$ 且仅包含有限的不连续点，就有一个以实变量 $s$ 表示的复傅里叶变换 $F(s)$，其中 $x$ 和 $s$ 的乘积是无量纲且为一。例如，波形 $f(t)$ 的傅里叶变换表示为 时域 信号时，其对应的频谱 $F(\nu )$ 则表示为 频域 信号。如果 $t$ 以秒为单位，则 $\nu$ 的单位为 $s^{-1}=Hz$。

$f(x)$的傅里叶变换定义为

$$\boxed{{\displaystyle F(s)\equiv {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-2\pi isx}dx,}}$$

(A.1)

通常称为正变换，而

$$\boxed{{\displaystyle f(x)\equiv {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(s)e^{2\pi isx}ds,}}$$

(A.2)

是逆变换。在两种情况下，$i\equiv \sqrt{-1}$。傅里叶变换的其他定义基于角频率$\omega \equiv 2\pi \nu$，具有不同的归一化，或复指数中的相反符号约定。连续的正变换和逆变换会返回原函数，因此傅里叶变换是循环且可逆的。对称符号$\iff$通常用来表示“是……的傅里叶变换”；例如，$F(s)\iff f(x)$。

复指数（附录 B.3）是变换的核心。复指数只是一个复数，其中实部和虚部都是正弦函数。它们之间的精确关系称为欧拉公式

$$\boxed{{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}}$$

(A.3)

这导致了著名的（且优美的）恒等式 $e^{i\pi }+1=0$，它将数学中五个最重要的数字联系起来。复指数比三角函数更容易操作，并且它们为处理任意相位的正弦函数提供了一种简洁的表示方法，而这些正弦函数构成了傅里叶变换的基础。

复指数（或正弦和余弦）是周期函数，并且复指数的集合是完备且正交的。因此，傅里叶变换可以表示任何分段连续函数，并且最小化函数与其表示之间的最小二乘误差。还存在其他完备且正交的周期函数集；例如，沃尔什函数（方波）对数字电子学非常有用。为什么在解决物理问题时我们总是遇到复指数？为什么单色波是正弦波，而不是方波或三角波的周期序列？其原因在于复指数的导数只是重新缩放的复指数。换句话说，复指数函数是微分算子的特征函数。大多数物理系统遵循线性微分方程。因此，模拟电子滤波器会将正弦波转换为具有相同频率的另一个正弦波（但不一定具有相同的幅度和相位），而滤波后的方波则不会是方波。复指数函数的这一特性使傅里叶变换在从无线电传播到量子力学等各个领域具有独特的应用价值。

A.2 离散傅里叶变换

连续傅里叶变换将无限时长的时域信号转换为由无限个正弦波组成的连续频谱。在天文观测中，我们处理的是离散采样的信号，通常以恒定间隔采样，并且具有有限的持续时间或周期性。对于这样的数据，仅需要有限数量的正弦波，并且适合使用离散傅里叶变换（DFT）。几乎对于每一个傅里叶变换定理或性质，都存在其对应的DFT定理或性质。$N$ 数据点的 DFT $x_j$（其中 $j=0,\dots ,N-1$）以均匀间隔采样，其傅里叶逆变换定义为

$$\boxed{{\displaystyle X_k\equiv \sum _{j=0}^{N-1}{x}_j{e}^{-2\pi ijk/N}}}$$

(A.4)

以及

$$\boxed{{\displaystyle x_j\equiv \frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{X}_k{e}^{2\pi ijk/N}.}}$$

(A.5)

再次说明，符号和归一化约定可能有所不同，但这个定义是最常见的。连续变量 $s$ 已被离散变量（通常为整数）$k$ 取代。

$N$ 点输入时间序列的 DFT 是 $N$ 点的频谱，傅里叶频率 $k$ 从 $-(N/2-1)$ 起，经过零频率或所谓的直流分量，直到最高傅里叶频率 $N/2$。每个频点编号表示时间序列中存在的正弦波周期的整数数量。振幅和相位表示这些正弦波的振幅 $A_k$ 和相位 ${\varphi }_k$。总之，每个频点可以用 $X_k=A_k{e}^{i{\varphi }_k}$ 描述。

对于实值输入数据，所得的离散傅里叶变换（DFT）是厄米的——谱的实部是偶函数，虚部是奇函数，因此 $X_{-k}=\overline{X_k}$，其中上横线表示复共轭。这意味着所有“负”傅里叶频率都不提供新的信息。$k=0$ 和 $k=N/2$ 两个频点的值都是实数，总共有 $N/2+1$ 个傅里叶频点，因此独立信息的总数（即实部和复部）为 $N$，就像输入时间序列一样。DFT 不会产生也不会消耗信息。

时间域信号与频域信号之间存在的其他对称性如表 A.1 所示。 表 A.1:时间域信号与频域信号之间的对称性。

通常，DFT是通过一种非常聪明（并且真正具有革命性）的算法计算的，这种算法被称为快速傅里叶变换（FFT）。FFT由高斯于1805年发现，并在此后被多次重新发现，但大多数人将其现代形式归功于James W. Cooley和John W. Tukey [32]在1965年的工作。FFT相对于DFT的关键优势在于，其操作复杂度从DFT的$O(N^2)$下降到FFT的$O(N{\log }_2(N))$。FFT 的现代实现 http://www.fftw.org 允许$O(N{\log }_2(N))$复杂度适用于任意 $N$的值，而不仅仅是2的幂或仅由小质数的乘积构成的值。

DFT与FFT示例。估算对于长度为${10}^3$、${10}^6$和${10}^9$点的变换，通过计算FFT而非DFT所获得的速度提升:

$$\text{speed improvement}(N={10}^3)$$$$\propto \frac{N^2}{N{\log }_2(N)}=\frac{N}{{\log }_2(N)}\sim \frac{{10}^3}{10}\sim 100,$$$$\text{speed improvement}(N={10}^6)$$$$\propto \frac{N}{{\log }_2(N)}\sim \frac{{10}^6}{20}\sim 5\times {10}^4$$$$\text{speed improvement}(N={10}^9)$$$$\propto \frac{N}{{\log }_2(N)}\sim \frac{{10}^9}{30}\sim 3\times {10}^7.$$

这些速度提升可能是巨大的，它们也是快速傅里叶变换（FFT）在现代社会普及的原因之一。

A.3 采样定理

现代射电天文学的很大一部分现在基于数字信号处理（DSP），它依赖于连续的电波能够通过这些电波的一系列离散数字样本得到准确表示。一个支撑DSP并对信息理论有重要影响的惊人定理被称为奈奎斯特--香农定理或采样定理。它指出，任何受带宽限制（或带通限制）且频率范围限制在 $\mathrm{\Delta }\nu$ 内的连续函数，都可以通过时间上间隔为 $\le {(2\mathrm{\Delta }\nu )}^{-1}$ 的均匀采样精确重建。临界采样率 ${(\mathrm{\Delta }t)}^{-1}=2\mathrm{\Delta }\nu$ 被称为奈奎斯特率，样本之间的间隔必须满足 $\mathrm{\Delta }t\le 1/(2\mathrm{\Delta }\nu )$ 秒。奈奎斯特采样的时间序列包含原始连续信号的所有信息，并且由于 DFT 是可逆线性变换，该时间序列的 DFT 同样包含所有信息。

采样定理示例。

（年轻且未受损的）人耳可以听到频率分量高达 $\sim 20$ kHz 的声音。因此，几乎完美的音频录音系统必须以奈奎斯特频率 ${\nu }_{N/2}\ge 40kHz$ 对音频信号进行采样。音频 CD 的采样率为 44.1 kHz，以便为不完美的低通音频滤波器提供 2 kHz 的缓冲区，从而去除高频，否则这些高频会混叠到可听声带。

别名信号的直观例子可以在电影中看到，当电影摄影机以每秒24帧的速度进行“频闪”采样旋转的马车轮时，$n$ 均匀分布的辐条就显现出来。当轮子的旋转频率低于奈奎斯特率（$12/nHz$）时，轮子看起来以正确的速度和方向旋转。当它的旋转速度快于 $12/nHz$ 但慢于 $24/nHz$ 时，它看起来像是在倒转，而且速度较慢。当旋转速度接近 $24/nHz$ 时，轮子明显减慢，然后在旋转速度等于奈奎斯特率的两倍时停止。

与采样带宽对应的频率，同时也是长度为 $N$ 的奈奎斯特采样信号的 DFT 中的最大频率，被称为奈奎斯特频率，

$$\boxed{{\displaystyle {\nu }_{N/2}=1/(2\mathrm{\Delta }t).}}$$

(A.6)

奈奎斯特频率描述了进行采样的系统的高频截止，因此它是该系统的一个特性。原始信号中任何高于奈奎斯特频率的频率，即信号未被正确进行奈奎斯特采样或未进行带限处理的部分，将会如下面所述混叠到采样带中的其他低频上。对于以奈奎斯特频率或更高频率采样的带限信号，则不会发生混叠。

在离散傅里叶变换（DFT）中，如果有 $N$ 个样本，总时间跨度为 $T=N\mathrm{\Delta }t$，则频率分辨率为 $1/T$。每个傅里叶频率箱编号 $k$ 精确地代表原始数据 $x_j$ 中的 $k$ 次正弦振荡，因此对应的频率为 $\nu =k/T$ 赫兹。奈奎斯特频率对应于编号为 $k={\nu }_{N/2}T=T/(2\mathrm{\Delta }T)=NT/(2T)=N/2$ 的频率箱。如果信号不是带宽受限的，并且存在高频成分（$k>N/2$ 或 $\nu >N/(2T)$ 赫兹），这些频率将在 DFT 中出现在较低频率 ${\nu }_a=N/T-\nu$ 处，假定 $N/(2T)<\nu <N/T$。通过对输入数据进行滤波以确保其带宽受限，可以避免这种混叠。

请注意，采样定理并不要求原始连续信号必须是基带信号，即其频率带从零频率开始并延续到频率 $\mathrm{\Delta }\nu$。该信号可以处于任何频率范围 ${\nu }_{min}$ 到 ${\nu }_{max}$，使得 $\mathrm{\Delta }\nu \ge {\nu }_{max}-{\nu }_{min}$。大多数无线接收器和仪器具有以某个高频为中心的有限带宽，因此带的底端不在零频率处。它们要么使用变频技术（第 3.6.4 节）将高频带混频到基带，然后进行奈奎斯特采样，要么在采样方案中使用混叠。例如，从接收机中获得的1--2 GHz滤波带可以混频到基带并以2 GHz采样，这个频率是该带宽的奈奎斯特率；或者可以直接以2 GHz采样原始信号，这样1 GHz带宽将正确地按照奈奎斯特采样，但该频带会由于混叠而在频率方向上翻转。这通常被称为在“第二奈奎斯特区”采样。更高的奈奎斯特区也可以被采样，并且频带方向会在每个连续区间中翻转（例如，在奇数奈奎斯特区频带方向正常，而在偶数区频带方向翻转），这是由于混叠造成的。

A.4 功率谱

天文学中一个有用的量是功率谱$\overline{F(s)}F(s)={\left|F(s)\right|}^2$。功率谱不保留原函数的相位信息。瑞利定理（有时称为普朗谢雷定理，与傅里叶级数的帕塞瓦尔定理相关）表明，功率谱的积分等于函数平方模的积分（例如，信号能量在频域和时域中是相等的）：

$$\boxed{{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|f(x)\right|{}_{2}dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|F(s)\right|{}_{2}ds.}}$$

(A.7)

A.5 基本变换

图 A.1 显示了一些基本的傅里叶变换对。可以使用下面的傅里叶变换定理将它们组合，以生成许多不同函数的傅里叶变换。网页上有一个很好的 Java 小程序 http://webphysics.davidson.edu/Applets/mathapps/mathapps_fft.html，可以让你试验各种简单的离散傅里叶变换（DFT）。

图A.1:基本傅里叶变换对。

A.6 基本傅里叶定理

加法定理。两个函数$f(x)$和$g(x)$的傅里叶变换是它们傅里叶变换$F(s)$和$G(s)$的和。该基本定理基于傅里叶变换的线性性：

$$\boxed{{\displaystyle f(x)+g(x)\iff F(s)+G(s).}}$$

（A.8）

同样，从线性中，如果 $a$ 是常数，则

$$\boxed{{\displaystyle af(x)\iff aF(s).}}$$

（A.9）

移位定理。函数沿$x$轴$a$移$f(x)$为$f(x-a)$，其傅里叶变换$e^{-2\pi ias}F(s)$。变换的大小相同，只是相位发生变化：

$$\boxed{{\displaystyle f(x-a)\iff e^{-2\pi ias}F(s).}}$$

（A.10）

相似定理。对于一个函数 $f(x)$ 及其傅里叶变换 $F(s)$，如果对 $x$ 轴按常数 $a$ 进行缩放，使我们得到 $f(ax)$，则其傅里叶变换变为 $|a{|}^{-1}F(s/a)$。换句话说，时域中短而宽的函数在频域中会变成高而窄的函数，并且总是保持变换下的面积不变。这是量子力学中不确定性原理和射电望远镜衍射极限的基础：

$$\boxed{{\displaystyle f(ax)\iff \frac{F\left(s/a\right)}{|a|}.}}$$

(A.11)

调制定理。乘积 $f(x)\cos (2\pi \nu x)$ 的傅里叶变换是 $\frac{1}{2}F(s-\nu )+\frac{1}{2}F(s+\nu )$。这个定理在射电天文学中非常重要，因为它描述了信号如何“混频”到不同的中频（IF）：

$$\boxed{{\displaystyle f(x)\cos (2\pi \nu x)\iff \frac{1}{2}F(s-\nu )+\frac{1}{2}F(s+\nu ).}}$$

(A.12)

导数定理。函数 $f(x)$、$df/dx$ 的导数的傅里叶变换为 $i2\pi sF(s)$：

$$\boxed{{\displaystyle \frac{df}{dx}\iff i2\pi sF(s).}}$$

(A.13)

时域中的微分会增强高频谱分量，衰减低频分量，并完全消除直流分量。

A.7 卷积与互相关

卷积在天文学的许多方面都有体现，最显著的是在成像系统的点源响应和插值中。卷积，我们将用 $\ast$ 表示（符号 $\otimes$ 也常用于表示卷积），将一个函数 $f$ 与时间反转的核函数 $g$ 相乘，然后将 $g$ 移动一定量 $u$，并从 $-\mathrm{\infty }$ 积分到 $+\mathrm{\infty }$。函数 $f$ 和 $g$ 的卷积$h(x)$ 是由以下公式定义的线性泛函

$$\boxed{{\displaystyle h(x)=f\ast g\equiv {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(u)g(x-u)du.}}$$

(A.14)

图A.2:卷积示例。

在图 A.2中，注意函数的δ函数部分如何在卷积中产生核的图像。对于时间序列，该核定义了系统的脉冲响应。对于天线或成像系统，该核被称为波束、点源响应或点扩散函数。

一个非常好的小程序展示了卷积的工作原理，可在线获得 http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html。（也有离散版本 http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html）；还有一个不同的可视化工具可用 https://maxwell.ict.griffith.edu.au/spl/Excalibar/Jtg/Conv.html。

卷积定理非常强大，它指出两个函数卷积的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的乘积：

$$\boxed{{\displaystyle f\ast g\iff F\cdot G.}}$$

(A.15)

互相关是一个与卷积非常相似的运算，不同之处在于核没有进行时间反转。互相关广泛用于干涉测量和孔径合成成像中，也用于对数据执行最优的“匹配滤波”，以检测噪声中的微弱信号。互相关用五角星符号 $\star$ 表示，并定义为

$$\boxed{{\displaystyle f\star g\equiv {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(u)g(u-x)du.}}$$

(A.16)

在这种情况下，与卷积不同，$f(x)\star g(x)\ne g(x)\star f(x)$。

与卷积定理密切相关，互相关定理指出，两个函数的互相关的傅里叶变换等于各自傅里叶变换的乘积，其中一个已取复共轭：

$$\boxed{{\displaystyle f\star g\iff \bar{F}\cdot G.}}$$

(A.17)

自相关是具有 $f\star f$ 的互相关的一种特殊情况。相关的自相关定理也被称为维纳–辛钦定理，其内容为

$$\boxed{{\displaystyle f\star f\iff \bar{F}\cdot F=\left|F\right|{}_2.}}$$

(A.18)

用通俗的话说，自相关函数的傅里叶变换就是功率谱，或者等价地，自相关是功率谱的傅里叶逆变换。许多射电天文学仪器使用自相关和该定理计算功率谱。下图总结了函数、其傅里叶变换、自相关及功率谱之间的关系：

$$\begin{array}{ccc}{x}_j& \iff & X_k\\ \text{(function})& \text{DFT}& \text{(transform)}\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ x_j\star x_j& \iff & {\left|X_k\right|}^2\\ \text{(autocorrelation)}& \text{DFT}& \text{(power spectrum).}\end{array}$$

关于使用DFT进行卷积和相关的一个重要事项是，它们是循环的，其周期对应于卷积或相关中最长分量的长度。除非考虑到这种周期性（通常通过对其中一个输入函数进行零填充），否则卷积或相关将会在末端回绕，并可能“污染”所得函数。

A.8 其他傅里叶变换链接

在网络上感兴趣的其他傅里叶变换相关链接包括一个傅里叶级数小程序 http://www.jhu.edu/~signals/fourier2/index.html，一些音调、泛音、滤波和声音 http://www.jhu.edu/~signals/listen-new/listen-newindex.htm，以及一本关于 DFT 数学的很好的在线书籍 http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/mdft.html。