第 7 章 谱线

7.1 引言

谱线是在气态和电离源的光谱中出现的窄的（\({\Delta\nu} \ll \nu\)）发射或吸收特征。射电谱线的例子包括电离氢和较重原子的复合线、极性分子如一氧化碳（CO）的转动线，以及星际Hi的\(\lambda = 21\)厘米超精细线。

谱线的发射和吸收本质上是量子现象。经典的粒子和波是理想化的概念，就像几何中的无穷小点或完全直线一样；它们在现实世界中并不存在。有些事物几乎是波（例如射电波），有些几乎是粒子（例如电子），但它们都具有粒子和波的特性。与理想化的波不同，真实的射电波没有连续的可能能量。相反，电磁辐射是量子化的，由光子组成，其能量与频率成正比：\(E = {h\nu}\)。与理想化的粒子不同，真实的动量为\(p\)的粒子与波相关联，其德布罗意波长为\(\lambda = {h/p}\)。电子围绕原子核的稳定轨道具有与驻波相同的特性：其周长必须等于波长的整数倍。在这两个方程中，普朗克常数 \(h \approx {6.62607 \times 10^{- 27}}\) erg·s 是一个作用量的量子，其量纲为（质量\(\times\)长度\({}_{}^{2} \times\)时间\(^{- 1}\)），与（能量\(\times\)时间）或（角动量）或（长度\(\times\)动量）相同。尽管 \(h\) 的能量 \(\times\) 时间的维度，物理上可接受的解（波函数及其导数必须是有限且连续的）对时间独立薛定谔方程仅在总能量的离散值存在，因此谱线具有由于离散能量态之间跃迁而产生的确定频率。对谱线特别是在射电波长下 \({h\nu} \ll {kT}\)，另一个重要的量子效应是受激发射（第 7.3.1 节）。幸运的是，来自星际原子和分子的射电谱线的基本特性可以通过量子力学和热力学的相当简单的应用得出。

谱线是天文物体中物理和化学条件的强有力诊断工具。它们的静止频率可识别涉及的特定原子和分子，而它们的多普勒位移可测量径向速度。这些速度提供了银河系外源的红移和哈勃距离，以及分辨星系的旋转曲线和径向质量分布。坍缩速度、湍流速度和热运动会导致银河系源的谱线展宽。Hii区、被尘埃遮蔽的致密分子云和稀薄星际气体的温度、密度和化学成分也受谱线数据的约束。射电谱线具有一些独特的特征：

1. 它们的“自然”谱线宽度远小于多普勒展宽谱线宽度，因此可以测量气体温度和径向速度的微小变化。

2. 受激辐射很重要，因为 \({h\nu} \ll {kT}\)。这导致谱线不透明度随着 \(T^{- 1}\) 变化，并有利于自然微波激射器的形成。

3. 射电波穿透银河系及其他星系尘埃的能力，使得能够探测来自尘埃分子云、原恒星以及围绕活动星系核旋转的分子盘的谱线发射。

4. 频率（时间的倒数）可以比波长（长度）测量得更精确，因此可以非常敏感地搜索宇宙时间尺度上基本物理常数的微小变化。

尽管我们银河系的星际介质（ISM）是动态的，但它趋向于粗略的压力平衡，因为速度可达声速的质量运动会试图减少压力梯度。温度的平衡较慢，因此在给定压力 \(p\) 和理想气体定律下，存在温度 \(T\) 和粒子数密度 \(n\) 的宽范围。

\[\boxed{p = nkT.} \tag{7.1} \]

典型的 ISM 压力处于 \({p/k} = {nT} \sim 10^{3}\)--\(10^{4}{cm}^{- 3}K\) [58] 的范围内。谱线辐射冷却对温度非常敏感，因此大部分 ISM 存在于几种不同的相中，这些相具有相当的压力但温度却大不相同：

1. 寒冷（几十 K）密集的分子云

2. 凉爽（\(\sim 10^{2}\) K）中性 Hi 气体

3. 温暖（\(\sim {5 \times 10^{3}}\) K）中性 Hi 气体

4. 温暖的 (\(\sim 10^{4}\) K) 电离的Hii气体

5. 炽热的 (\(\sim 10^{6}\) K) 低密度电离气体（例如，在超新星遗迹膨胀形成的气泡中）

除了最炽热的阶段，其他阶段都是无线电谱线的来源。

7.2 复合谱线

7.2.1 复合谱线频率

半经典的玻尔原子（图 7.1）包含一个由质子和中子组成的原子核，电子围绕它作圆周运动。核质量\(M\)总是远大于电子质量之和\(m_{e}\)，因此在质心系中原子核几乎静止。电子的波函数具有德布罗意波长

\[{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_{e}v}}, \tag{7.2} \]

其中 \(p\) 是电子的动量，\(v\) 是其速度。只有那些周长等于整数倍 \(n\) 波长的轨道才对应于驻波，并且是允许的。因此，第 \(n\) 个允许电子轨道的玻尔半径\(a_{n}\) 满足量子化规则

\[{{2\pi a_{n}} = {n\lambda} = \frac{nh}{m_{e}v}}, \tag{7.3} \]

其中数字 \(n\) 称为主量子数。要求

\[a_{n} = \frac{nh}{2\pi m_{e}v} = \frac{n\hslash}{m_{e}v} \tag{7.4} \]

意味着轨道角动量 \(L = {m_{e}va_{n}} = {n\hslash}\) 是约化普朗克常数\(\hslash \equiv {h/{({2\pi})}}\) 的整数倍。\(a_{n}\) 与 \(v\) 之间的关系由电子在圆形轨道上受到的库仑力与离心力的平衡决定。对于氢原子,

\[{\frac{e^{2}}{a_{n}^{2}} = \frac{m_{e}v^{2}}{a_{n}}}. \tag{7.5} \]

式 7.4 和 7.5 可以组合以消去 \(v\)，并用 \(n\) 和物理常数求解 \(a_{n}\)：

\[\boxed{a_{n} = \frac{n^{2}\hslash^{2}}{m_{e}e^{2}}.} \tag{7.6} \]

从数值上看，电子处于 \(n\) 能级的氢原子的玻尔半径为：

\[a_{n} \]

\[= {\frac{\hslash^{2}}{m_{e}e^{2}}n^{2}} = {\frac{{\lbrack{{{6.63/{({2\pi})}} \times 10^{- 27}}{erg}s}\rbrack}^{2}}{{{9.11 \times 10^{- 28}}g} \cdot {({{4.8 \times 10^{- 10}}{statcoul}})}^{2}}n^{2}} \]

\[{\approx {{{0.53 \times 10^{- 8}}{cm}} \cdot n^{2}}}. \]

处于其基态电子状态(\(n = 1\))的氢原子的玻尔半径仅为 \(a_{1} \approx {0.53 \times 10^{- 8}}\) 厘米，但在星际介质中，高度激发的 (\(n \approx 100\)) 发射射电的氢原子的直径可能异常大：\({2a_{100}} \approx {10^{- 4}{cm}} = {1\mu}\) 米，这比大多数病毒还要大！

图7.1:第 \(n\) 个玻尔轨道的半径与 \(n^{2}\) 成正比，因此发射射电的氢原子 (\(n \sim 100\)) 比处于 \(n = 1\) 基态的普通氢原子大 \(\sim 10^{4}\) 倍。

玻尔原子中的电子可以从能级 \(({n + {\Delta n}})\) 跳落到 \(n\)，其中 \(\Delta n\) 和 \(n\) 是任意自然数（\(1,2,3,\ldots\)），通过发射能量等于初态和末态能量差 \(\Delta E\) 的光子。这类谱线被称为复合线，因为先前自由的电子与离子复合后，会通过发射这样的光子迅速层叠到基态。天文学家使用元素名称、末态能级编号 \(n\)，以及希腊字母的连续字母表示能级变化 \(\Delta n\) 来标记每条复合线：\(\alpha\) 对应 \({\Delta n} = 1\)，\(\beta\) 对应 \({\Delta n} = 2\)，\(\gamma\) 对应 \({\Delta n} = 3\)，依此类推。例如，由氢原子从 \(n = 92\) 能级跃迁到 \(n = 91\) 能级产生的复合线称为 H91\(\alpha\) 线。

总电子能量 \(E_{n}\) 是电子在第 \(n\) 个圆轨道上的动能 (\(T\)) 和势能 (\(V\)) 之和：

\[{E_{n} = {T + V} = {- T} = {V/2} = {- \frac{e^{2}}{2a_{n}}} = {- {e^{2}\left( \frac{m_{e}e^{2}}{2n^{2}\hslash^{2}} \right)}} = {- {\left( \frac{m_{e}e^{4}}{2\hslash^{2}} \right)\frac{1}{n^{2}}}}}. \tag{7.7} \]

电子能量变化 \(\Delta E\) 从能级 \(({n + {\Delta n}})\) 到能级 \(n\) 等于发射光子的能量 \(h\nu\)：

\[{{\Delta E} = {\frac{m_{e}e^{4}}{2\hslash^{2}}\left\lbrack {\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{{({n + {\Delta n}})}^{2}}} \right\rbrack} = {h\nu}}, \tag{7.8} \]

因此光子频率为

\[{\nu = {\left( \frac{2\pi^{2}m_{e}e^{4}}{h^{3}c} \right)c\left\lbrack {\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{{({n + {\Delta n}})}^{2}}} \right\rbrack}}. \tag{7.9} \]

大括号内的因子称为里德伯常数\(R_{\infty}\)，其中下标指无限核质量极限 \(M\)：

\[{R_{\infty} \equiv \left( \frac{2\pi^{2}m_{e}e^{4}}{h^{3}c} \right) = {{{1.09737312\ldots} \times 10^{5}}{cm}^{- 1}}}. \tag{7.10} \]

\(R_{\infty}\)的尺寸为length\(^{- 1}\)，产品\(R_{\infty}c\)是里德伯频率：

\[{{R_{\infty}c} = {{{3.28984\ldots} \times 10^{15}}{Hz}}}. \tag{7.11} \]

考虑到相对较大但有限的核质量\(M \gg m_{e}\)，并在原子质心参考系中重复上述分析，得到相同的频率公式，只需将\(R_{\infty}\)替换为\(R_{M}\)：

\[\boxed{\nu = R_{M}c\left\lbrack \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{{({n + {\Delta n}})}^{2}} \right\rbrack,{where}\operatorname{\quad\quad}R_{M} \equiv R_{\infty}\left( 1 + \frac{m_{e}}{M} \right)^{- 1},} \tag{7.12} \]

氢核是质量为\(m_{p} \approx {1836.1m_{e}}\)的单个质子，因此氢原子的\({M{(H)}} \approx {1836.1m_{e}}\)和\(R_{M}c\)为

\[{{R_{M}c} = {{3.28984 \times 10^{15}}{Hz}\left( {1 + \frac{1}{1836.1}} \right)^{- 1}} = {{3.28805 \times 10^{15}}{Hz}}}. \]

因此，由H109\(\alpha\)跃迁（\({n + {\Delta n}} = 110\)到\(n = 109\)）产生的光子的频率为

\[{{\nu{({{H109}\alpha})}} = {{3.28805 \times 10^{15}}{Hz}\left( {\frac{1}{109^{2}} - \frac{1}{110^{2}}} \right)} \approx {{5.0089 \times 10^{9}}{Hz}}}. \]

中子的质量大约等于质子的质量，因此由两个质子和两个中子组成的\(^{4}\)He原子核的质量为\(M{(^{4}{He})} \approx 4M{(H)}\)，具有六个质子和六个中子的碳同位素的质量为\(M{(^{12}C)} \approx 12M{(H)}\)，依此类推。电子重新结合到任何具有\(N_{p}\)个质子和\(({N_{p} - 1})\)个电子的单电离原子上时，它们绕由一个质子净电荷产生的势能轨道运动，因此较重原子的复合谱线与氢的谱线非常相似，但频率略高（图 7.2）、由方程7.12给出。例如，稀有氦同位素\(^{3}\)He的原始丰度很重要，因为它取决于早期宇宙中的光子/重子比例。通过射电复合线发射测量了银河系 Hii 区中 \(^{3}\)He 的丰度，并表明重子仅占闭合宇宙所需临界密度的几个百分点。

图7.2:在 Hii 区 [85] 中观测到的氢、氦和碳的 91\(\alpha\) 和 92\(\alpha\) 跃迁的复合线观测光谱。

最强的射电复合线是由 \({\Delta n} \ll n\) 跃迁产生的，因此近似式

\[\left\lbrack {\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{{({n + {\Delta n}})}^{2}}} \right\rbrack \approx \frac{{({n + {\Delta n}})}^{2} - n^{2}}{n^{2}{({n + {\Delta n}})}^{2}} = \frac{{n^{2} + {2n\Delta n} + {({\Delta n})}^{2}} - n^{2}}{n^{2}{\lbrack{n^{2} + {2n\Delta n} + {({\Delta n})}^{2}}\rbrack}} \approx \frac{2n\Delta n}{n^{4}} = \frac{2\Delta n}{n^{3}} \tag{7.13} \]

给出了射电复合线频率的更简单（但不是非常精确）近似值

\[{\nu \approx \frac{2{({R_{M}c})}\Delta n}{n^{3}}}, \tag{7.14} \]

以及相邻谱线间隔 \({\Delta\nu} = {{\nu{(n)}} - {\nu{({n + 1})}}}\) 的频率值。

\[\boxed{\frac{\Delta\nu}{\nu} \approx \frac{3}{n}.} \tag{7.15} \]

相邻的高-\(n\)（低-\(\nu\)）射电复合线具有如此小的频率分数间隔（图 7.3），以至于通常可以同时观测到两条或多条跃迁并进行平均，从而减少达到特定信噪比所需的观测时间。

图7.3:单电离原子的 \({\Delta n} = 1\) 射电复合线，如此处以垂直条表示，在频率上间隔很近。

H109\(\alpha\) 线最早由 P. Mezger 在 1965 年发现，尽管（错误的）理论预测认为压力展宽会使频率上的谱线变得模糊，从而无法检测。确实，在星际介质中，原子碰撞会显著扰动大原子的能级，但这种扰动对于相邻能级来说大致相同，因此改变谱线频率的差异性扰动实际上要小得多。他的建议是：“不要因为有人告诉你会失败就放弃观测。”

7.2.2 复合谱线强度

自发发射率是一个孤立原子发射光子的平均速率。对自发发射率进行严格的量子力学计算比较复杂，但通过注意到原子带有 \(n \gg 1\) 发射射频光子，并引用对应原理（玻尔假设具有大量子数的系统几乎表现为经典行为），可以得到一个相当不错的经典近似。经典跃迁的时间平均辐射功率 \(\langle P\rangle\) 由电偶极矩 \(ea_{n}\) 的拉莫公式（式 2.143）给出：

\[{{\langle P\rangle} = {\frac{2e^{2}}{3c^{3}}{({\omega^{2}a_{n}})}^{2}{\langle{\cos^{2}{({\omega t})}}\rangle}} = {\frac{2e^{2}}{3c^{3}}{({2\pi\nu})}^{4}\frac{a_{n}^{2}}{2}}}. \tag{7.16} \]

光子发射速率 (s\(^{- 1}\)) 等于单个原子发射的平均功率除以每个光子的能量。从能级 \(n\) 到能级 \(({n - 1})\) 的跃迁的自发发射速率表示为 \(A_{n,{n - 1}}\)：

\[{A_{n,{n - 1}} = \frac{\langle P\rangle}{h\nu}}, \tag{7.17} \]

其中

\[\nu \approx \frac{2R_{\infty}c\Delta n}{n^{3}} \tag{7.18} \]

在极限 \({\Delta n} \ll n\) 下 (方程式 7.14)。在该极限下，\(A_{{n + 1},n} \approx A_{n,{n - 1}}\) 也是如此。

原子半径 (方程式 7.6) 为

\[{a_{n} \approx \frac{n^{2}h^{2}}{4\pi^{2}m_{e}e^{2}}}, \tag{7.19} \]

因此

\[A_{{n + 1},n} \]

\[\approx \frac{\langle P\rangle}{h\nu} \approx {\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\left( \frac{16\pi^{4}\nu^{3}}{h} \right)\frac{a_{n}^{2}}{2}} \tag{7.20} \]

\[\approx {\frac{16\pi^{4}}{3}\frac{e^{2}}{c^{3}h}\left( \frac{2R_{\infty}c}{n^{3}} \right)^{3}\left( \frac{n^{2}h^{2}}{4\pi^{2}m_{e}e^{2}} \right)^{2}} \tag{7.21} \]

\[{\approx {\frac{16\pi^{4}}{3}\frac{e^{2}}{c^{3}h}\left( \frac{4\pi^{2}m_{e}e^{4}}{h^{3}} \right)^{3}\left( \frac{h^{2}}{4\pi^{2}m_{e}e^{2}} \right)^{2}\frac{1}{n^{5}}}}, \tag{7.22} \]

\[\boxed{A_{{n + 1},n} \approx \left( \frac{64\pi^{6}m_{e}e^{10}}{3c^{3}h^{6}} \right)\frac{1}{n^{5}}.} \tag{7.23} \]

计算常数后得到氢原子的自发发射速率：

\[{A_{{n + 1},n} \approx {\left\lbrack \frac{{{{{64\pi^{6}} \cdot 9.11} \times 10^{- 28}}g} \cdot {({{4.8 \times 10^{- 10}}{statcoul}})}^{10}}{3 \cdot {({{3 \times 10^{10}}{cm}s^{- 1}})}^{3} \cdot {({{6.63 \times 10^{- 27}}{erg}s})}^{6}} \right\rbrack\frac{1}{n^{5}}}}, \tag{7.24} \]

\[\boxed{A_{{n + 1},n} \approx 5.3 \times 10^{9}\left( \frac{1}{n^{5}} \right)s^{- 1}.} \tag{7.25} \]

例如，5.0089 GHz H109\(\alpha\) 跃迁速率为 \(A_{110,109} \approx {0.3s^{- 1}}\)。

相关的自然线宽或本征线宽源自不确定性原理：\({\Delta E\Delta t} \approx \hslash\)。对于跃迁中涉及的每个能级，用\(h\Delta\nu\)代替\(\Delta E\)，用\(A_{{n + 1},n}^{- 1}\)代替\(\Delta t\)，并将这两个不确定性相加，得到

\[{{\Delta\nu} \sim {A_{{n + 1},n}/\pi} \sim {0.1{Hz}}}. \tag{7.26} \]

在产生射频光子的大的\(n\)处，自然展宽可忽略不计。发射原子的碰撞会导致碰撞展宽，当\({\Delta n} \ll n\)时，碰撞展宽的量只是碰撞率的一小部分。除了非常大的\(n\)之外，碰撞展宽也很小，实际的谱线轮廓（归一化强度随频率的函数）主要由反映发射原子的径向速度\(v_{r}\)的多普勒位移决定。符号约定为\(v_{r} > 0\)表示远离观测者的信号源。径向速度可以是微观的（来自单个原子的热运动）或宏观的（来自大规模湍流、流动或旋转）。在非相对论极限\(v_{r} \ll c\)下，多普勒方程（式 5.142）将观测频率\(\nu\)与谱线静止频率\(\nu_{0}\)联系起来，可简化为

\[{\nu \approx {\nu_{0}\left( {1 - \frac{v_{r}}{c}} \right)}}, \tag{7.27} \]

因此，可以通过以下公式估算非相对论径向速度：

\[{v_{r} \approx \frac{c{({\nu_{0} - \nu})}}{\nu_{0}}}. \tag{7.28} \]

来自局部热平衡下复合线源的谱线轮廓的热成分，由具有质量\(M\)和温度\(T\)的原子的麦克斯韦速度分布（式 B.49）决定。各向同性分布中任一坐标的速度是三维总速度的\(3^{- {1/2}}\)，因此高斯分布

\[{f{(v_{r})}} = {\left( \frac{M}{2\pi kT} \right)^{1/2}{\exp\left( {- \frac{Mv_{r}^{2}}{2kT}} \right)}} \tag{7.29} \]

是标准化的（\({\int{f{(v_{r})}{dv_{r}}}} = 1\)）径向速度分布。热发射的标准化谱线轮廓（图 7.4）\(\phi{(\nu)}\)为

\[|{\phi{(\nu)}d\nu}| \]

\[{= {f{(v_{r})}dv_{r}}}, \]

\[\phi{(\nu)} \tag{7.30} \]

\[{= {\left( \frac{M}{2\pi kT} \right)^{1/2}{\exp\left\lbrack {- {\frac{M}{2kT}\frac{c^{2}{({\nu - \nu_{0}})}^{2}}{\nu_{0}^{2}}}} \right\rbrack}\left| \frac{dv_{r}}{d\nu} \right|}}, \tag{7.31} \]

\[\boxed{\phi{(\nu)} = \frac{c}{\nu_{0}}\left( \frac{M}{2\pi kT} \right)^{1/2}\exp\left\lbrack - \frac{Mc^{2}}{2kT}\frac{{({\nu - \nu_{0}})}^{2}}{\nu_{0}^{2}} \right\rbrack.} \tag{7.32} \]

图7.4:归一化（\({\int{\phi{(\nu)}{d\nu}}} = 1\)）谱线轮廓 \(\phi{(\nu)}\) 的参数是中心频率 \(\nu_{0}\)、半高全宽（FWHM）谱线宽度 \(\Delta\nu\) 以及中心频率处的谱线高度 \(\phi{(\nu_{0})}\)。

这是一个高斯谱线轮廓。它的半高全宽（FWHM）\(\Delta\nu\) 是以下方程的解

\[{{\exp\left\lbrack {- {\frac{Mc^{2}}{2kT}\frac{{({{\Delta\nu}/2})}^{2}}{\nu_{0}^{2}}}} \right\rbrack} = \frac{1}{2}}, \tag{7.33} \]

\[{{\frac{Mc^{2}}{2kT}\frac{\Delta\nu^{2}}{4\nu_{0}^{2}}} = {\ln 2}}, \tag{7.34} \]

\[{{\Delta\nu} = {\left\lbrack \frac{8{\ln{(2)}}k}{c^{2}} \right\rbrack^{1/2}\left( \frac{T}{M} \right)^{1/2}\nu_{0}}}. \tag{7.35} \]

例如，在温度为 \(T \approx 10^{4}\) K、无宏观运动的静止 Hii 区域中，H109\(\alpha\) 谱线（\(\nu_{0} = 5.0089\) GHz）的 FWHM 为

\[\Delta\nu \]

\[\approx {\left\lbrack \frac{8{\ln{{{2 \cdot \, 1.38} \times 10^{- 16}}{erg}K^{- 1}}}}{{({{3 \times 10^{10}}{cm}s^{- 1}})}^{2}} \right\rbrack^{1/2}\left( \frac{10^{4}K}{{{1836 \cdot 9.11} \times 10^{- 28}}g} \right)^{1/2}} \]

\[{\quad \times 5.0089 \times 10^{9}}{Hz} \]

\[{\approx {{3.6 \times 10^{5}}{Hz}}}. \]

注意，热谱线宽度 \(\Delta\nu\) 远大于自然谱线宽度 \(A_{110,109} \approx 0.3\) Hz。

归一化（要求 \({\int{\phi{(\nu)}{d\nu}}} = 1\)）意味着 \(\phi\) 在谱线中心（\(\nu = \nu_{0}\)）处的值为

\[{{\phi{(\nu_{0})}} = {\frac{c}{\nu_{0}}\left( \frac{M}{2\pi kT} \right)^{1/2}} = {\frac{c}{\Delta\nu}\left( {\frac{8{\ln{2kT}}}{Mc^{2}}\frac{M}{2\pi kT}} \right)^{1/2}}}, \tag{7.36} \]

\[\boxed{\phi{(\nu_{0})} = \left( \frac{\ln 2}{\pi} \right)^{1/2}\frac{2}{\Delta\nu}.} \tag{7.37} \]

对于给定的积分（在频率上）线强度，在任一频率处（例如，在 \(\nu_{0}\)）的单位频率线强度与线宽 \(\Delta\nu\) 成反比。积分线强度通常以天文学上方便的单位 \({Jy}{km}s^{- 1}\) 指定，其中 \({1{km}s^{- 1}} \approx {{\nu_{0}/3.00} \times 10^{5}}\)。

7.3 线辐射传输

7.3.1 爱因斯坦系数

自发发射系数\(A_{UL}\) 是一个“未受扰动”原子或分子从上能级（U）跃迁到下能级（L）的平均光子发射速率 (s\(^{- 1}\))。谱线辐射传输问题还涉及吸收系数\(B_{LU}\) 和受激发射系数\(B_{UL}\)（图 7.5）。爱因斯坦表明，吸收系数和受激发射系数都可以通过自发发射系数计算得出。

图7.5:双能级系统的三个爱因斯坦系数：\(A_{UL}\) 表示自发发射，\(B_{LU}\) 表示吸收，\(B_{UL}\) 表示受激发射。

考虑量子系统（如单个原子或分子）的任意两个能级 \(E_{U}\) 和 \(E_{L}\)。在从上能级到下能级的跃迁过程中发射或吸收的光子能量为

\[E = {E_{U} - E_{L}} \tag{7.38} \]

，并会形成一个静止频率为 \(\nu_{0} = {E/h}\) 的谱线。这些能级实际上具有很小但有限的宽度，因此谱线具有某种窄线廓 \(\phi{(\nu)}\)，其中心为 \(\nu = \nu_{0}\)，并按惯例归一化为 \({\int_{0}^{\infty}{\phi{(\nu)}{d\nu}}} = 1\)。处于低能态的系统可能吸收频率为 \(\nu \approx \nu_{0}\) 的光子并跃迁到上能级。该过程的速率（s\(^{- 1}\)）与周围辐射场的廓加权平均辐射能量密度

\[\overline{u} \equiv {\int_{0}^{\infty}{u_{\nu}{(\nu)}\phi{(\nu)}{d\nu}}} \tag{7.39} \]

成正比，因此爱因斯坦吸收系数 \(B_{LU}\) 被定义为使得乘积成立。

\[\boxed{B_{LU}\overline{u}} \tag{7.40} \]

等于单个处于较低能量态的原子或分子系统吸收光子的平均速率 (s\(^{- 1}\))。

爱因斯坦意识到，除了自发发射和吸收之外，必须还有第三种过程。它是受激发射，其中能量为 \(E = {h\nu_{0}}\) 的光子刺激处于高能态的系统发射出第二个能量和方向相同的光子。该过程的速率也与 \(\overline{u}\) 成正比，因此类比式 7.40，定义了爱因斯坦受激发射系数 \(B_{UL}\)，以使乘积成为

\[\boxed{B_{UL}\overline{u}} \tag{7.41} \]

等于单个量子系统在其高能态下的受激光子发射的平均速率 (s\(^{- 1}\))。注意，有些作者在式 7.41 中使用 \(\overline{I}\) 替代 \(\overline{u}\) 来定义一个受激发射系数，该系数是式 7.41 给出的 \(B_{UL}\) 的 \({4\pi}/c\) 倍 [98]。

受激发射有时被称为负吸收。负吸收在日常生活中并不常见，因为它在可见波长下的室温物体中要弱得多，在那里 \({{h\nu}/{({kT})}} \gg 1\)，但负吸收在射电波长下可以有效地与普通吸收竞争，在那里 \({{h\nu}/{({kT})}} \ll 1\)。

考虑一个由许多原子或分子组成的大尺度集合，它与周围的辐射场处于完全热力学平衡（TE）状态。TE 是一个平稳状态。如果在（上态、下态）能级中每单位体积有 \((n_{U},n_{L})\) 个原子或分子，则自发发射和受激发射产生光子的平均速率必须与吸收破坏光子的平均速率平衡：

\[\boxed{n_{U}A_{UL} + n_{U}B_{UL}\overline{u} = n_{L}B_{LU}\overline{u}.} \tag{7.42} \]

在 TE 中，\(n_{U}\) 与 \(n_{L}\) 的比值由玻尔兹曼方程确定

\[{\frac{n_{U}}{n_{L}} = {\frac{g_{U}}{g_{L}}{\exp\left\lbrack {- \frac{({E_{U} - E_{L}})}{kT}} \right\rbrack}} = {\frac{g_{U}}{g_{L}}{\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT}} \right)}}}, \tag{7.43} \]

其中 \(g_{U}\) 和 \(g_{L}\) 是具有能量 \(E_{U}\) 和 \(E_{L}\) 的不同物理态的数量。量 \(g_{U}\) 和 \(g_{L}\) 称为这些能级的统计权重。统计权重的例子包括以下内容：

1. 氢原子具有 \(g_{n} = {2n^{2}}\)，其中 \(n = {1,2,3,\ldots}\) 是主量子数。数字 \(2n^{2}\) 是在 \(n\) 电子能级中 2 个电子自旋态与 \(n^{2}\) 轨道角动量态的乘积。

2. 旋转线性分子（例如一氧化碳 CO）具有 \(g = {{2J} + 1}\)，其中 \(J = {0,1,2,\ldots}\) 是角动量量子数。对于每个 \(J\)，\(z\) 分量的角动量有 \({2J} + 1\) 个可能值：\(J_{z} = {{- J},{- {({J - 1})}},\ldots,{- 1},0,1,\ldots,{({J - 1})},J}\)。

3. 氢原子有两个超精细能级，它们的差值产生 \(\lambda = 21\) 厘米（\(\nu_{0} = {1420.406\ldots}\) MHz）Hi 线：\(g_{U} = 3\) 和 \(g_{L} = 1\)。

求解式 7.42 以获得黑体辐射的轮廓加权平均能量密度 \(\overline{u}\)，将量子系统（原子或分子）的性质与辐射联系起来，就像基尔霍夫定律（式 2.30）对连续谱辐射所做的那样：

\[{\overline{u} = \frac{n_{U}A_{UL}}{{n_{L}B_{LU}} - {n_{U}B_{UL}}} = \frac{A_{UL}}{{{({n_{L}/n_{U}})}B_{LU}} - B_{UL}}}. \tag{7.44} \]

对于温度为 \(T\) 的全 TE，式 7.43 和 7.44 表明

\[\overline{u} = {A_{UL}\left\lbrack {{\frac{g_{L}}{g_{U}}{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT} \right)}B_{LU}} - B_{UL}} \right\rbrack^{- 1}} \tag{7.45} \]

对于物质，而式 2.92 表明

\[\overline{u} = {\frac{4\pi}{c}{\int_{0}^{\infty}{B_{\nu}{(T)}\phi{(\nu)}{d\nu}}}} \tag{7.46} \]

对于辐射。在 \(\nu = \nu_{0}\) 附近代入普朗克辐射定律（式 2.86）得到

\[{\overline{u} \approx {\frac{4\pi}{c}\frac{2h\nu_{0}^{3}}{c^{2}}\left\lbrack {{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT} \right)} - 1} \right\rbrack^{- 1}}}. \tag{7.47} \]

式 7.45 和 7.47 对 \(\overline{u}\) 必须一致：

\[{A_{UL}\left\lbrack {{\frac{g_{L}}{g_{U}}{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT} \right)}B_{LU}} - B_{UL}} \right\rbrack^{- 1}} = {\frac{4\pi}{c}\frac{2h\nu_{0}^{3}}{c^{2}}\left\lbrack {{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT} \right)} - 1} \right\rbrack^{- 1}} \tag{7.48} \]

对于所有温度 \(T\)，因此方程

\[{\frac{A_{UL}}{B_{UL}}\left\lbrack {{\frac{g_{L}}{g_{U}}\frac{B_{LU}}{B_{UL}}{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT} \right)}} - 1} \right\rbrack^{- 1}} = {\frac{8\pi h\nu_{0}^{3}}{c^{3}}\left\lbrack {{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT} \right)} - 1} \right\rbrack^{- 1}} \tag{7.49} \]

意味着同时

\[\boxed{{\frac{g_{L}}{g_{U}}\frac{B_{LU}}{B_{UL}}} = 1} \tag{7.50} \]

和

\[\boxed{\frac{A_{UL}}{B_{UL}} = \frac{8\pi h\nu_{0}^{3}}{c^{3}}.} \tag{7.51} \]

式 7.50 和 7.51 被称为详细平衡方程。这两个方程关联了三个量 \(A_{UL}\)、\(B_{LU}\) 和 \(B_{UL}\)，因此如果只知道其中一个（例如自发发射系数 \(A_{UL}\)），就可以计算出全部三个量。式 7.50 和 7.51 还证明了 \(B_{UL}\) 不可能为零；也就是说，受激发射必然发生。

请注意，这些式 7.50 和 7.51 对任何 微观 物理系统都是有效的，因为它们关联了 \(A_{UL}\)、\(B_{UL}\) 和 \(B_{LU}\) 这些系数，这些系数是个别原子或分子的特征，对于这些原子或分子，TE 或 LTE 的 宏观 统计概念是没有意义的。尽管在推导过程中假设了 TE，但温度 \(T\) 和频率 \(\nu\) 的依赖性在单一频率 \(\nu_{0}\) 的谱线上消失了。因此，式 7.50 和 7.51 同样适用于 所有 宏观系统，无论它们是否处于 TE，甚至 LTE。(回忆 Kirchhoff 定律 \({{{j_{\nu}{(T)}}/\kappa}{(T)}} = {B_{\nu}{(T)}}\) (式 2.30) 的推导，这也使用了完整的 TE，但同样涉及在温度 \(T\) 下任何处于 LTE 的物质的发射和吸收系数，与实际环境辐射场无关。)

7.3.2 辐射传输与详细平衡

详细平衡的两个式 7.50 和 7.51 关联了三个爱因斯坦系数，并允许仅用自发发射系数 \(A_{UL}\) 来求解谱线辐射传输问题。辐射传输方程 (2.27) 是

\[{\frac{dI_{\nu}}{ds} = {{- {\kappa I_{\nu}}} + j_{\nu}}}, \tag{7.52} \]

其中 \(I_{\nu}\) 是特定强度，\(\kappa\) 是单位长度吸收的光子净分数（普通吸收与负吸收之差），\(j_{\nu}\) 是体发射系数。

普通不透明系数是由下能级到上能级吸收在单位长度上去除的光谱亮度的分数。在接近谱线中心频率 \(\nu_{0}\) 的频率处，光子能量为 \(h\nu_{0}\)，每单位体积的吸收体数量为 \(n_{L}\)，每单位面积每单位时间的吸收次数为 \(n_{L}B_{LU}\)，每单位面积每单位长度吸收的光子分数为 \({n_{L}B_{LU}}/c\)，以及在频率 \(\nu\) 处每单位长度的光子能量损失为

\[{\frac{dI_{\nu}}{ds} = {- {\kappa I_{\nu}}} = {- {\left( \frac{h\nu_{0}}{c} \right)n_{L}B_{LU}\phi{(\nu)}I_{\nu}}}}. \tag{7.53} \]

受激发射最好被视为负吸收，因为像普通吸收一样，而不像自发发射，它的强度与\(I_{\nu}\)成正比。方程7.53的推导可以重复进行，以得到

\[{\frac{dI_{\nu}}{ds} = {- {\kappa I_{\nu}}} = {\left( \frac{h\nu_{0}}{c} \right)n_{U}B_{UL}\phi{(\nu)}I_{\nu}}}. \tag{7.54} \]

将方程7.53和7.54相加，可以得到净吸收系数

\[{\kappa = {\left( \frac{h\nu_{0}}{c} \right){({{n_{L}B_{LU}} - {n_{U}B_{UL}}})}\phi{(\nu)}}}. \tag{7.55} \]

自发发射系数是通过自发跃迁从上能级到下能级在单位体积中增加的光谱亮度（每单位频率每单位球面度的功率）。如上所述，谱线光子能量约为\(h\nu_{0}\)，上能级的数密度为\(n_{U}\)，单位体积的光子发射率为\(n_{U}A_{UL}\)。这些光子以\(4\pi{sr}\)的方式各向同性地发射，因此

\[{\frac{dI_{\nu}}{ds} = j_{\nu} = {\left( \frac{h\nu_{0}}{4\pi} \right)n_{U}A_{UL}\phi{(\nu)}}}. \tag{7.56} \]

将净吸收系数（式 7.55）和自发发射系数（式 7.56）代入式 7.52，可以指定完整的谱线辐射传输方程：

\[\boxed{\frac{dI_{\nu}}{ds} = - \left( \frac{h\nu_{0}}{c} \right){(n_{L}B_{LU} - n_{U}B_{UL})}\phi{(\nu)}I_{\nu} + \left( \frac{h\nu_{0}}{4\pi} \right)n_{U}A_{UL}\phi{(\nu)}.} \tag{7.57} \]

式 7.50 可用于消去式 7.55 中的受激发射系数 \(B_{UL}\)，并得到

\[{\kappa = {\left( \frac{h\nu_{0}}{c} \right)n_{L}B_{LU}\left( {1 - {\frac{n_{U}}{n_{L}}\frac{g_{L}}{g_{U}}}} \right)\phi{(\nu)}}}. \tag{7.58} \]

发射系数与净吸收系数的比值为

\[{\frac{j_{\nu}}{\kappa} = {\frac{cn_{U}A_{UL}}{4\pi n_{L}B_{LU}}\left( {1 - {\frac{n_{U}}{n_{L}}\frac{g_{L}}{g_{U}}}} \right)^{- 1}}}. \tag{7.59} \]

式 7.50 也可用于从此比值中消去 \(A_{UL}\)：

\[{\frac{j_{\nu}}{\kappa} = {\frac{n_{U}{({{8\pi h\nu_{0}^{3}}/c^{2}})}B_{UL}}{4\pi n_{L}B_{LU}}\left( {1 - {\frac{n_{U}}{n_{L}}\frac{g_{L}}{g_{U}}}} \right)^{- 1}} = {\frac{2h\nu_{0}^{3}}{c^{2}}\frac{B_{UL}}{B_{LU}}\left( {\frac{n_{L}}{n_{U}} - \frac{g_{L}}{g_{U}}} \right)^{- 1}}}. \tag{7.60} \]

最后，式 7.51 可用于同时消去 \(B_{UL}\) 和 \(B_{LU}\)：

\[{\frac{j_{\nu}}{\kappa} = {\frac{2h\nu_{0}^{3}}{c^{2}}\left( {{\frac{g_{U}}{g_{L}}\frac{n_{L}}{n_{U}}} - 1} \right)^{- 1}}}. \tag{7.61} \]

在 LTE 下，基尔霍夫定律独立地意味着

\[{\frac{j_{\nu}}{\kappa} = {B_{\nu}{(T)}} = {\frac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\left\lbrack {{\exp\left( \frac{h\nu}{kT} \right)} - 1} \right\rbrack^{- 1}}}, \tag{7.62} \]

因此

\[{{\frac{g_{U}}{g_{L}}\frac{n_{L}}{n_{U}}} = {\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT} \right)}}, \tag{7.63} \]

恢复 LTE（而不仅仅是完全 TE）的玻尔兹曼方程（式 7.43）：

\[\boxed{\frac{n_{U}}{n_{L}} = \frac{g_{U}}{g_{L}}\exp\left( - \frac{h\nu_{0}}{kT} \right).} \tag{7.64} \]

式 7.58 和 LTE 假设允许进行以下替换：

\[B_{LU} = {\frac{g_{U}}{g_{L}}B_{UL}} = {\frac{g_{U}}{g_{L}}\frac{A_{UL}c^{3}}{8\pi h\nu_{0}^{3}}} \tag{7.65} \]

以及

\[\frac{n_{U}g_{L}}{n_{L}g_{U}} = {\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT}} \right)} \tag{7.66} \]

从而得到 LTE 下的净谱线不透明系数：

\[\boxed{{\kappa{(\nu)}} = {\frac{c^{2}}{8\pi\nu_{0}^{2}}\frac{g_{U}}{g_{L}}n_{L}A_{UL}\left\lbrack {1 - {\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT}} \right)}} \right\rbrack\phi{(\nu)}}} \tag{7.67} \]

仅以自发辐射率 \(A_{UL}\) 表示；受激发射系数 \(B_{UL}\) 和吸收系数 \(B_{LU}\) 已被消去。

该量

\[\left\lbrack {1 - {\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT}} \right)}} \right\rbrack \tag{7.68} \]

式 7.67 中的表达式为两项之和，第一项表示普通吸收，第二项表示受激发射的负吸收。在瑞利--金斯极限 \({h\nu_{0}} \ll {kT}\),

\[{\left\lbrack {1 - {\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT}} \right)}} \right\rbrack \approx \frac{h\nu_{0}}{kT} \ll 1}. \tag{7.69} \]

因此，受激发射几乎抵消了纯吸收，并显著降低了射频下的净谱线不透明度。由于\(\kappa \propto T^{- 1}\)和\(B_{\nu} \propto T\)，产物\(\kappa B_{\nu}\)与温度无关。光学稀薄（\(\tau \ll 1\)）射电发射线的亮度与发射气体的柱密度成正比，但几乎与气体温度无关。 因此，光学稀薄星系的Hi谱线通量（\({Jy}{km}s^{- 1}\)）与星系中中性氢的总质量成正比，但不能反映其温度。

7.4 激发温度

即使巨观的两能级系统不处于LTE，其激发温度\(T_{x}\)也可以定义为

\[\boxed{\frac{n_{U}}{n_{L}} \equiv \frac{g_{U}}{g_{L}}\exp\left( - \frac{h\nu_{0}}{kT_{x}} \right).} \tag{7.70} \]

激发温度不是实际的温度；它只衡量 \(n_{U}\) 与 \(n_{L}\) 的比例。在二能级系统中，激发温度由辐射和碰撞激发及弛豫之间的平衡决定。如果碰撞导致每单位体积每单位时间从下能级到上能级有 \(n_{L}C_{LU}\) 次激发，以及每单位体积每单位时间从上能级到下能级有 \(n_{U}C_{UL}\) 次弛豫，那么式 7.42 变为

\[\boxed{{n_{U}{({A_{UL} + {B_{UL}\overline{u}} + C_{UL}})}} = {n_{L}{({{B_{LU}\overline{u}} + C_{LU}})}}} \tag{7.71} \]

详细平衡要求

\[{{n_{L}C_{LU}} = {n_{U}C_{UL}}}. \tag{7.72} \]

因此

\[{\frac{n_{U}}{n_{L}} = \frac{{B_{LU}\overline{u}} + C_{LU}}{A_{UL} + {B_{UL}\overline{u}} + C_{UL}}}. \tag{7.73} \]

式 7.47 和 7.51 可以结合起来消去

\[B_{UL}\overline{u} = \frac{c^{3}A_{UL}}{8\pi h\nu_{0}^{3}}\frac{8\pi h\nu_{0}^{3}}{c^{3}}\left\lbrack \exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}}{)\left. - 1 \right\rbrack}^{- 1} = A_{UL}\left\lbrack \exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}}{)\left. - 1 \right\rbrack}^{- 1}, \right. \right. \right. \right. \tag{7.74} \]

其中 \(T_{b}\) 是环境辐射亮温度，以 \(A_{UL}\) 为基准。式 7.50 消去

\[B_{LU}\overline{u} = B_{UL}\overline{u}\frac{g_{U}}{g_{L}} = A_{UL}\frac{g_{U}}{g_{L}}\left\lbrack \exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}}{)\left. - 1 \right\rbrack}^{- 1}. \right. \right. \tag{7.75} \]

最后，式 7.64 和 7.72 允许替换

\[{C_{LU} = {\frac{n_{U}}{n_{L}}C_{UL}} = {\frac{g_{U}}{g_{L}}{\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT_{k}}} \right)}C_{UL}}}, \tag{7.76} \]

其中 \(T_{k}\) 是气体的动能温度。式 7.73 的分子变为

\[A_{UL}\frac{g_{U}}{g_{L}}\left\lbrack \exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}}{)\left. - 1 \right\rbrack}^{- 1} + \frac{g_{U}}{g_{L}}\exp\left( - \frac{h\nu_{0}}{kT_{k}} \right)C_{UL} \right. \right. \tag{7.77} \]

分母为

\[{A_{UL} + {A_{UL}\left\lbrack {{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}} \right)} - 1} \right\rbrack^{- 1}} + C_{UL}}. \tag{7.78} \]

因此

\[\frac{n_{U}g_{L}}{n_{L}g_{U}} \]

\[{= \frac{A_{UL} + {C_{UL}{\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT_{k}}} \right)}\left\lbrack {{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}} \right)} - 1} \right\rbrack}}{{A_{UL}{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}} \right)}} + {C_{UL}\left\lbrack {{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}} \right)} - 1} \right\rbrack}}}, \]

\[\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT_{x}}} \right) \tag{7.79} \]

\[{= {{\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}}} \right)}\frac{A_{UL} + {C_{UL}{\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT_{k}}} \right)}\left\lbrack {{\exp\left( \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}} \right)} - 1} \right\rbrack}}{A_{UL} + {C_{UL}\left\lbrack {1 - {\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT_{b}}} \right)}} \right\rbrack}}}}. \tag{7.80} \]

如果自发发射速率远大于碰撞速率，式 7.80 给出 \(\left. T_{x}\rightarrow T_{b} \right.\)；如果碰撞速率远高于自发发射速率，则 \(\left. T_{x}\rightarrow T_{k} \right.\)。对于任意 \(A_{UL}\) 和 \(C_{UL}\)，\(T_{x}\) 介于 \(T_{k}\) 和 \(T_{b}\) 之间。

7.5 激光器

如果上能级被过度占据，也就是说，

\[{\frac{n_{U}}{n_{L}} > \frac{g_{U}}{g_{L}}}, \tag{7.81} \]

那么 \(T_{x}\) 实际上为负值，

\[\left\lbrack {1 - {\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT_{x}}} \right)}} \right\rbrack \tag{7.82} \]

为负，方程7.67给出负的净不透明度系数\(\kappa\)。负的净不透明度意味着亮度增益而非损失;频率\(\nu_{0}\)的背景源强度会被放大。在射电波段，这种现象被称为**微波激射器（microwave amplification by timulated emission of radiation）放大。天文微波激射器在射电频率上很常见，因为\({h\nu} \ll {kT}\)，因此即使在TE中也\({n_{U}/n_{L}} \approx {g_{U}/g_{L}}\)。这些源的线路亮温度可高达\(10^{15}\) K，远高于催眠气体的动温。关于天文激射器基础的清晰介绍，由Reid和Moran撰写，请参见Verschuur和Kellermann [110，第 6 章]。

我们关于天文激射器的模型从双能级系统的辐射传输方程开始。为了简化起见，假设\(g_{U} = g_{L}\)，因此式 7.50 表明\(B_{LU} = B_{UL} \equiv B\)，并且式 7.51 表明\(A_{UL} = {{8\pi h\nu_{0}^{3}B}/c^{3}} \equiv A\)。然后式 7.57 简化为

\[{\frac{dI_{\nu}}{ds} = {{- {\left( \frac{h\nu_{0}}{c} \right){({n_{L} - n_{U}})}B\phi{(\nu)}I_{\nu}}} + {\left( \frac{h\nu_{0}}{4\pi} \right)n_{U}A\phi{(\nu)}}}}. \tag{7.83} \]

接下来假设谱线型\(\phi{(\nu)}\) 是高斯型，具有全宽半高FWHM \(\Delta\nu\)（图 7.4），因此式 7.37 适用，并作数值近似

\[{{\phi{(\nu_{0})}} = {\left( \frac{\ln\, 2}{\pi} \right)^{1/2}\frac{2}{\Delta\nu}} = \frac{0.939\ldots}{\Delta\nu} \approx \frac{1}{\Delta\nu}}. \tag{7.84} \]

然后在谱线中心频率\(\nu_{0}\) 处，

\[{\frac{dI_{\nu}}{ds} = {{- \frac{h\nu_{0}{({n_{L} - n_{U}})}BI_{\nu}}{c\Delta\nu}} + \frac{h\nu_{0}n_{U}A}{4\pi\Delta\nu}}}. \tag{7.85} \]

激射器光学深度

\[\tau = {\int{\kappa{ds}}} = {\int\frac{dI_{\nu}}{I_{\nu}}} = {\frac{h\nu_{0}B}{c\Delta\nu}{\int{{({n_{U} - n_{L}})}{ds}}}} \tag{7.86} \]

被称为沿积分路径的激射增益，并且激射器将背景辐射的强度放大 \(\exp{({|\tau|})}\) 倍。在实验室激射器中，辐射被困在高品质因数共振腔内，以创造有效路径长度，长达腔长的 \(10^{9}\) 倍。在天文激射器中没有腔，因此辐射只经过一次，物理路径必须长得多（\(s > {10^{13}{cm}}\)），才能产生显著增益。

激射发射会迅速使上能级发生耗散，因此激射器必须被“泵浦”以持续发射。通常，一个或多个较高能级会吸收来自泵浦源（例如来自恒星或活动星系核的红外连续体）的辐射，辐射衰减会优先重新填充上能级。这种辐射泵浦过程每个泵浦光子产生的不超过一个激射光子，因此所需的泵浦能量与泵浦光子的频率 \(\nu = {E/h}\) 成正比。如果激射光子的发射速率受泵浦光度限制，则该激射器被描述为饱和；如果泵浦功率绰绰有余，则该激射器为非饱和。

强大而紧凑的激射源是高分辨率成像和精密天体测量的强大工具。它们被用来测量银河系中单个恒星的精确三角距离、银河系的大小和结构、活动星系核中黑洞的质量，以及距离远至 \(\sim {150{Mpc}}\) [89] 的星系。

最引人注目的例子是围绕NGC 4258塞弗特星系核的环核 22 GHz \(H_{2}O\) 超强激射盘，如图 7.6 所示[74]。观测到的激射谱在系统性退行速度 \(v \approx {450{km}s^{- 1}}\) 附近有三组数百条狭窄谱线簇，并在盘中的 \(v_{rot} \sim {900{km}s^{- 1}}\) 旋转速度下分别向红移和蓝移的速度出现谱线。

图7.6:一个简单的环模型，说明绕 NGC 4258 核心旋转的近边缘 22 GHz 水激射盘的几何形状和运动学 [74]。

几乎边缘的激射盘通过 VLBA 以高光谱和角分辨率成像，其旋转曲线如图 7.7 所示。系统线集中在宽度为 \(< {1{mas}} \approx {0.03{pc}}\) 的区域内，并以盘中心超大质量黑洞（SMBH）视线为中心。来自中心射电连续源的光子被放大并沿我们的方向定向，因此系统激射云只有在距离视线一个小角度 \({|\theta|} < {0.07{rad}}\) 内时才可见。对于常数 \(v_{rot}\)，它们的 \(v_{z} = {{({{GM}/R^{3}})}^{1/2}b}\) 产生了图 7.7 中的倾斜直线。这个斜率对应于 SMBH 的引力加速度 \(a_{z} = {{GM}/R^{2}}\)，通过长期监测各个系统性激射线的速度可以独立得出 \(a \approx {8{km}s^{- 1}{yr}^{- 1}}\)。红移和蓝移的激射云仅在接近 \(\theta = {\pm {{\pi/2}{rad}}}\) 的盘的切点附近可见，这些点具有几乎恒定速度 \(v_{z} = {({{GM}/R})}^{1/2}\) 的最长增益路径，这些速度遵循图 7.7 中的完全开普勒曲线。结合加速度、速度和角尺寸测量，可以得到 SMBH 质量 \(M \approx {{3.8 \times 10^{7}}M_{\odot}}\) 和到 NGC 4258 的距离 \(D = {7.2 \pm {0.4{Mpc}}}\) 的唯一解。

图7.7:NGC 4258 的旋转曲线完全符合开普勒规律，这表明在 Maser 圆盘内部的质量主要由一个致密的天体主导，其密度太高（\(> {{5 \times 10^{12}}M_{\odot}{pc}^{- 3}}\)），不可能是一个致密的恒星团；它必须是一个超大质量黑洞（SMBH）[74]。

7.6 复合线源

射电复合线的天文学源通常处于局部热力学平衡（LTE）状态。可以将原子物理中的自发辐射率与谱线辐射传输定律结合起来，对处于 LTE 的源进行建模。然而，并非所有复合线都满足 LTE，因此必须意识到 LTE 的偏离并进行不同的处理。

7.6.1 LTE 中的辐射传输

式 7.67 给出了在电子温度为 \(T_{e}\) 的局部热力学平衡 (LTE) 下，H ii 区中氢的 \(\left. n\rightarrow{n + 1} \right.\) 电子跃迁的中心频率 \(\nu_{0}\) 的吸收系数：

\[{{\kappa{(\nu)}} = {\frac{c^{2}}{8\pi\nu_{0}^{2}}\frac{g_{n + 1}}{g_{n}}n_{n}A_{{n + 1},n}\left\lbrack {1 - {\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT_{e}}} \right)}} \right\rbrack\phi{(\nu)}}}, \tag{7.87} \]

其中

\[\nu_{0} \]

\[{= \nu_{n,{n + 1}} \approx \frac{2R_{\infty}c}{n^{3}} = \frac{4\pi^{2}m_{e}e^{4}}{h^{3}n^{3}}}, \]

\[g_{n} \tag{7.88} \]

\[{= {2n^{2}}}, \tag{7.89} \]

其中 \(n_{n}\) 是处于 \(n\) 电子能级的原子数密度。在射频下，可以假定 \(n \gg 1\)、\({h\nu_{0}} \ll {kT_{e}}\) 和 \({g_{n + 1}/g_{n}} \approx 1\)。式 7.23 给出了自发发射速率：

\[A_{{n + 1},n} \approx \frac{64\pi^{6}m_{e}e^{10}}{3c^{3}h^{6}n^{5}} \tag{7.90} \]

而式 7.37 对归一化谱线形状进行了参数化。

\[{{\phi{(\nu_{0})}} \approx {\left( \frac{\ln 2}{\pi} \right)^{1/2}\frac{2}{\Delta\nu}}}. \tag{7.91} \]

\(n\)第电子能级中原子的数密度\(n_{n}\)由Saha方程给出，该方程是玻尔兹曼方程的推广（关于Saha方程的推导，参见Rybicki和Lightman [98方程9.47]）：

\[n_{n} = {n^{2}\left( \frac{h^{2}}{2\pi m_{e}kT_{e}} \right)^{3/2}n_{p}n_{e}{\exp\left( \frac{\chi_{n}}{kT_{e}} \right)}} \tag{7.92} \]

其中\(\chi_{n} < 0\)是\(n\)的电离势。对于大\(n\)，\({|\chi_{n}|} \ll {kT_{e}}\)和指数因子\({\exp{\lbrack{\chi_{n}/{({kT_{e}})}}\rbrack}} \approx 1\)可以忽略。将方程7.87至7.92的结果结合(#E92)可得到线中心频率的不透明度系数\(\nu_{0}\)：

\[{{\kappa{(\nu_{0})}} \approx {\frac{c^{2}n^{2}}{8\pi\nu_{0}^{2}}\left( \frac{h^{2}}{2\pi m_{e}kT_{e}} \right)^{3/2}n_{e}^{2}\left( \frac{64\pi^{6}m_{e}e^{10}}{3c^{3}h^{6}n^{5}} \right)\frac{h\nu_{0}}{kT_{e}}\left\lbrack {\left( \frac{\ln 2}{\pi} \right)^{1/2}\frac{2}{\Delta\nu}} \right\rbrack}}. \tag{7.93} \]

有些代数将其简化为

\[\boxed{\kappa{(\nu_{0})} \approx \left( \frac{n_{e}^{2}}{T_{e}^{5/2}\Delta\nu} \right)\left( \frac{4\pi e^{6}h}{3m_{e}^{3/2}k^{5/2}c} \right)\left( \frac{\ln 2}{2} \right)^{1/2}.} \tag{7.94} \]

注意电子能级 \(n\) 已经消失；式 7.94 对所有带有 \(n \gg 1\) 的无线电复合线都是有效的。线中心频率 \(\nu_{0}\) 处的光学厚度 \(\tau_{L} = {\int{\kappa{ds}}}\) 可以用式 4.57 定义的发射度来表示：

\[{\frac{EM}{{pc}{cm}^{- 6}} \equiv {\int_{los}{\left( \frac{n_{e}}{{cm}^{- 3}} \right)^{2}d\left( \frac{s}{pc} \right)}}}. \tag{7.95} \]

在天文学方便的单位中，线中心不透明度为

\[\boxed{\tau_{L} \approx 1.92 \times 10^{3}\left( \frac{T_{e}}{K} \right)^{- {5/2}}\left( \frac{EM}{{pc}{cm}^{- 6}} \right)\left( \frac{\Delta\nu}{kHz} \right)^{- 1}.} \tag{7.96} \]

图7.8:基于氢复合线的线与连续体比值的猎户座星云 HII 区温度分布模型 [67]。

图7.9:我们银河系的螺旋形态平面图，由 H\(\alpha\)（圆圈）和无线电复合线（方框） [40] 描绘。

图7.10:复合线观测表明，Hii 区的电子温度 \(T_{e}\) 随着离银河系中心的距离增加而增加，速度为 \(287 \pm {46K{kpc}^{- 1}}\)，这可能是因为金属丰度降低 [86]。

由于在所有已知的 Hii 区中 \(\tau_{L} \ll 1\)，复合发射线在其中心频率 \(\nu_{0}\) 的亮温度为

\[\boxed{T_{L} \approx T_{e}\tau_{L} \approx 1.92 \times 10^{3}\left( \frac{T_{e}}{K} \right)^{- {3/2}}\left( \frac{EM}{{pc}{cm}^{- 6}} \right)\left( \frac{\Delta\nu}{kHz} \right)^{- 1}.} \tag{7.97} \]

在自由--自由连续谱也光学薄的足够高频率下，LTE 中的峰值线对连续比（出现在频率 \(\nu_{0}\)）为

\[\boxed{\frac{T_{L}}{T_{C}} \approx 7.0 \times 10^{3}\left( \frac{\Delta v}{{km}s^{- 1}} \right)^{- 1}\left( \frac{\nu}{GHz} \right)^{1.1}\left( \frac{T_{e}}{K} \right)^{- 1.15}\left\lbrack 1 + \frac{N{({He}^{+})}}{N{(H^{+})}} \right\rbrack^{- 1},} \tag{7.98} \]

其中 \(\Delta v\) 是以速度表示的谱线 FWHM，典型的 He\(^{+}\)/H\(^{+}\) 离子比为 \({{{N{({He}^{+})}}/N}{(H^{+})}} \approx 0.08\)。方括号中的项是必要的，因为 He\(^{+}\) 贡献自由-自由连续谱发射，但不贡献氢复合谱线。谱线与连续谱的比值可提供电子温度 \(T_{e}\) 的估计，该估计独立于发射度，只要频率足够高，使连续谱光学厚度较小。

7.6.2 天文应用

复合谱线可用于在 LTE 下寻找 Hii 区的电子温度。显式地解式 7.98 对 \(T_{e}\) 给出了有用的公式

\[\boxed{\left( \frac{T_{e}}{K} \right) \approx \left\lbrack 7.0 \times 10^{3}\left( \frac{\nu}{GHz} \right)^{1.1}\, 1.08^{- 1}\left( \frac{\Delta v}{{km}s^{- 1}} \right)^{- 1}\left( \frac{T_{C}}{T_{L}} \right) \right\rbrack^{0.87}.} \tag{7.99} \]

通过在多个 H zxph000418zx 过渡中绘制重组线与连续谱的比率 \(T_{L}/T_{C}\)，Lockman 和 Brown 确定了猎户座星云（图 7.8）——一个附近的 Hii 区的温度分布。

射电重组线的静止频率与观测频率之间的差异被归因于非零径向速度引起的多普勒位移。利用银河系盘的简单旋转模型，天文学家可以将径向速度转换为距离，尽管存在一些模糊性，并绘制银河系中 Hii 区的大致空间分布（图 7.9）。它们大致勾勒出主要的螺旋臂。

显示银河系Hii区观测电子温度的图（图 7.10）显示，温度随距银河系中心的距离增加而升高。

这种趋势的解释是观测到的金属丰度（比氦更重元素的相对丰度）随银河中心距离增大而降低。“金属”发射线辐射的功率是Hii区冷却的主要原因。

射电复合线强度受尘埃消光的影响远小于光学谱线（例如 H\(\alpha\) 和 H\(\beta\) 线），因此射电复合线是尘埃星暴星系（如M82，图 7.11）中电离率，从而星形成率的有用定量指标。

图7.11:M82 在 H92\(\alpha\)（等高线）和 8.3 GHz 连续谱（灰度）[94] 中的成像。

7.7 分子线光谱

7.7.1 分子线频率

如果一个分子的永久电偶极矩（式 7.120）不为零，则称该分子为极性分子。对称分子（例如二原子氢分子 H\(_{2}\)）没有永久电偶极矩，但大多数非对称分子（例如一氧化碳分子 CO）具有不对称的电荷分布，因此是极性的。以恒定角速度 \(\omega\) 旋转的极性分子的电偶极矩看起来随该角频率呈正弦变化，因此极性分子会在其旋转频率辐射。该辐射的强度可以通过拉莫公式推导出来，公式以偶极矩代替电荷和电荷分离来表示。

允许的旋转速率和由此产生的谱线频率是由角动量的量子化决定的。玻尔原子中允许电子轨道半径的量子化规则

\[a_{n} = \frac{n\hslash}{m_{e}v} \]

使得轨道角动量\(L = {m_{e}a_{n}v}\)以\(\hslash \equiv {h/{({2\pi})}}\)的倍数量子化：

\[\boxed{L = n\hslash.} \tag{7.100} \]

角动量是\(\hslash\)的整数倍的规则是普遍适用的，也适用于旋转分子的角动量。

考虑一个刚性双原子分子（图 7.12），其两个原子的质量分别为\(m_{A}\)和\(m_{B}\)，且它们的中心间隔为平衡距离\(r_{e}\)。各个原子距离\(r_{A}\)和\(r_{B}\)质心的距离必须遵循

\[{{r_{e} = {{r_{A} + r_{B}}\operatorname{\quad\quad}{and}}}\operatorname{\quad\quad}{{r_{A}m_{A}} = {r_{B}m_{B}}}}. \tag{7.101} \]

图7.12:关于质心旋转的双原子分子。

在惯性质心系中，

\[{L = {I\omega}}, \tag{7.102} \]

其中 \(I\) 是转动惯量，\(\omega\) 是旋转角速度。几乎所有的质量集中在两个紧凑的（比 \(r_{e}\) 小得多）核中，因此 \(I = {({{m_{A}r_{A}^{2}} + {m_{B}r_{B}^{2}}})}\) 和 \(L = {{({{m_{A}r_{A}^{2}} + {m_{B}r_{B}^{2}}})}\omega}\)。把它重写为

\[L = {\left( \frac{m_{A}m_{B}}{m_{A} + m_{B}} \right)r_{e}^{2}\omega} \tag{7.103} \]

或者

\[\boxed{L = mr_{e}^{2}\omega,} \tag{7.104} \]

其中

\[\boxed{m \equiv \left( \frac{m_{A}m_{B}}{m_{A} + m_{B}} \right)} \tag{7.105} \]

是分子的约化质量。

与该角动量相关的转动动能为

\[{E_{rot} = \frac{I\omega^{2}}{2} = \frac{L^{2}}{2I}}. \tag{7.106} \]

角动量定量化为 \(\hslash\) 的整数倍意味着转动能量也是量化的。对应的薛定谔方程能量本征值为

\[\boxed{E_{rot} = \left( \frac{\hslash^{2}}{2I} \right)J{(J + 1)},J = 0,1,2,\ldots.} \tag{7.107} \]

请注意允许的旋转能量与转动惯量\(I\)之间的反比关系。如果高能级旋转能量远高于\(kT\)，只有少数分子会通过碰撞激发到该能级，并且来自该能级分子的线辐射将非常微弱。例如，小而轻的H\(_{2}\)分子的最小旋转能量相当于温度\(T = {E_{\min}/k} \approx 500\) K，这比大多数星际H\(_{2}\)的实际温度要高得多。只有相对质量较大的分子才有可能在非常寒冷（几十K）分子云中被检测到为射电发射体。

旋转能量的量子化意味着旋转能量的变化是量子化的。允许跃迁的能量变化进一步受到量子力学选择定则的限制。

\[\boxed{\Delta J = \pm 1.} \tag{7.108} \]

从 \(J\) 到 \(J - 1\) 释放能量

\[{{\Delta E_{rot}} = {{\lbrack{{J{({J + 1})}} - {{({J - 1})}J}}\rbrack}\frac{\hslash^{2}}{2I}} = \frac{\hslash^{2}J}{I}}. \tag{7.109} \]

在这种旋转跃迁过程中发射的光子的频率为

\[{{\nu = \frac{\Delta E_{rot}}{h} = \frac{\hslash J}{2\pi I}},{J = {1,2,\ldots}}}, \tag{7.110} \]

其中 \(J\) 是对应于上能级的角动量量子数。以分子约化质量 \(m\) 和平衡核间距 \(r_{e}\) 表示，

\[\boxed{\nu = \frac{hJ}{4\pi^{2}mr_{e}^{2}},J = 1,2,\ldots.} \tag{7.111} \]

因此，在星际云中某一特定分子种类的射电频谱图看起来像一个阶梯（图 7.13），其每一个阶梯都是由该分子种类的转动惯量 \(I = {mr_{e}^{2}}\) 决定的基频的所有谐波。阶梯中谱线的相对强度取决于云的温度。由于 \(\nu \propto {m^{- 1}r_{e}^{- 2}}\)，谱线发射的最低频率取决于分子的质量和大小。在寒冷云中的大而重的分子可能在厘米波长下被观测到，而较小较轻的分子则只在毫米波长下发射。

图7.13:\(^{12}\)C\(^{16}\)O 的旋转光谱看起来像一个梯子，其横档表示 \(J\) 能级和线频率。\(^{12}\)C\(^{16}\)O 分子的转动惯量相对较小，因此这个梯子的最低横档位于 \(\nu \approx 115\) GHz (\(\lambda \approx 2.6\) 毫米)；它没有厘米波波长的谱线。

例如，\(^{12}\)C\(^{16}\)O 一氧化碳分子的实验室光谱显示，基态 \(\left. J = 1\rightarrow 0 \right.\) 跃迁会发射频率为 \(\nu = 115.27120\) GHz 的光子。（参见在线谱线目录 Splatalogue http://www.splatalogue.net/ 以获取射电谱线的精确频率。）C 和 O 核之间的距离 \(r_{e}\) 可通过以下公式估算

\[{r_{e} = {\frac{1}{2\pi}\left( \frac{hJ}{m\nu} \right)^{1/2}}}, \tag{7.112} \]

其中约化质量为

\[{m = \frac{m_{C}m_{O}}{m_{C} + m_{O}} \approx {m_{H}\left( \frac{12 \cdot 16}{12 + 16} \right)} \approx {{{1.67 \times 10^{- 24}}g} \cdot 6.86} \approx {{1.15 \times 10^{- 23}}g}}. \]

因此，C 和 O 核之间的平衡距离为

\[{r_{e} = {\frac{1}{2\pi}\left( \frac{{{6.63 \times 10^{- 27}}{erg}s} \cdot 1}{{{{{115.27120 \times 10^{9}}{Hz}} \cdot 1.15} \times 10^{- 23}}g} \right)^{1/2}} \approx {{1.13 \times 10^{- 8}}{cm}}}. \]

随着分子旋转得更快，作用在原子核上的离心力会增加，因此非刚性键会伸长，并且\(r_{e}\)会随着\(J\)略微增加。由旋转更快的\(^{12}\)C\(^{16}\)O分子发出的谱线的频率将略低于\({2\nu_{1\text{–}0}},{3\nu_{1\text{–}0}},\ldots\)谐波对应的\(\left. J = 1\rightarrow 0 \right.\)线：\({2\nu_{1\text{–}0}} = 230.542416\) GHz，而实际的\(\left. J = 2\rightarrow 1 \right.\)频率为\(\nu_{2\text{–}1} = 230.538000\) GHz。化学家使用这些线频来确定\(r_{e}\)，而\(2\nu_{1\text{–}0}\)与\(\nu_{2\text{–}1}\)之间的差异则是衡量碳-氧化学键刚度的标准。由于实际频率仅略低于谐波频率，连接原子的“弹簧”的刚度相当高。因此，CO 分子的基振动频率远高于基旋转频率，CO 在中红外波长处发射振动谱线 \(\lambda \sim {5\mu}\)m。

式 7.111 可用于计算含有稀有同位素的分子的频率（例如 \(^{13}\)C\(^{16}\)O），这些同位素在实验室中可能更难测量：

\[{\frac{m{(^{13}C^{16}O)}}{m{(^{12}C^{16}O)}} = \frac{{13 \cdot 16}/{({13 + 16})}}{{12 \cdot 16}/{({12 + 16})}} \approx 1.0460}, \tag{7.113} \]

因此我们预计

\[{\frac{\nu_{1\text{–}0}{(^{13}C^{16}O)}}{\nu_{1\text{–}0}{(^{12}C^{16}O)}} \approx \left\lbrack \frac{m{(^{13}C^{16}O)}}{m{(^{12}C^{16}O)}} \right\rbrack^{- 1}}, \tag{7.114} \]

\[\nu_{1\text{–}0}{(^{13}C^{16}O)} \approx 115.27120/1.0460 \approx 110.20{GHz}. \tag{7.115} \]

实际的 \(^{13}\)C\(^{16}\)O \(\left. J = 1\rightarrow 0 \right.\) 频率为 110.201354 GHz。

极性双原子分子在毫米波波长处会发射一系列谐波的射电谱线。较大且较重的线性多原子分子有从略低频率开始的谱线阶梯。非线性分子，如具有两个不同转动轴的对称顶氨 (NH\(_{3}\))，具有更复杂的谱，由许多平行的谱线阶梯组成（图 7.14）。

图7.14:氨分子 (NH\(_{3}\)) 在最低振动态 [115] 的能级。在横坐标上，\(K\) 是对应于角动量 \(z\) 分量的量子数。氮原子的两个自旋态之间的跃迁造成了所示的谱线分裂，并在接近 24 GHz 的频率下发射。NH\(_{3}\) 是分子云 [52] 非常有用的温度计。

7.7.2 分子激发

分子可以通过环境辐射和稠密气体中的碰撞被激发到 \(E_{rot} > 0\) 态。发生显著碰撞激发所需的最低气体温度 \(T_{\min}\) 为

\[{T_{\min} \sim \frac{E_{rot}}{k}}. \tag{7.116} \]

根据式 7.107 和 7.111，

\[{{E_{rot} = {\frac{J{({J + 1})}\hslash^{2}}{2I}\operatorname{\quad\quad}{and}}}\operatorname{\quad\quad}{\nu = \frac{hJ}{4\pi^{2}I}}}, \tag{7.117} \]

因此

\[{T_{\min} \sim \frac{J{({J + 1})}h^{2}}{{2 \cdot 4}\pi^{2}Ik} = {\frac{hJ}{4\pi^{2}I}\frac{h{({J + 1})}}{2k}} = \frac{E_{U}}{k}}, \tag{7.118} \]

其中 \(E_{U}\) 是该跃迁的上能级的旋转能量。因此，要激发 \(\left. J\rightarrow{J - 1} \right.\) 跃迁频率为 \(\nu\) 的分子，需要最低气体动能温度

\[\boxed{T_{\min} \approx \frac{\nu h{({J + 1})}}{2k}} \tag{7.119} \]

例如，激发 \(^{12}\)C\(^{16}\)O \(J = {2\text{–}1}\) 线在 \(\nu \approx 230.5\) GHz 频率下显著所需的最低气体温度为（见图 7.15）

\[{T_{\min} \approx \frac{\nu h{({J + 1})}}{2k} \approx \frac{{{{{230.5 \times 10^{9}}{Hz}} \cdot 6.63} \times 10^{- 27}}{erg}s{({2 + 1})}}{{{2 \cdot 1.38} \times 10^{- 16}}{erg}K^{- 1}} \approx {16.6K}}. \]

图7.15:\(E_{U}\) 上能级能量 \(^{12}\)C\(^{16}\)O \(\left. J\rightarrow{J - 1} \right.\) 转移与 \(J{({J + 1})}\) 成正比。相应的激发分子碰撞所需的最小温度 \(T_{\min} = {E_{U}/k}\) 也与 \(J{({J + 1})}\) 成正比，因此在寒冷的分子云中高-J 线会很弱。

许多分子谱线的 \(T_{\min} = {E_{U}/k}\) 值可以在在线谱线目录 Splatalogue 中找到。如果 \(T_{\min} \gg 2.7\) K，则宇宙微波背景的辐射激发无效。

7.7.3 分子谱线强度

拉莫公式可用于时间变化偶极子，以估算旋转极性分子的平均辐射功率。任何电荷分布的电偶极矩\(\overset{\rightarrow}{p}\) 被定义为积分

\[{\overset{\rightarrow}{p} \equiv {\int{\overset{\rightarrow}{x}\rho{(v)}{dv}}}}, \tag{7.120} \]

在包含电荷的体积 \(v\) 上。对于两个点电荷 \(+ q\) 和 \(- q\)，距离为 \(r_{e}\) 时，

\[{{|\overset{\rightarrow}{p}|} = {qr_{e}}}. \tag{7.121} \]

当分子以角速度 \(\omega\) 旋转时，垂直于视线方向的偶极矩投影随时间变化为 \(qr_{e}{\exp{({- {i\omega t}})}}\)。式 7.101 表明

\[{{r_{A}m_{A}} = {r_{B}m_{B}}}, \tag{7.122} \]

因此

\[{{{\overset{˙}{v}}_{A} = {\overset{¨}{r}}_{A} = {\omega^{2}r_{A}}}\operatorname{\quad\quad}{{{and}\operatorname{\quad\quad}{\overset{˙}{v}}_{B}} = {\overset{¨}{r}}_{B} = {\omega^{2}r_{B}}}}. \tag{7.123} \]

拉莫公式推导中的式 2.133 表示每个电荷对距离源 \(r\) 的辐射电场贡献为

\[E_{\bot} = \frac{q\overset{˙}{v}{\sin\theta}}{rc^{2}} \tag{7.124} \]

由于 \(r_{e} \ll \lambda\)，两个电荷的场相位相加，因此总辐射场 \(E_{\bot}\) 为

\[{E_{\bot} = {\frac{q{({{\omega^{2}r_{A}} + {\omega^{2}r_{B}}})}{\sin\theta}}{rc^{2}}{\exp{({- {i\omega t}})}}}}. \tag{7.125} \]

因此瞬时发射功率为

\[P = {\frac{2q^{2}}{3c^{3}}\omega^{4}{|{r_{e}{\exp{({- {i\omega t}})}}}|}^{2}} \tag{7.126} \]

时间平均功率为

\[{{\langle P\rangle} = {\frac{2q^{2}}{3c^{3}}{({2\pi\nu})}^{4}\frac{r_{e}^{2}}{2}} = {\frac{64\pi^{4}}{3c^{3}}\nu^{4}\left( \frac{qr_{e}}{2} \right)^{2}}}. \tag{7.127} \]

这可以表示为

\[{{\langle P\rangle} = {\frac{64\pi^{4}}{3c^{3}}{|\mu|}^{2}\nu^{4}}}, \tag{7.128} \]

其中

\[{|\mu|}^{2} \equiv \left( \frac{qr_{e}}{2} \right)^{2} \tag{7.129} \]

定义了平均电偶极矩。对于上能级 U 和下能级 L 之间的辐射跃迁，自发发射系数为

\[{A_{UL} = \frac{\langle P\rangle}{h\nu}}, \tag{7.130} \]

\[\boxed{A_{UL} = \frac{64\pi^{4}}{3hc^{3}}|\mu_{UL}|^{2}\nu^{3}.} \tag{7.131} \]

线性旋转分子具有偶极矩 \(\mu\) 时，\(\left. J\rightarrow{J - 1} \right.\) 跃迁的 \(\mu_{UL}\) 值为

\[\boxed{|\mu_{J\rightarrow{J - 1}}|^{2} = \frac{\mu^{2}J}{{2J} + 1}.} \tag{7.132} \]

（该方程反映了涉及的复杂角波函数，这里不做推导。）

偶极矩通常用**德拜（debye）**单位表示，其定义为 \({1{debye}} = {1D} \equiv {10^{- 18}{statcoul}{cm}} = {{{10^{- 10}{statcoul}} \times 10^{- 8}}{cm}}\)，其中 \({10^{- 10}{statcoul}} \approx {0.2e}\) 是极性分子的一般电荷不平衡，\(10^{- 8}{cm}\) 是一般原子间距的典型值 \(r_{e}\)。例如，CO 分子的偶极矩为 \(\mu \sim {{0.11 \times 10^{- 18}}{statcoul}{cm}} = {0.11D}\)。

将式 7.131 与 7.132 结合，可得方便单位下的表达式,

\[{\left( \frac{A_{J\rightarrow{J - 1}}}{s^{- 1}} \right) \approx {{1.165 \times 10^{- 11}}\left| \frac{\mu}{D} \right|^{2}\left( \frac{J}{{2J} + 1} \right)\left( \frac{\nu}{GHz} \right)^{3}}}. \tag{7.133} \]

例如，CO \(\left. J = 1\rightarrow 0 \right.\) 线在 \(\nu \approx 115\) GHz 时的自发发射系数 \(A_{10}\) 为

\[A_{10} \approx 1.165 \times 10^{- 11} \cdot 0.11^{2} \cdot \left( \frac{1}{3}{) \cdot 115^{3} \approx 7.1 \times 10^{- 8}s^{- 1}.} \right. \tag{7.134} \]

这接近更精确的 Splatalogue 值 \(A_{10} \approx {7.202 \times 10^{- 8}}\) s\(^{- 1}\)。

CO 分子自发发射光子的典型时间 \(A_{10}^{- 1} \approx 10^{7}\) s 可能长于星际分子云中分子碰撞的平均时间，因此 CO 可以接近局部热平衡（LTE），\(\left. J = 1\rightarrow 0 \right.\) 线的激发温度几乎等于分子云的运动学温度 \(T\)。对于任何分子跃迁，都定义了一个临界密度

\[\boxed{n^{*} \approx \frac{A_{UL}}{\sigma v}} \tag{7.135} \]

在此情况下，辐射分子发生碰撞的速率 \({n^{*}\sigma v} \approx {n{(H_{2})}\sigma v}\) 与自发发射速率 \(A_{UL}\) 相等。典型的碰撞截面为 \(\sigma \sim 10^{- 15}\) 厘米 \(^{2}\)，如果温度为 \(T \sim 20\) K，则丰富的 H\(_{2}\) 分子的平均速度为 \(v \approx {({{3kT}/m})}^{1/2} \sim {5 \times 10^{4}}\) 厘米/秒 \(^{- 1}\)。因此，CO \(\left. J = 1\rightarrow 0 \right.\) 跃迁的临界密度为

\[{n^{*} \approx \frac{A_{UL}}{\sigma v} \approx \frac{{7 \times 10^{- 8}}s^{- 1}}{{{{10^{- 15}{cm}^{2}} \cdot 5} \times 10^{4}}{cm}s^{- 1}} \approx {{1.4 \times 10^{3}}{cm}^{- 3}}}. \]

许多银河系分子云的密度高于此值，因此银河系 CO \(\left. J = 1\rightarrow 0 \right.\) 发射强且分布广泛。此外，来自特定跃迁的光子可能在分子云内反复被吸收和再发射。这种谱线俘获降低了有效发射速率 \(A_{UL}\)，并减少了 LTE 所需的 \(n^{*}\) 的有效值。

无论分子云是否处于局部热平衡（LTE），用激发温度\(T_{x}\)替代温度\(T\)后的公式7.67都可以用来计算谱线不透明度系数：

\[{{\kappa{(\nu)}} = {\frac{c^{2}}{8\pi\nu_{0}^{2}}\frac{g_{U}}{g_{L}}n_{L}A_{UL}\left\lbrack {1 - {\exp\left( {- \frac{h\nu_{0}}{kT_{x}}} \right)}} \right\rbrack\phi{(\nu)}}}. \tag{7.136} \]

在谱线中心频率\(\nu_{0}\)处，公式7.37给出

\[{{\phi{(\nu_{0})}} = {\left( \frac{\ln\, 2}{\pi} \right)^{1/2}\frac{2}{\Delta\nu}} = {\left( \frac{\ln\, 2}{\pi} \right)^{1/2}\frac{2c}{\nu_{0}\Delta v}}}, \]

其中\(\Delta\nu\)是以频率表示的FWHM谱线宽度，\(\Delta v\)是以速度单位（例如，km s\(^{- 1}\)）表示的谱线宽度。沿视线的谱线中心光学深度为\(\tau_{0} = {\int{\kappa_{0}{ds}}}\)，沿视线的柱密度为\(N_{L} = {\int{n_{L}{ds}}}\)，因此

\[\tau_{0} = {\frac{{({\ln\, 2})}^{1/2}}{4\pi^{3/2}}\frac{c^{3}}{\nu_{0}^{3}}\frac{g_{U}}{g_{L}}\frac{A_{UL}}{\Delta v}N_{L}\left\lbrack \left. 1 - {\exp\left( \left. - \frac{h\nu}{kT_{x}} \right) \right.} \right\rbrack \right.}. \tag{7.137} \]

在瑞利--金斯近似\({h\nu} \ll {kT_{x}}\)下，谱线中心与附近线外连续谱的亮度温差为

\[{{\Delta T_{b}} = {{({T_{x} - T_{c}})}{\lbrack{1 - {\exp{({- \tau_{0}})}}}\rbrack}}}, \tag{7.138} \]

其中 \(T_{c}\) 是任何背景连续辐射的亮温（例如 CMB 的 \(T_{c} \approx {2.73K}\)）。在低谱线光学厚度的极限下，谱线亮度

\[{\Delta T_{b}} \approx {{({T_{x} - T_{c}})}\tau_{0}} = {\left( \frac{T_{x} - T_{c}}{T_{x}} \right)N_{L}\frac{{({\ln\, 2})}^{1/2}}{4\pi^{3/2}}\frac{hc^{3}}{k\nu_{0}^{2}}\frac{g_{U}}{g_{L}}\frac{A_{UL}}{\Delta v}} \tag{7.139} \]

与柱密度 \(N_{L}\) 成正比。自发发射系数 \(A_{UL}\) 与 \(\nu^{3}\) 成正比（式 7.131），因此在较高的射电频率下，谱线往往具有更高的亮温并变得更加显著（图 7.16）。

氢分子 H\(_{2}\) 是迄今为止星际空间中最丰富的分子。不幸的是，它是对称的，因此其偶极矩为零。可观测但相对稀少的极性分子如 CO 仅作为示踪剂，分子气体的总柱密度必须通过使用相当不确定的CO 到 H\(_{2}\) 转换因子\(X_{CO}\) 间接估算，该转换因子将 \(H_{2}\) 的柱密度（单位 cm\(^{- 2}\)）与 CO 速度积分的谱线亮度（单位 \(K{km}s^{- 1}\)）联系起来。我们银河系的最佳当前值是

\[\boxed{X_{CO} = {(2 \pm 0.6)} \times 10^{20}{cm}^{- 2}{(K{km}s^{- 1})}^{- 1}.} \tag{7.140} \]

\(X_{CO}\) 在低金属量星系中可能更高，而在恒星爆发星系中可能更低 [14]。图 8.12 显示了 CO 发射的分布，这些发射示踪分子气体和相互作用的恒星爆发星系 NGC 4038/9 中被遮蔽的恒星形成。

同位素分子是仅在同位素组成上有所不同的分子；也就是说，只在其组成原子的中子数上不同。一氧化碳最丰富同位素分子的谱线 \({{}_{}^{12}C_{}^{16}}O\) 通常是光学厚的，因此 \({{}_{}^{12}C_{}^{16}}O\) 谱线的亮温度接近分子气体的运动温度，并且几乎不依赖于柱密度。较稀有同位素分子如 \({{}_{}^{13}C_{}^{16}}O\) 或 \({{}_{}^{12}C_{}^{18}}O\) 的谱线通常是光学薄的，可用于测量估算源中分子气体总质量所需的柱密度。

来自不同 \(J\) 能级的光学薄谱线的强度比可以用于测量激发温度，在 LTE 条件下，该温度接近运动温度。

高发射系数的跃迁（例如，HCN（氢氰酸）\(\left. J = 1\rightarrow 0 \right.\) 线在 \(\nu \approx 88.63\) GHz，\(A_{UL} \approx {2.0 \times 10^{- 5}}\) s\(^{- 1}\)）仅在非常高的密度下通过碰撞激发（HCN \(\left. J = 1\rightarrow 0 \right.\) 的密度为 \(n^{*} \approx 10^{5}\) cm\(^{- 3}\)）。它们对于突出仅与个别恒星形成直接相关的高密度气体非常有价值。

Cheung 等人 [22] 在银河系中心方向上发现氨（NH\(_{3}\)）后，立即意识到星际介质中必须存在比以前预期密度更高的区域，因为激发 NH\(_{3}\) 线所需的临界密度为 \(n^{*} \approx 10^{3}\) cm\(^{- 3}\)。

图7.16:位于银河系中心附近的分子云 SgrB2(N) 的 \(\lambda \approx 1.3\) 毫米波谱完全被已知和未知（U）物质的分子线 [119] 所主导。在太空中已经鉴定出超过 140 种不同的分子，这些分子最多包含 13 个原子（HC\(_{11}\)N）。

7.8 Hi 21 厘米线

氢是星际介质（ISM）中最丰富的元素，但对称的 H\(_{2}\) 分子没有永久偶极矩，并且在射频下不发出可检测的谱线。中性氢（Hi）原子在低密度的 ISM 区域中丰富且无处不在。它们可在 \(\lambda \approx 21\) 厘米（\(\nu_{10} = {1420.405751\ldots}\) 兆赫）超精细线中检测到。由量子化电子和质子自旋之间的磁相互作用产生两个能级。当相对自旋从平行变为反平行时，会发射一个光子。

Hi 线中心频率为

\[\boxed{\nu_{10} = \frac{8}{3}g_{I}\left( \frac{m_{e}}{m_{p}} \right)\alpha^{2}{(R_{M}c)} \approx 1420.405751{MHz},} \tag{7.141} \]

其中 \(g_{I} \approx 5.58569\) 是质子的核 \(g\) 因子，\(\alpha \equiv {e^{2}/{({\hslash c})}} \approx {1/137.036}\) 是无量纲的精细结构常数，\(R_{M}c\) 是氢的里德伯频率（式 7.12）。

通过类比电偶极子辐射的发射系数

\[{A_{UL} \approx {\frac{64\pi^{4}}{3hc^{3}}\nu_{UL}^{3}{|\mu_{UL}|}^{2}}}, \tag{7.142} \]

这个磁偶极子的发射系数为

\[{A_{UL} \approx {\frac{64\pi^{4}}{3hc^{3}}\nu_{UL}^{3}{|\mu_{B}|}^{2}}}, \tag{7.143} \]

其中 \(\mu_{B}\) 是电子基态（\(n = 1\)）下 Hi 的平均磁偶极矩。其大小 \(|\mu_{B}|\) 被称为玻尔磁子，其数值为

\[{{|\mu_{B}|} = \frac{e\hslash}{2m_{e}c} \approx {{9.27401 \times 10^{- 21}}{erg}{gauss}^{- 1}}}. \tag{7.144} \]

因此 21 厘米线的发射系数仅为

\[{A_{10} \approx \frac{64\pi^{4}{({{1.42 \times 10^{9}}{Hz}})}^{3}{({{9.27 \times 10^{- 21}}{erg}{gauss}^{- 1}})}^{2}}{{{3 \cdot 6.63} \times 10^{- 27}}{erg}s{({{3 \times 10^{10}}{cm}s^{- 1}})}^{3}}}, \tag{7.145} \]

\[{{A_{10}} \approx {{2.85 \times 10^{- 15}}s^{- 1}}}, \tag{7.146} \]

所以该跃迁的辐射半衰期非常长：

\[{\tau_{1/2} = A_{10}^{- 1} \approx {{3.5 \times 10^{14}}s} \approx {11{million}{years}}}. \tag{7.147} \]

如此低的发射系数意味着极低的临界密度（式 7.135）\(n^{*} \ll {1{cm}^{- 3}}\)，因此即使在正常螺旋星系的最外层区域以及相互作用星系的潮汐尾中，碰撞也可以轻松地维持该跃迁处于 LTE 状态。

无论氢原子是否处于 LTE 状态，我们都可以定义氢原子自旋温度\(T_{s}\)（氢原子类似于由式 7.70 定义的分子激发温度 \(T_{x}\)）为

\[\boxed{\frac{n_{1}}{n_{0}} \equiv \frac{g_{1}}{g_{0}}\exp\left( - \frac{h\nu_{10}}{kT_{s}} \right),} \tag{7.148} \]

其中上自旋态和下自旋态的统计权重分别为 \(g_{1} = 3\) 和 \(g_{0} = 1\)。注意

\[\frac{h\nu_{10}}{kT_{s}} \approx \frac{{{{{6.63 \times 10^{- 27}}{erg}s} \cdot 1.42} \times 10^{9}}{Hz}}{{{{1.38 \times 10^{- 16}}{erg}K^{- 1}} \cdot 150}K} \approx {5 \times 10^{- 4}} \ll 1 \tag{7.149} \]

对于温度为 \(T \approx T_{s} \approx 150\) K 的 LTE 气体来说非常小，因此在星际介质（ISM）中

\[{{\frac{n_{1}}{n_{0}} \approx \frac{g_{1}}{g_{0}} = 3}\operatorname{\quad\quad}{{{and}\operatorname{\quad\quad}n_{H}} = {n_{0} + n_{1}} \approx {4n_{0}}}}. \tag{7.150} \]

将这些权重代入式 7.67，可以得到 \(\lambda = {21{cm}}\) 线的消光系数：

\[\kappa{(\nu)} \]

\[= {\frac{c^{2}}{8\pi\nu_{10}^{2}}\frac{g_{1}}{g_{0}}n_{0}A_{10}\left\lbrack {1 - {\exp\left( {- \frac{h\nu_{10}}{kT_{s}}} \right)}} \right\rbrack\phi{(\nu)}} \tag{7.151} \]

\[{\approx {{\frac{c^{2}}{8\pi\nu_{10}^{2}} \cdot 3 \cdot \frac{n_{H}}{4} \cdot A_{10}}\left( \frac{h\nu_{10}}{kT_{s}} \right)\phi{(\nu)}}}, \tag{7.152} \]

\[\boxed{\kappa{(\nu)} \approx \frac{3c^{2}}{32\pi}\frac{A_{10}n_{H}}{\nu_{10}}\frac{h}{kT_{s}}\phi{(\nu)},} \tag{7.153} \]

其中 \(n_{H}\) 是每立方厘米的中性氢原子数。沿任何视线方向的中性氢柱密度定义为

\[\boxed{\eta_{H} \equiv \int_{los}n_{H}{(s)}ds.} \tag{7.154} \]

等温氢的总不透明度 \(\tau\) 与柱密度成正比。如果 \(\tau \ll 1\)，那么积分的 Hi 发射线亮度 \(T_{b}\) 与 Hi 的柱密度成正比，并且独立于自旋温度 \(T_{s}\)，因为 \(T_{b} \approx {T_{s}\tau}\) 和 \(\tau \propto T_{s}^{- 1}\) 在无线电极限 \({{h\nu_{10}}/{({kT_{s}})}} \ll 1\) 下成立。因此，当 \(\tau \ll 1\) 时，\(\eta_{H}\) 可以直接从积分线亮度中确定。在天文学上方便的单位中，它可以写成

\[\boxed{\left( \frac{\eta_{H}}{{cm}^{- 2}} \right) \approx 1.82 \times 10^{18}\int\left\lbrack \frac{T_{b}{(v)}}{K} \right\rbrack d\left( \frac{v}{{km}s^{- 1}} \right),} \tag{7.155} \]

其中 \(T_{b}\) 是在径向速度 \(v\) 下观测到的 21 厘米线亮温，并且速度积分覆盖整个 21 厘米线谱线。请注意，另一方面，对于在连续源前的 Hi 吸收，其连续亮温为 \(> T_{s}\) 的情况，吸收偏向于较冷的气体 (图 7.17)。

图7.17:朝向源 1714-397 [35] 的 Hi 吸收和发射光谱。

冷星际 Hi 的平衡温度由加热和冷却的平衡决定。主要的热源是宇宙射线和来自热恒星的电离光子。在冷原子星际介质中，主要的冷却方式是单电离碳（Cii）精细结构线的辐射，波长为 \(\lambda = {157.7\mu}\)m。只有当温度至少为

\[{{kT} \approx {h\nu} = \frac{hc}{\lambda}}, \tag{7.156} \]

时，这条谱线才会很强，因此冷却速率在此之上呈指数增加

\[{T \approx \frac{hc}{k\lambda} \approx \frac{{{{{6.63 \times 10^{- 27}}{erg}s} \cdot 3} \times 10^{10}}{cm}s^{- 1}}{{{{{1.38 \times 10^{- 16}}{erg}K^{- 1}} \cdot 157.7} \times 10^{- 4}}{cm}} \approx {91K}}. \tag{7.157} \]

我们银河系中Hi的实际动力学温度可以根据在光学厚的方向上的Hi谱线亮温来估算（\(\tau \gg 1\)），此时亮温接近激发温度，而在局域热平衡（LTE）下激发温度接近动力学温度。银河平面附近的许多视线的亮温高达100--150 K，这些数值与温度相关的冷却率相一致。

7.8.1 银河系Hi

银河系盘面中的中性氢气体几乎以圆形轨道围绕银河中心运动。通过21厘米发射线的多普勒位移测量得到的径向速度包含了氢云的运动学距离的信息，而位于连续体源前方的氢吸收谱也可用于限制其距离。氢在光学上大多是稀薄的，只有在银河平面附近的少数区域除外，因此氢的分布描绘出了整个银河的大尺度结构，而这些结构在可见光波段大多被尘埃遮挡。

图7.18:在银河盘的最简单现实模型中，太阳和所有 Hi 云都沿圆形轨道绕银河系中心运动，角轨道速度 \(\omega\) 是轨道半径 \(R\) 的单调递减函数。太阳到银河系中心的距离为 \(R_{\odot} = {8.0 \pm 0.5}\) kpc，太阳的轨道速度为 \({\omega_{\odot}R_{\odot}} \approx 220\) km s\(^{- 1}\)。角度 \(l\) 定义了银河经度。对于 \({|l|} < {\pi/2}\)，两颗 Hi 云（1 和 2）可能具有相同的径向速度，但距太阳的距离不同。

图 7.18 显示了银河盘的平面图。太阳 (\(\odot\)) 位于银河盘中，并沿着围绕银河中心的圆形轨道运动。到银河中心的距离 \(R_{\odot} = {8.0 \pm 0.5}\) 千秒差距，以及太阳的轨道速度 \({\omega_{\odot}R_{\odot}} \approx 220\) 公里每秒，已经通过多种方法测量得到 [90]。所有处于银河中心距离 \(R\) 的 Hi 云都假设沿圆形轨道运动，其角速度为 \(\omega{(R)}\)，其中 \(\omega{(R)}\) 是 \(R\) 的单调递减函数。对于位于银河中心方位 \(\theta\) 的云 1，在银河经度 \(l\) 的视线方向上，观测到的相对于太阳的径向速度 \(v_{r}\) 表示为

\[{v_{r} = {{\omega R{\cos{\lbrack{{\pi/2} - {({l + \theta})}}\rbrack}}} - {\omega_{\odot}R_{\odot}{\cos{({{\pi/2} - l})}}}}}. \tag{7.158} \]

利用三角恒等式 \({\cos{\lbrack{{\pi/2} - {({l + \theta})}}\rbrack}} = {\sin{({l + \theta})}}\) 和 \({\sin{({l + \theta})}} = {{{\sin\theta}{\cos l}} + {{\cos\theta}{\sin l}}}\) 我们得到

\[v_{r} \]

\[= {{\omega R{({{{\sin\theta}{\cos l}} + {{\cos\theta}{\sin l}}})}} - {\omega_{\odot}R_{\odot}{\sin l}}} \tag{7.159} \]

\[{= {R_{\odot}{({\omega - \omega_{\odot}})}{\sin l}}}. \tag{7.160} \]

要应用这个方程，我们需要确定旋转曲线\(R\omega{(R)}\)。视线方向在经度 \(l\) 上的最大径向速度被称为“终端速度” \(v_{T}\)。由于 \(\omega\) 随 \(R\) 减小，这个速度出现在轨道与视线相切的最小 \(R = R_{\min} = {R_{\odot}{\sin l}}\)：

\[{v_{T} = {R_{\odot}{\lbrack{{\omega{(R_{\min})}} - \omega_{\odot}}\rbrack}{\sin l}}}. \tag{7.161} \]

我们可以通过测量覆盖广泛 \(l\) 范围的 \(v_{T}\) 来确定旋转曲线，从而确定 \(R_{\min}\)。

例子。在银河经度 \(l = 30^{\circ}\)，观测到的终端速度为 \(v_{T} \approx 130\) km s\(^{- 1}\)。求 \(R_{\min}\) 和轨道速度 \(R_{\min}\omega{(R_{\min})}\)?

\[R_{\min} \]

\[{= {R_{\odot}{\sin l}} = {{8.0{kpc}} \cdot 0.5} = {4.0{kpc}}}, \]

\[v_{T} \]

\[= {R_{\odot}{\lbrack{{\omega{(R_{\min})}} - \omega_{\odot}}\rbrack}{\sin l}} \]

\[{= {{R_{\min}\omega{(R_{\min})}} - {R_{\odot}\omega_{\odot}{\sin l}}}}, \]

\[R_{\min}\omega{(R_{\min})} \]

\[= {v_{T} + {R_{\odot}\omega_{\odot}{\sin l}}} \]

\[{= {{130{km}s^{- 1}} + {{220{km}s^{- 1}} \cdot 0.5}} = {240{km}s^{- 1}}}. \]

请注意，对于 \({|l|} < {\pi/2}\)，存在距离歧义：云 1 和云 2 具有相同的径向速度，但距离不同 \(d\)。对于 \({|l|} > {\pi/2}\) 不存在距离歧义。

7.8.2 外部星系中的 Hi

1420 MHz 的 Hi 线是研究外部星系中星际介质气体以及追踪宇宙中星系大尺度分布的极其有用的工具，因为 Hi 在大多数螺旋星系和一些椭圆星系中是可探测的。

由于 \(\lambda = 21\) 厘米波长非常长，许多星系无法被单碟射电望远镜解析。例如，100 米 GBT 在 \(\lambda = 21\) 厘米时的半功率波束宽度约为 9 弧分。因此，对于除最近的星系外，单次指向就足以获得代表所有 Hi 的谱线。

通过观测HI谱线的中心频率可以测量星系的径向速度\(v_{r}\)。星系的径向速度是由宇宙均匀哈勃膨胀引起的后退速度与星系的“特异”速度之和。特异速度的径向分量反映了由与临近星系的引力相互作用引起的运动，其大小通常为\(\sim 200\) km s\(^{- 1}\)。哈勃速度与地球的距离成正比，而比例系数——哈勃常数的测量值为\(H_{0} = {67.8 \pm {0.9{km}s^{- 1}{Mpc}^{- 1}}}\) [83]。如果径向速度显著大于特异速度的径向分量，则可以利用观测到的HI频率来估算星系的距离\(d \approx {v_{r}/H_{0}}\)。

注意天文学家仍然使用不一致的径向速度约定，这些约定是在大多数观测到的径向速度远小于光速时建立的。近似公式

\[\frac{v_{r}}{c} \approx \frac{\nu_{e} - \nu_{o}}{\nu_{e}}\operatorname{\quad\quad}{(v_{r} \ll c)}, \tag{7.162} \]

其中 \(\nu_{e}\) 是源框架中的谱线频率，\(\nu_{o}\) 是观测到的频率，用来定义任何 \(v_{r}{({radio})}\) 的射电速度为

\[{v_{r}{({radio})}} \equiv {c\left( \frac{\nu_{e} - \nu_{o}}{\nu_{e}} \right)} \tag{7.163} \]

因为射电天文学家测量的是频率，而不是波长。光学天文学家测量的是波长，而不是频率，所以非相对论近似公式

\[\frac{v_{r}}{c} \approx \frac{\lambda_{o} - \lambda_{e}}{\lambda_{e}}\operatorname{\quad\quad}{(v_{r} \ll c)} \tag{7.164} \]

是定义任何 \(v_{r}{({optical})}\) 的光学速度的基础

\[{{v_{r}{({optical})}} \equiv {c\left( \frac{\lambda_{o} - \lambda_{e}}{\lambda_{e}} \right)} = {cz}}, \tag{7.165} \]

其中\(z\) 是由方程2.127定义的红移。光学速度和射电速度的约定并不完全相同，且都不符合方程5.142中相对论正确的径向速度。偶尔观测者会混淆速度约定，未能将观测通带置中正确的频率，最终只获得了星系高频谱的一部分。在局域宇宙之外（\(z \ll 1\)），距离的概念变得更加复杂。要计算红移较大天体的距离，请参见Hogg [53《宇宙学中的距离度量》]。

图7.19:这个 UGC 11707 的综合 Hi 光谱是由 Haynes 等人使用 140 英尺望远镜（波束宽度 \(\approx 20\) 弧分）获得的，显示了旋涡星系典型的双角剖面[47]。速度轴清楚地标示为“光学”速度。

例如，星系 UGC 11707 的 Hi 发射线剖面（图 7.19）可用于估算其距离 \(d \approx {v_{r}/H_{0}}\)。观测到的谱线中心频率为 \(\nu_{o} \approx 1416.2\) MHz，因此“无线电”和“光学”速度为

\[v_{r}{({radio})} \]

\[\approx \]

\[{{c\left( {1 - \frac{\nu_{o}}{\nu_{e}}} \right)} \approx {{3 \times 10^{5}}{km}s^{- 1}\left( {1 - \frac{1416.2{MHz}}{1420.4{MHz}}} \right)} \approx {890{km}s^{- 1}}}, \]

\[v_{r}{({optical})} \]

\[\approx \]

\[{{c\left( {\frac{\nu_{e}}{\nu_{o}} - 1} \right)} \approx {{3 \times 10^{5}}{km}s^{- 1}\left( {\frac{1420.4{MHz}}{1416.2{MHz}} - 1} \right)} \approx {889{km}s^{- 1}}}. \]

使用“光学”速度得出

\[{d \approx \frac{v_{r}{({optical})}}{H_{0}} \approx \frac{889{km}s^{- 1}}{67.8{km}s^{- 1}{Mpc}^{- 1}} \approx {13{Mpc}}}. \]

如果一个星系的Hi发射是光学薄的，那么积分线通量与星系中的Hi质量成正比，并且与未知的Hi温度无关。从式 7.155 推导出关系式是一项直接的练习：

\[\boxed{\left( \frac{M_{H}}{M_{\odot}} \right) \approx {{2.36 \times 10^{5}}\left( \frac{d}{Mpc} \right)^{2}{\int{\left\lbrack \frac{S{(v)}}{Jy} \right\rbrack\left( \frac{dv}{{km}s^{- 1}} \right)}}}} \tag{7.166} \]

用于计算星系的总Hi质量\(M_{H}\)。对谱线的积分\(\int{S{(v)}{dv}}\)称为线通量，通常用Jy km s\(^{- 1}\)为单位表示。例如，为了估算UGC 11707的Hi质量，假设\(\tau \ll 1\)。UGC 11707的单碟Hi谱线剖面（图 7.19）显示线通量为：

\[{{\int{S{(v)}{dv}}} \approx {{{0.35{Jy}} \cdot 200}{km}s^{- 1}} \approx {70{Jy}{km}s^{- 1}}}, \]

因此

\[{\left( \frac{M_{H}}{M_{\odot}} \right) \approx {{2.36 \times 10^{5}} \cdot {(13)}^{2} \cdot 70} \approx {2.8 \times 10^{9}}}. \]

根据盘面倾角、星系质量、形态类型等与预期不透明度的关系，可以对非零\(\tau\)进行小的统计修正。

一幅分辨率很高的氢线图像可以提供星系中心半径 \(r\) 内的总质量\(M{(r)}\)，前提是气体沿圆形轨道运动。

如果每个星系的质量分布都是球对称的，那么在半径 \(r\) 处的引力将等于被包围质量 \(M{(r)}\) 的引力。即使对于盘状星系，这也是一个不错的近似。因此，对于沿圆形轨道运动、轨道速度为 \(v_{rot}\) 的气体，

\[{\frac{GM}{r^{2}} = \frac{v_{rot}^{2}}{r}}, \tag{7.167} \]

其中 \(M\) 是半径为 \(r\) 球体内的质量，\(v\) 是在半径 \(r\) 处的轨道速度，因此

\[{v_{rot}^{2} = \frac{GM}{r}}. \tag{7.168} \]

请注意，速度 \(v_{rot}\) 是完整的旋转速度，而不仅仅是其径向分量 \(v_{rot}{\sin i}\)，其中 \(i\) 是银河盘与视线之间的倾角。纤薄圆盘的倾角可以根据轴比估算

\[{{\cos i} = \frac{\theta_{m}}{\theta_{M}}}, \tag{7.169} \]

其中 \(\theta_{m}\) 和 \(\theta_{M}\) 分别为短轴和长轴的角直径。将 CGS 单位转换为天文上方便的单位得到

\[\left\lbrack {\left( \frac{v_{rot}}{{cm}s^{- 1}} \right)\left( \frac{10^{5}{cm}s^{- 1}}{{km}s^{- 1}} \right)} \right\rbrack^{2} \]

\[= \left\lbrack {{{{6.67 \times 10^{- 8}}{dyne}{cm}^{2}g^{- 2}} \cdot \left( \frac{M}{g} \right)}\left( \frac{{2 \times 10^{33}}g}{M_{\odot}} \right)} \right\rbrack \]

\[{\quad \times \left\lbrack {\left( \frac{r}{cm} \right)\left( \frac{{3.09 \times 10^{21}}{cm}}{kpc} \right)} \right\rbrack^{- 1}}, \]

\[10^{10}\left( \frac{v_{rot}}{{km}s^{- 1}} \right)^{2} \]

\[= \left\lbrack {{{{6.67 \times 10^{- 8}} \cdot 2} \times 10^{33}}\left( \frac{M}{M_{\odot}} \right)} \right\rbrack \tag{7.170} \]

\[{\quad \times \left\lbrack {{3.09 \times 10^{21}}\left( \frac{r}{kpc} \right)} \right\rbrack^{- 1}}, \tag{7.171} \]

我们可以得到半径为 \(r\) 范围内的总银河质量，以太阳质量为单位：

\[\boxed{\left( \frac{M}{M_{\odot}} \right) \approx 2.3 \times 10^{5}\left( \frac{v_{rot}}{{km}s^{- 1}} \right)^{2}\left( \frac{r}{kpc} \right).} \tag{7.172} \]

因此，UGC 11707（图 7.20）的总质量可以估算为

\[v_{rot}{\sin i} \]

\[{\approx \frac{\Delta v_{rot}{\sin i}}{2} \approx \frac{({{1000{km}s^{- 1}} - {800{km}s^{- 1}}})}{2} \approx {100{km}s^{- 1}}}, \]

\[\cos i \]

\[{{\approx \frac{{minor}{axis}}{{major}{axis}} \approx \frac{{0.73 \times 10^{- 3}}{rad}}{{2.0 \times 10^{- 3}}{rad}} \approx 0.365},{{{so}\operatorname{\quad\quad}{\sin i}} \approx 0.93}}, \]

\[r \]

\[{\approx {\theta_{1/2}d} \approx {{{10^{- 3}{rad}} \cdot 13}{Mpc}} \approx {13{kpc}}}, \]

\[\left( \frac{M}{M_{\odot}} \right) \]

\[{\approx {{2.3 \times 10^{5}} \cdot {({100/0.93})}^{2} \cdot 13} = {3.5 \times 10^{10}}}. \]

UGC 11707 是一个相对低质量的螺旋星系。

图7.20:UGC 11707 [104] 的Hi图像。面板(a)左下角的带斜线圆圈显示了图像分辨率。面板(a)和(c)中的等高线描绘了积分Hi亮度分布。面板(b)显示了相隔20 km s\(^{- 1}\)的恒定速度等高线，较深的颜色表示接近的气体。面板(d)是位置-速度图，面板(e)是径向Hi柱密度剖面，面板(f)显示了积分Hi光谱。

这个“总”质量实际上只是可检测的氢原子（Hi）所采样的半径内的质量。尽管Hi的分布比大多数其他踪迹物质如分子气体或恒星更广，但从Hi旋转速度随半径的变化图可以清楚地看出，并没有采样到所有的质量，因为我们没有看到开普勒关系\(v_{rot} \propto r^{- {1/2}}\)，这表明所有质量都被包含在半径\(r\)内。大多数旋转曲线，沿着长轴的一维位置-速度图，在大的\(r\)下是平坦的，这表明在我们能观测到的Hi范围内，包围的质量\(M \propto r\)很大。Hi旋转曲线所暗示的巨大总质量为银河系中冷暗物质的存在提供了一些最早的证据。

由于可探测的 HI 非常广泛，HI 是星系之间潮汐相互作用的极其敏感的示踪剂。HI 的长流状体和尾巴可以追踪星系对和星系群的相互作用历史。见图 8.11，显示 M81 星系群中的 HI，以及图 8.12，展示“天线”星系对 NGC 4038/9 的长潮汐尾 HI。

星系 HI 光谱的另一个应用是通过Tully--Fisher 关系确定局部宇宙中与平滑哈勃膨胀的偏离。大多数星系遵循经验的光度--速度关系 [108]：

\[{L \propto v_{m}^{4}}, \tag{7.173} \]

其中 \(v_{m}\) 是最大旋转速度。基于维里定理的论证可以解释特利-费舍尔关系，如果所有星系具有相同的中心质量密度和密度分布，只在尺度长度上有所不同，并且具有相同的质量-光比。因此，\(v_{m}\) 的测量可以得到 \(L\) 的估计值，而不依赖于哈勃距离 \(d_{H}\)。特利-费舍尔距离 \(d_{TF}\) 可以通过这个“标准烛光” \(L\) 和视亮度来计算。近红外（\(\lambda \sim {2\mu}\)m）的视亮度更受青睐，因为恒星的近红外质量-光比几乎恒定且不依赖于恒星形成历史，并且尘埃造成的消光远小于光学波长下的消光。\(d_{TF}\) 与 \(d_{H}\) 之间的差异归因于星系因星际引力相互作用而产生的特征速度。特征速度分布的大小和尺度长度表明了兆秒差距尺度上物质的平均密度和聚集程度。

7.8.3 黑暗时代与再电离时代 (EOR)

早期宇宙中的大部分重子物质是完全电离的氢和氦气，以及少量较重元素。这些均匀分布的气体随着宇宙膨胀而冷却，自由质子和电子重新结合形成中性氢，当宇宙年龄约为\(3.8 \times 10^{5}\)年时，对应的红移为\(z \approx 1091\)。在黑暗时代期间，氢保持中性，这是在首批电离天体——巨大的（\(M > {100M_{\odot}}\)）恒星、星系、类星体和星系团——通过过密区域的引力塌缩形成之前的状态。这些天文学来源在宇宙诞生几亿年后（\(z \sim 10\)）逐渐开始重新电离宇宙，并在宇宙约 \(10^{9}\) 年大时将宇宙完全重新电离（\(z \sim 6\)）。这个时期被称为再电离时代。

高红移的 Hi 信号在黑暗时代几乎是均匀的，当第一个天文源在其周围形成电离氢气泡时，它在角尺度上发展出了结构，角尺度达数弧分。随着气泡的增长和合并，Hi 信号在频率上出现了与红移 Hi 线频率相对应的结构。较大气泡的典型尺寸在 \(z \sim 6\) 时达到了约 10 Mpc，并产生了角尺度数弧分、覆盖频率范围数 MHz 的 Hi 信号。这些 Hi 信号编码了关于最早天文源形成的独特信息。

EOR产生的Hi信号将非常难以检测，因为它们信号弱（几十毫开尔文）、在频率上相对宽、红移到低频（\(\sim 100\) MHz）、受到射频干扰和电离层折射的影响，并且位于更亮的（几十开尔文）星系外连续射电源的前景之后。尽管如此，其潜在的科学回报巨大，全球有几个团队正在开发仪器以探测EOR的Hi特征。其中两个仪器是PAPER（精密阵列用于探测再电离时代）[79]和图 8.7中所示的Murchison Widefield Array [54]。